Движение материальной точки в центральном поле
Материал из Department of Theoretical and Applied Mechanics
Версия от 22:50, 13 марта 2016; Антон Кривцов (обсуждение | вклад)
Виртуальная лаборатория > Движение материальной точки в центральном поле
Разработчик А.М. Кривцов
Разработчик А.М. Кривцов
Интерактивное приложение, представленное ниже, позволяет изучать траектории материальной точки в центральном степенном поле притяжения. Сила взаимодействия является степенной функцией расстояния :
где — некоторый вещественный безразмерный показатель степени. Притягивающий центр находится в точке .
v0 = v1
n =
zoom =
tmax = T
Номер эксперимента
Текст приложения на языке JavaScript:
Файл "FC.js"
1 // Движение материальной точки в центральном поле
2 // Разработчик А.М. Кривцов
3 // 18-21.05.2014
4 // Интернет: tm.spbstu.ru/FC
5
6 function MainFC(canvas) {
7
8 // Основные размерные параметры
9
10 const m = 1.; // масса частицы
11 const a = 1.; // радиус круговой орбиты
12 const P = 1.; // сила притяжения на круговой орбите
13
14 // Производные размерные параметры
15
16 const T = 2 * Math.PI * Math.sqrt(m * a / P); // период движения по круговой орбите
17 const v1 = Math.sqrt(P * a / m); // скорость движения по круговой орбите (1-ая космическая)
18
19 // Переменные
20
21 var n, v0, zoom, t_max, dt;
22
23 // настройка слайдеров
24
25 Slider_01.min = 1; Slider_01.max = 22; Slider_01.step = 0.1; // v0 / v1 - начальная скорость
26 Slider_02.max = 6; Slider_02.min = -Slider_02.max; Slider_02.step = 0.01; // n - показатель степени
27 Slider_03.min = 0; Slider_03.max = 6; Slider_03.step = 0.01; // zoom - увеличение
28 Slider_04.min = 0; Slider_04.max = 100; Slider_04.step = 0.1; // t_max/T - время расчета
29 Slider_05.min = 1; Slider_05.max = set_exp(0); Slider_05.step = 1; // N_exp - номер эксперимента
30
31 Slider_05.focus();
32
33 // Задание значений переменных
34
35 dt = T / 200; // шаг интегрирования
36 set_exp(6); // переменные заданы для эксперимента 6
37
38 // Отображение
39
40 draw();
41
42 // функции, запускающиеся при изменении значений слайдеров и текстовых полей
43
44 this.set_01 = function(input) { v0 = Number(input) * v1; draw(); }
45 this.set_02 = function(input) { n = Number(input); draw(); }
46 this.set_03 = function(input) { zoom = Number(input); draw(); }
47 this.set_04 = function(input) { t_max = Number(input) * T; draw(); }
48 this.set_05 = function(input) { set_exp(input); draw(); }
49
50 // Отображение
51
52 function draw()
53 {
54 // Оптимизация
55
56 var n1 = (1 - n) / 2;
57 var dt1 = -P / m * Math.pow(a, -n) * dt;
58
59 // Область построения графика
60
61 const X_max = canvas.width, Y_max = canvas.height;
62 var x_max, y_max, sx, sy, X0, Y0;
63
64 x_max = y_max = Math.pow(2, zoom) * a; // размер области отображения
65 x_min = y_min = -x_max;
66
67 sx = sy = Y_max / (y_max - y_min); // масштаб по оси y
68 X0 = Y0 = Y_max + y_min * sy; // положение 0 оси y в экранных координатах
69
70 // Инициализация графики
71
72 var context = canvas.getContext("2d"); // на context происходит рисование
73 context.clearRect(0, 0, X_max, Y_max); // очистить экран
74
75 // Горизонтальная ось
76 context.strokeStyle = 'lightgrey';
77 context.beginPath();
78 context.moveTo(0, Y0); context.lineTo(X_max, Y0);
79 context.moveTo(X0, 0); context.lineTo(X0, Y_max);
80 context.moveTo(X0 + a * sx, Y0); context.arc(X0, Y0, a * sx, 0, 2 * Math.PI);
81 context.stroke();
82
83 // Надписи
84 context.fillStyle = 'black';
85 context.font = "italic 20px Times";
86 context.fillText("0", X0 - 15, Y0 - 7);
87
88 // График
89 context.strokeStyle = 'black';
90 context.beginPath();
91 var vx = v0, vy = 0;
92 var x = 0, y = a;
93 context.moveTo(X0, Y0 - a * sy);
94 for (var t = 0; t < t_max; t += dt)
95 {
96 var r2 = x * x + y * y;
97 var rn = Math.pow(r2, n1);
98 vx += x / rn * dt1;
99 vy += y / rn * dt1;
100 x += vx * dt;
101 y += vy * dt;
102 var X = X0 + x * sx;
103 var Y = Y0 - y * sy;
104 context.lineTo(X, Y);
105 }
106 context.stroke();
107 }
108
109 // Выбор эксперимента
110
111 function set_exp(N_exp)
112 {
113 var k = Number(N_exp);
114
115 // показатель степени начальная скорость увеличение максимальное число шагов
116
117 if (!--k) { n = -3; v0 = 1.004 * v1; zoom = 2.98; t_max = 17.4 * T; } // спираль
118 if (!--k) { n = -2.9; v0 = 1.023 * v1; zoom = 2.98; t_max = 67.6 * T; }
119 if (!--k) { n = -2.87; v0 = 1.029 * v1; zoom = 2.57; t_max = 21.6 * T; }
120 if (!--k) { n = -2.87; v0 = 1.03 * v1; zoom = 2.96; t_max = 94.4 * T; }
121 if (!--k) { n = -2.5; v0 = 1.135 * v1; zoom = 2.98; t_max = 31.1 * T; } // 2
122
123 if (!--k) { n = -2; v0 = 1.25 * v1; zoom = 2; t_max = 20 * T; } // эллипс
124
125 if (!--k) { n = -1; v0 = 1.25 * v1; zoom = 1; t_max = 26 * T; }
126 if (!--k) { n = -1; v0 = 1.36 * v1; zoom = 1.18; t_max = 10.8 * T; } // 10
127 if (!--k) { n = -1; v0 = 1.63 * v1; zoom = 1.87; t_max = 25.3 * T; }
128 if (!--k) { n = -1; v0 = 1.93 * v1; zoom = 2.8; t_max = 8 * T; } // 3 !
129 if (!--k) { n = -1; v0 = 2.31 * v1; zoom = 3.92; t_max = 64.1 * T; } // 11
130 if (!--k) { n = -1; v0 = 2.43 * v1; zoom = 4.29; t_max = 61.8 * T; } // 8
131 if (!--k) { n = -1; v0 = 2.74 * v1; zoom = 5.5; t_max = 85.5 * T; } // 5
132
133 if (!--k) { n = -0.74; v0 = 2.665 * v1; zoom = 3.81; t_max = 18.8 * T; } // 5
134
135 if (!--k) { n = 0; v0 = 1.66 * v1; zoom = 1.39; t_max = 5.1 * T; } // 7
136 if (!--k) { n = 0; v0 = 2.7 * v1; zoom = 2.34; t_max = 8.9 * T; } // 9
137 if (!--k) { n = 0; v0 = 3.46 * v1; zoom = 3.03; t_max = 13.3 * T; } // 11
138
139 if (!--k) { n = 1; v0 = 2 * v1; zoom = 1.3; t_max = 1 * T; } // 11
140
141 if (!--k) { n = 2; v0 = 2.39 * v1; zoom = 1.18; t_max = 4.0 * T; } // 11
142
143 if (!--k) { n = 3; v0 = 3.58 * v1; zoom = 1.28; t_max = 1.8 * T; } // 7
144 if (!--k) { n = 3; v0 = 6.97 * v1; zoom = 1.87; t_max = 1.7 * T; } // 9
145 if (!--k) { n = 3; v0 = 11.28 * v1; zoom = 2.13; t_max = 1.6 * T; } // 11
146 if (!--k) { n = 3; v0 = 16.13 * v1; zoom = 2.50; t_max = 1.6 * T; } // 13
147
148 if (!--k) { n = 3.29; v0 = 1.3 * v1; zoom = 0.48; t_max = 1.8 * T; } // 13
149
150 if (!--k) { n = 4; v0 = 3.36 * v1; zoom = 1.12; t_max = 1.1 * T; } // 5 !
151 if (!--k) { n = 4; v0 = 6.08 * v1; zoom = 1.44; t_max = 1.9 * T; } // 12
152 if (!--k) { n = 4; v0 = 9.52 * v1; zoom = 1.66; t_max = 0.9 * T; } // 7 !
153 if (!--k) { n = 4; v0 = 18.45 * v1; zoom = 2.18; t_max = 0.728 * T; } // 9
154
155 if (!--k) { n = 5; v0 = 7.15 * v1; zoom = 1.55; t_max = 0.6 * T; } // 5 !
156
157 if (!--k) { n = 4; v0 = 3.304 * v1; zoom = 1.12; t_max = 36.4 * T; } // 5 ~~~
158 if (!--k) { n = 4; v0 = 9.394 * v1; zoom = 1.66; t_max = 19.6 * T; } // 7 ~~~
159
160 if (N_exp)
161 {
162 Text_01.value = v0 / v1; Slider_01.value = Text_01.value; // начальная скорость
163 Text_02.value = n; Slider_02.value = Text_02.value; // показатель степени
164 Text_03.value = zoom; Slider_03.value = Text_03.value; // увеличение
165 Text_04.value = t_max / T; Slider_04.value = Text_04.value; // время расчета
166 Text_05.value = N_exp; Slider_05.value = Text_05.value; // номер эксперимента
167 }
168
169 return -k; // Если N_exp = 0 возвращает общее количество экспериментов, в остальных случаях возвращает 0
170 }
171 }
Файл "FC.html"
1 <canvas id="canvasGraph" width="600" height="600" style="border:1px solid #000000;"></canvas>
2
3 <!--Установка параметров взаимодействия (текстовые поля и слайдеры)-->
4 <div>
5 <font face= "Times New Roman"><I>
6 v</I><SUB>0</SUB> = <input id="Text_01" style="width: 4.2ex;" required pattern="[-+]?([0-9]*\.[0-9]+|[0-9]+)" oninput="
7 // если введено не число - строка не пройдет валидацию по паттерну выше, и checkValidity() вернет false
8 if (!this.checkValidity()) return;
9 app.set_01(this.value);
10 document.getElementById('Slider_01').value = this.value;
11 "><I> v</I><SUB>1</SUB>
12 <input type="range" id="Slider_01" style="width: 100px;" oninput="app.set_01(this.value); document.getElementById('Text_01').value = this.value;">
13 n = <input id="Text_02" style="width: 4.2ex;" required pattern="[-+]?([0-9]*\.[0-9]+|[0-9]+)" oninput="
14 if (!this.checkValidity()) return;
15 app.set_02(this.value);
16 document.getElementById('Slider_02').value = this.value;
17 ">
18 <input type="range" id="Slider_02" style="width: 100px;" oninput="app.set_02(this.value); document.getElementById('Text_02').value = this.value;">
19 </font>
20 </div>
21 <div>
22 <font face= "Times New Roman">
23 zoom = <input id="Text_03" style="width: 4.2ex;" required pattern="[-+]?([0-9]*\.[0-9]+|[0-9]+)" oninput="
24 // если введено не число - строка не пройдет валидацию по паттерну выше, и checkValidity() вернет false
25 if (!this.checkValidity()) return;
26 app.set_03(this.value);
27 document.getElementById('Slider_03').value = this.value;
28 ">
29 <input type="range" id="Slider_03" style="width: 100px;" oninput="app.set_03(this.value); document.getElementById('Text_03').value = this.value;">
30 <I>t</I><SUB>max</SUB> = <input id="Text_04" style="width: 4.2ex;" required pattern="[-+]?([0-9]*\.[0-9]+|[0-9]+)" oninput="
31 if (!this.checkValidity()) return;
32 app.set_04(this.value);
33 document.getElementById('Slider_04').value = this.value;
34 "><I> T</I>
35 <input type="range" id="Slider_04" style="width: 100px;" oninput="app.set_04(this.value); document.getElementById('Text_04').value = this.value;">
36 </font>
37 </div>
38 <div>
39 <font face= "Times New Roman">
40 Номер эксперимента <input id="Text_05" style="width: 4.2ex;" required pattern="[-+]?([0-9]*\.[0-9]+|[0-9]+)" oninput="
41 // если введено не число - строка не пройдет валидацию по паттерну выше, и checkValidity() вернет false
42 if (!this.checkValidity()) return;
43 app.set_05(this.value);
44 document.getElementById('Slider_05').value = this.value;
45 ">
46 <input type="range" id="Slider_05" style="width: 100px;" oninput="app.set_05(this.value); document.getElementById('Text_05').value = this.value;">
47 </div>
48
49 <script type="text/javascript">var app = new MainFC (
50 document.getElementById('canvasGraph')
51 );</script>
Приложение позволяет интерактивно задавать следующие параметры:
- — начальная скорость точки. Начальная скорость направлена тангенциально (перпендикулярно радиальному направлению). Скорость измеряется по отношению к — скорости кругового движения на начальном удалении от центра (1-ая космическая скорость).
- — показатель степени в законе взаимодействия ( соответствует гравитационному взаимодействию, — линейно-упругому).
- zoom — логарифмический масштаб отображения графика (используется логарифм по основанию 2).
- — время интегрирования, выраженное в периодах кругового движения на начальном удалении от центра.
Кроме того, возможно задать "номер эксперимента". На каждый номер приходится отдельный набор из перечисленных выше четырех параметров, для которого реализуется некоторый характерный вид движения. Эксперименты упорядочены по (в первую очередь), затем по .
Предлагаемые направления исследований
- Определить возможные варианты движения.
- Определить зависимость расстояния до апоцентра (наиболее удаленной точки) орбиты от и .
- Найти замкнутые траектории различной топологии (например, 5-и, 7-и конечные звезды и др.) и определить их положение на плоскости параметров , .
- Найти метод интегрирования уравнений движения с переменным шагом, позволяющий эффективно моделировать движение точки при больших .
- Подобрать значения параметров (и разработать метод такого подбора), позволяющий получать "красивые" графики, которые могут рассматриваться как объекты Science Art (см. в частности, последние номера экспериментов).
