Двумерное уравнение теплопроводности + волновое уравнение
Материал из Department of Theoretical and Applied Mechanics
Версия от 22:13, 1 ноября 2014; Денис (обсуждение | вклад)
Виртуальная лаборатория > Двумерное уравнение теплопроводности + волновое уравнение
Численное решение двумерного уравнения теплопроводности и двумерного волнового уравнения.
Управление:
- Левая кнопка мыши - нагреть область
- Средняя кнопка мыши - придать области нормальную температуру
- Правая кнопка мыши - охладить область
Скачать Wave_Heat_2D_v2-4_release.zip.
Текст программы на языке JavaScript (разработчики Цветков Денис, Кривцов Антон): <toggledisplay status=hide showtext="Показать↓" hidetext="Скрыть↑" linkstyle="font-size:default"> Файл "Wave_Heat_2D.js"
window.addEventListener("load", main_equations, false);
function main_equations() {
// Предварительные установки
var canv = init_canvas(Wave_Heat_2D_canvas);
var a0 = 1; // масштаб расстояния
var t0 = 1; // масштаб времени
var m0 = 1; // масштаб массы
var T0 = 1; // масштаб температуры
var dx = 1 * a0; // шаг сетки по оси x
var dy = 1 * a0; // шаг сетки по оси y
var spf = 2; // steps per frame - сколько расчетов проходит за каждый кадр отображения
var fps = 15; // frames per second - количество кадров в секунду
var dt = 0.005 * t0; // шаг интегрирования по времени
var t = 0;
var p0 = m0 / (a0 * a0 * a0); // единица плотности, кг/м3
var c0 = a0 * a0 / (t0 * t0 * T0); // единица удельной теплоемкости, Дж/(кг * К) (Дж = кг * м2 / с2)
var kap0 = m0 * a0 / (t0 * t0 * t0 * T0);// единица теплопроводности (каппа)
var p = 0.15 * p0;
var c = 0.2 * c0;
var k = 1 * kap0;
var X = k / (c * p); // температуропроводность (хи)
var Nx = 50 + 2; // количество узлов по оси x + 2 для ГУ
var Ny = 50 + 2; // количество узлов по оси y + 2 для ГУ
var cell_w = canv.w / (Nx - 2); // ширина клетки
var cell_h = canv.h / (Ny - 2); // высота клетки
var T_max = 10 * T0;
var T_min = - T_max;
var k0 = 2 * Math.PI / t0; // масштаб частоты
var C0 = m0 * k0 * k0; // масштаб жесткости
var m = 1 * m0; // масса
var C = 1 * C0; // жесткость
var omega = Math.sqrt(C / m);
var cc = 2.3 * a0 * omega;
var pause = false;
button_pause.onclick = function () {pause = !pause;};
button_clear.onclick = clear_button_func;
function clear_button_func() {
clear_all();
draw();
}
function clear_all() {
for (var i = 1; i < Nx - 1; i++)
for (var j = 1; j < Ny - 1; j++) {
T[i][j].u = 0;
T[i][j].v = 0;
T[i][j].BC = false;
}
BC2 = [];
}
var koeff1;
// начальные условия - распределение Гаусса
var T = [];
for (var i = 0; i < Nx; i++) {
T[i] = [];
for (var j = 0; j < Ny; j++) {
T[i][j] = {};
var x = i / (Nx - 1);
var y = j / (Ny - 1);
var width = 0.05;
var power = 15;
var minus = 0;
T[i][j].u = Math.exp(-Math.pow(x - 0.5, 2) / width) * Math.exp(-Math.pow(y - 0.5, 2) / width) * power - minus;
T[i][j].v = 0;
T[i][j].BC = false;
}
}
function set_calc_func() {
if (radio_heat.checked) {
heat_equation = true;
slider_damping_power.disabled = true;
damping_span.style.color="#888888";
koeff1 = X / (dx * dy);
} else {
heat_equation = false;
slider_damping_power.disabled = false;
damping_span.style.color="#000000";
koeff1 = cc * cc / (dx * dy);
}
}
var heat_equation;
set_calc_func();
radio_heat.onchange = set_calc_func;
radio_wave.onchange = set_calc_func;
function set_BC_func() {
if (radio_BC_mirror.checked) BC_mirror();
else if (radio_BC_periodic.checked) BC_periodic();
}
radio_BC_mirror.onclick = set_BC_func;
radio_BC_periodic.onclick = set_BC_func;
// функции и переменные, объявленные через this, можно будет вызывать по сокращенному названию (например, sin(x), PI)
var math_methods = Object.getOwnPropertyNames(Math);
for (var i in math_methods)
this[math_methods[i]] = Math[math_methods[i]];
var damping_power = 0;
slider_damping_power.min = 0;
slider_damping_power.max = 5;
slider_damping_power.step = 5 / 100;
slider_damping_power.value = damping_power;
slider_damping_power.oninput = function() {damping_power = slider_damping_power.value};
apply_IC_button.onclick = apply_IC;
function apply_IC() {
var script = document.createElement('script');
script.innerHTML = "function IC_function(nx, ny, M, M_max, M_min, t, add_BC2) {" +
"for (var i = 0; i < nx; i++) {\r\n" +
" for (var j = 0; j < ny; j++) {\r\n" +
IC_text.value + "}}};";
document.getElementsByTagName('head')[0].appendChild(script);
clear_all();
IC_function(nx, ny, M, T_max, T_min, t, add_BC2);
draw();
}
clear_IC_window_button.onclick = clear_IC_window;
function clear_IC_window() {
IC_text.value = "";
// IC_text.value =
// "for (var i = 0; i < nx; i++) {\r\n" +
// " for (var j = 0; j < ny; j++) {\r\n" +
// " \r\n" +
// " }\r\n" +
// "}";
}
var functions_for_buttons = [
"M[i][j].u = M_max * (sin(i / (nx - 1) * 2 * PI));\r\n"
,"M[i][j].v = M_max * (sin(i / (nx - 1) * 2 * PI));\r\n"
,"M[i][j].u = M_max * pow(sin(i / (nx - 1) * 2 * PI), 25);\r\n"
,"M[i][j].u = M_max * (sin((i + j) / (2*(nx - 1)) * 2 * PI));\r\n"
,"var lx = 0.5 - i / (nx - 1);\r\n" +
"var ly = 0.5 - j / (ny - 1);\r\n" +
"M[i][j].u = sin(sqrt(lx * lx + ly * ly) * 12 * PI) * 6;\r\n"
,"var lx = 0.5 - i / (nx - 1);\r\n" +
"var ly = 0.5 - j / (ny - 1);\r\n" +
"M[i][j].u = 1 / max(sqrt(lx * lx + ly * ly), 0.01); // max - чтобы избежать деления на 0\r\n"
,"M[i][j].u = M_max * sin(i / (nx - 1) * 4 * PI) * sin(j / (ny - 1) * 4 * PI);\r\n"
,"M[i][j].u = M_max * sin(i / (nx - 1) * nx * PI) * sin(j / (ny - 1) * ny * PI);\r\n"
,"M[i][j].u = M_max * (min(sin(i / (nx - 1) * 9 * PI), sin(j / (ny - 1) * 9 * PI)));\r\n"
,"M[i][j].u = M_max * (2 * random() - 1);\r\n"
,"M[i][j].u = M_max * pow(2 * random() - 1, 201);\r\n"
,"M[i][j].u = - M_max * (sin(i / (nx - 1) * PI) * random());\r\n"
,"M[i][j].u = 2 * M_max * (i / (nx - 1)) - M_max;\r\n"
,"M[i][j].u = i / (nx - 1) * j / (ny - 1) * M_max;\r\n"
,"if (i == 0) {\r\n" +
" M[i][j].u = M_max;\r\n" +
" M[i][j].BC = true;\r\n" +
"} else if (i == nx - 1) {\r\n" +
" M[i][j].u = M_min;\r\n" +
" M[i][j].BC = true;\r\n" +
"}\r\n"
,"if (i == 0) {\r\n" +
" if ((j >= 35 && j <= ny)) M[i][j].u = M_max;\r\n" +
" else M[i][j].u = M_min;\r\n" +
" M[i][j].BC = true;\r\n" +
"} else if (i == nx - 1) {\r\n" +
" if (Math.round(j - j % 10) % 8 == 0) M[i][j].u = M_min;\r\n" +
" else M[i][j].u = M_max;\r\n" +
"M[i][j].BC = true;\r\n" +
"}\r\n"
,"if (j >= 20 && j <= 29) {\r\n" +
" if (i == nx / 2 - 1) {\r\n" +
" M[i][j].u = M_max;\r\n" +
" M[i][j].BC = true;\r\n" +
" } else if (i == nx / 2) {\r\n" +
" M[i][j].u = M_min;\r\n" +
" M[i][j].BC = true;\r\n" +
" }\r\n" +
"}\r\n"
,"if (j >= 24 && j <= 25 && (i == nx / 2 - 1 || i == nx / 2))\r\n" +
" add_BC2(function(t){return sin(t * 10) * 10;}, i, j);\r\n"
// ," if (((i == 20 || i == 30) && j >= 40) || ((j == ny - 1 || j == 40) && i > 20 && i < 30)) {\r\n" +
// " M[i][j].u = 0;\r\n" +
// " M[i][j].BC = true;\r\n" +
// " }\r\n" +
// " //M[25][40].BC = false;\r\n" +
// " M[25][40].u = M_min;\r\n" +
// " if (i > 20 && i < 30 && j > 40 && j < 49) {\r\n" +
// " M[i][j].u = M_min;\r\n" +
// " M[i][j].BC = true;\r\n" +
// " }\r\n"
];
function generate_function_buttons() {
for (var i = 0; i < functions_for_buttons.length; i++) {
var btn = document.createElement('input');
btn.type = "button";
btn.value = i + 1;
btn.onclick = function(i) {
return function() {
IC_text.value =
// "for (var i = 0; i < nx; i++) {\r\n" +
// " for (var j = 0; j < ny; j++) {\r\n" +
functions_for_buttons[i];// +
// " }\r\n" +
// "}";
apply_IC();
}
}(i);
generated_buttons_span.appendChild(btn);
}
}
generate_function_buttons();
IC_text.value = functions_for_buttons[0];
// граничные условия
function BC_periodic() {
for (i = 1; i < Nx - 1; i++) {
T[i][0] = T[i][Ny - 2];
T[i][Ny - 1] = T[i][1];
}
for (j = 0; j < Ny; j++) {
T[0][j] = T[Nx - 2][j];
T[Nx - 1][j] = T[1][j];
}
}
function BC_mirror() {
for (i = 1; i < Nx - 1; i++) {
T[i][0] = T[i][1];
T[i][Ny - 1] = T[i][Ny - 2];
}
for (j = 0; j < Ny; j++) {
T[0][j] = T[1][j];
T[Nx - 1][j] = T[Nx - 2][j];
}
}
BC_mirror();
// дублирующий массив без ГУ и переменные, для внешнего интерфейса
var M = [];
for (var i = 0; i < Nx - 2; i++) {
M[i] = [];
for (var j = 0; j < Ny - 2; j++) {
M[i][j] = T[i + 1][j + 1];
}
}
var nx = Nx - 2;
var ny = Ny - 2;
// массив для граничных условий Коши 2-го рода
var BC2 = [];
function add_BC2(func, i, j) {
BC2.push({F:func, i:i, j:j});
}
var color_N = 120; // цветов не больше, чем color_N, саму переменную color_N в расчетах лучше не использовать
var colors = prepare_colors(color_N);
var cell_pics = prepare_cell_pics(colors);
function control() {
if (!pause) {
calculate_steps(spf, dt);
draw();
}
}
setInterval(control, 1000 / fps); // Запуск системы
// Работа с мышью
Wave_Heat_2D_canvas.onmousedown = function(e){ // функция при нажатии клавиши мыши
var T1;
if (e.which == 1) T1 = T_max * 0.3; // при нажатии левой клавиши мыши клетка нагревается
else if (e.which == 2) T1 = 0; // при нажатии средней клавиши мыши клетка нагревается
else if (e.which == 3) T1 = T_min * 0.3; // при нажатии правой клавиши мыши клетка остывает
else return false;
var area = (e.which != 2);
set_cell(e, T1, area);
Wave_Heat_2D_canvas.onmousemove = function(e) {set_cell(e, T1, area);}; // функция, выполняющаяся при перемещении курсора мыши
return false;
};
document.onmouseup = function(e){ // функция при отпускании клавиши мыши
Wave_Heat_2D_canvas.onmousemove = null; // когда клавиша отпущена - функции перемещения нету
};
function set_cell(e, T1, area){ // придать клетке определенное состояние с нажатия клавиши мыши
var m = mouse_coords(e); // обновить координаты в переменных mouseX, mouseY
if (m.x < 0 || m.x >= canv.w || m.y < 0 || m.y >= canv.h) return; // проверка на ошибочные координаты
var i = Math.floor(m.x / cell_w) + 1; // получаем ячейку по горизонтали
var j = Math.floor(m.y / cell_h) + 1; // получаем ячейку по вертикали
// везде прибавляем 1 - из за периодических условий массив сдвинут на 1
if (!area) {
if (!T[i][j].BC) {
T[i][j].u = T1;
draw_cell(i, j);
}
}
else for (var shift_i = -3; shift_i <= 3; shift_i++) {
var ii;
if (i + shift_i < 1) {
if (!radio_BC_periodic.checked) continue;
ii = i + shift_i + Nx - 2;
}
else if (i + shift_i > Nx - 2) {
if (!radio_BC_periodic.checked) continue;
ii = i + shift_i - Nx + 2;
}
else ii = shift_i + i;
for (var shift_j = -3; shift_j <= 3; shift_j++) {
var jj;
if (j + shift_j < 1) {
if (!radio_BC_periodic.checked) continue;
jj = j + shift_j + Ny - 2;
}
else if (j + shift_j > Ny - 2) {
if (!radio_BC_periodic.checked) continue;
jj = j + shift_j - Ny + 2;
}
else jj = shift_j + j;
if (T[ii][jj].BC) continue;
var r = Math.abs(shift_i) + Math.abs(shift_j);
var T_new;
if (r == 0) T_new = T1;
else if (r == 1) T_new = T1 / 20 * 15;
else if (r == 2) T_new = T1 / 20 * 6;
else if (r == 3) T_new = T1 / 20;
else continue;
T[ii][jj].u += T_new;
if (T[ii][jj].u > T_max) T[ii][jj].u = T_max;
if (T[ii][jj].u < T_min) T[ii][jj].u = T_min;
draw_cell(ii, jj);
}
}
}
function mouse_coords(e) { // функция возвращает экранные координаты курсора мыши
var m = [];
var rect = Wave_Heat_2D_canvas.getBoundingClientRect();
m.x = e.clientX - rect.left;
m.y = e.clientY - rect.top;
return m;
}
function calculate_steps(spf, dt) {
for (var s = 0; s < spf; s++) {
for (var i = 1; i < Nx - 1; i++) {
for (var j = 1; j < Ny - 1; j++) {
if (T[i][j].BC) continue;
if (heat_equation) T[i][j].v = (T[i + 1][j].u + T[i][j + 1].u - 4 * T[i][j].u + T[i - 1][j].u + T[i][j - 1].u) * koeff1;
else T[i][j].v += ((T[i + 1][j].u + T[i][j + 1].u - 4 * T[i][j].u + T[i - 1][j].u + T[i][j - 1].u) * koeff1 - T[i][j].v * damping_power) * dt;
}
}
for (var i = 1; i < Nx - 1; i++) {
for (var j = 1; j < Ny - 1; j++) {
T[i][j].u += T[i][j].v * dt;
}
}
for (var i = 0; i < BC2.length; i++) {
var f = BC2[i];
M[f.i][f.j].u = f.F(t);
}
t += dt;
}
}
function draw() {
canv.ctx.clearRect(0, 0, canv.w, canv.h); // очистить экран
for (var i = 1; i <= Nx - 1; i++) {
for (var j = 1; j <= Ny - 1; j++) {
var col = Math.round((T[i][j].u - T_min) * (colors.length - 1) / (T_max - T_min)); // 0 <= col <= color_N
if (col < 0) col = 0;
if (col > (colors.length - 1)) col = (colors.length - 1);
canv.ctx.drawImage(cell_pics[col], (i - 1) * cell_w, (j - 1) * cell_h);
}
}
}
function draw_cell(i, j) {
var col = Math.round((T[i][j].u - T_min) * (colors.length - 1) / (T_max - T_min)); // 0 < col < color_N
canv.ctx.drawImage(cell_pics[col], (i - 1) * cell_w, (j - 1) * cell_h);
}
function RGBtoHEX(r, g, b) {
return "#" + ((1 << 24) + (r << 16) + (g << 8) + b).toString(16).slice(1);
}
function prepare_colors(N) {
var col = [];
var n = N / 6 - 1;
for (var i = 0; i < 256; i += Math.floor(255 / n))
col.push(RGBtoHEX(255 - i, 255, 255));
for (var i = 0; i < 256; i += Math.floor(255 / n))
col.push(RGBtoHEX(0, 255 - i, 255));
for (var i = 0; i < 256; i += Math.floor(255 / n))
col.push(RGBtoHEX(0, 0, 255 - i));
for (var i = 0; i < 256; i += Math.floor(255 / n))
col.push(RGBtoHEX(i, 0, 0));
for (var i = 0; i < 256; i += Math.floor(255 / n))
col.push(RGBtoHEX(255, i, 0));
for (var i = 0; i < 256; i += Math.floor(255 / n))
col.push(RGBtoHEX(255, 255, i));
return col;
}
function prepare_cell_pics(col) {
var pics = [];
for (var i = 0; i < col.length; i++) {
var cell = document.createElement('canvas');
var cell_ctx = cell.getContext('2d');
cell_ctx.fillStyle = col[i];
cell_ctx.beginPath();
cell_ctx.rect(0, 0, cell_w, cell_h);
cell_ctx.fill();
pics.push(cell);
}
return pics;
}
function init_canvas(canvas) {
canvas.onselectstart = function () {return false;}; // запрет выделения canvas
canvas.oncontextmenu = function () {return false;}; // блокировка контекстного меню
var canv_obj = {};
canv_obj.ctx = canvas.getContext("2d"); // на context происходит рисование
canv_obj.w = canvas.width; // ширина окна в расчетных координатах
canv_obj.h = canvas.height; // высота окна в расчетных координатах
return canv_obj;
}
}
Файл "Wave_Heat_2D.html"
<!DOCTYPE html>
<html>
<head>
<meta charset="UTF-8" />
<title>Wave 2D</title>
<script src="Wave_Heat_2D.js"></script>
</head>
<body>
<table align=center>
<tr>
<td><canvas id="Wave_Heat_2D_canvas" width="650" height="650" style="border:1px solid #000000; border-radius:6px; margin-bottom: -5px"></canvas><br>
<td style="font:bold 12px sans-serif; color:#003366; background-color: #bbbbdd; border-radius:10px; padding: 8px; padding-right: 12px; vertical-align:top">
<div style="text-align: center; font: bold italic 20px Arial, 'Helvetica Neue', Helvetica, sans-serif;">Опции</div>
<hr>
<input type="radio" id="radio_heat" name="eq_radio" /> Уравнение теплопроводности<br>
<input type="radio" id="radio_wave" name="eq_radio" checked/> Волновое уравнение<br><br>
<span id="damping_span">Сила затухания:</span><br><input type="range" id="slider_damping_power" style="width: 150px;"><br><br>
<input type="button" id="button_pause" value="Пауза/Старт"/><br>
<input type="button" id="button_clear" value="Очистить"/><br><br>
<hr>
<span style="color: #000000">Граничные условия:</span><br>
<input type="radio" id="radio_BC_mirror" name="BC_radio" checked/>Зеркальные<br>
<input type="radio" id="radio_BC_periodic" name="BC_radio" />Периодические<br>
</td>
</tr>
<tr>
<td colspan="2" style="font:bold 12px sans-serif; color:#333333; background-color: #cccccc; border-radius:10px; padding: 8px; padding-right: 12px; vertical-align:top">
<div style=" padding-bottom: 6px">
<abbr style="border-bottom: 1px dotted black;"
title="Сюда можно вписать код на языке JavaScript, который будет задавать двумерные ГУ системы. Задавать можно следующие значения: M[i][j].u - температура/перемещение; M[i][j].v - первая производная (имеет смысл задавать только для волнового уравнения). Также можно использовать следующие переменные: nx, ny - количество частиц по горизонтали и по вертикали; M_max, M_min - максимальное и минимальное значение, возможное в массиве (на эти значения настроен цветовой диапазон программы, значения, выходящие за пределы, могут отображаться некорректно). Превратить участок в ГУ можно с помощью M[i][j].BC = true;">Начальные условия:</abbr>
</div>
for (var i = 0; i < nx; i++) {<br>
for (var j = 0; j < ny; j++) {
<textarea id="IC_text" cols="40" rows="5" wrap=off style="width:95%; height:5.3em; resize: vertical;"></textarea><br>
}<br>
}<br>
<input type="button" id="apply_IC_button" value="Применить" style="margin-top: 8px"/>
<input type="button" id="clear_IC_window_button" value="Очистить поле для ввода"/><br><br>
<span style="padding: 0 4px 0 0;">Примеры:</span><span id="generated_buttons_span"></span>
</td>
<td></td>
</tr>
<tr><td colspan="2" style="font:italic bold 12px Georgia, sans-serif; color:#ffffff; background-color: #888888; border-radius:6px; padding: 8px;">
<a href="http://tm.spbstu.ru/%D0%A6%D0%B2%D0%B5%D1%82%D0%BA%D0%BE%D0%B2_%D0%94%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%81_%D0%92%D0%B0%D0%BB%D0%B5%D1%80%D1%8C%D0%B5%D0%B2%D0%B8%D1%87">Denis Tcvetkov</a>
&
<a href="http://tm.spbstu.ru/%D0%90.%D0%9C._%D0%9A%D1%80%D0%B8%D0%B2%D1%86%D0%BE%D0%B2">Anton Krivtsov</a>
© 2014
</td></tr>
</table>
</body>
</html>
</toggledisplay>
