[ТМ|Кафедра ТМ]] >
Научный справочник >
Потенциалы взаимодействия >
Многочастичные силовые >
Терсоффа, Бреннера
Потенциал Терсоффа
Энергия системы частиц задается с помощью выражений [1] [2] [3]:
[math]E = \sum_i E_i = \frac{1}{2} \sum_{i, j (\neq i)} V_{ij},[/math]
где [math]i,j[/math] – индексы частиц. [math]E[/math] – полная потенциальная энергия;
[math]E_i[/math] – энергия, приходящаяся на одну частицу; [math]V_{ij}[/math] – энергия, приходящаяся
на пару частиц:
[math]V_{ij} = f_C (r_{ij})\left(f_R (r_{ij}) + b_{ij} f_A (r_{ij})\right),[/math]
[math]r_{ij}[/math] – расстояние между частицами [math]i,j[/math], [math]f_C (r)[/math] –
функция обрезания (cutoff function):
[math]
f_C (r) = \left\{
\begin{array}{l}
1, \\
\frac{1}{2} \left[ 1 - \sin(\frac{\pi(r - R)}{2D}) \right],\\
0, \\
\end{array} \right.
\begin{array}{l}
r \lt R - D, \\
R - D \lt r \lt R + D, \\
r \gt R + D,
\end{array}
[/math]
[math]f_R (r)[/math] – функция отталкивания, [math]f_A (r)[/math] – функция притяжения.
Выражения для функций притяжения и отталкивания
имеют вид:
[math]
\begin{array}{c}
f_R (r) = A \exp (-\lambda_1 r), \\
f_A (r) = - B \exp (-\lambda_2 r).
\end{array}
[/math]
Коэффициент [math]b_{ij}[/math] имеет вид:
[math]
b_{ij} = (1 + \beta^n\zeta_{ij}^n)^{-1/(2n)},
[/math]
[math]
\zeta_{ij} = \sum_{k\neq i,j} f_C (r_{ik}) g (\theta_{ijk})
\exp(\lambda_3^3 (r_{ij}-r_{ik})^3),
[/math]
[math]
g (\theta) = 1 + \frac{c^2}{d^2} - \frac{c^2}{d^2 + (h - \cos \theta)^2},
[/math]
где [math]\theta_{ijk}[/math] – угол между связями, соединяющими атомы
[math]i,j[/math] и [math]i,k[/math].
Коэффициенты, используемые для атомов углерода:
[math]
\begin{array}{l}
A = 1393.6 \,\mbox{eV}, \\
B = 346.74 \,\mbox{eV}, \\
\lambda_1 = 3.4879 \,\mbox{Å}^{-1}, \\
\lambda_2 = 2.2119 \,\mbox{Å}^{-1}, \\
\beta = 1.5724 \cdot 10^{-7}, \\
n = 0.72751,
\end{array}
\begin{array}{l}
c = 38049, \\
d = 4.3484, \\
h = -0.57058, \\
R = 1.95 \,\mbox{Å}, \\
D = 0.15 \,\mbox{Å}, \\
\lambda_3 = 0.
\end{array}
[/math]
Коэффициенты, используемые для атомов кремния:
[math]
\begin{array}{l}
R = 3 \mbox{Å}, \\
A = 3264.7 \mbox{eV}, \\
\lambda_1 = 3.2394 \mbox{Å}, \\
\beta = 0.33675, \\
c = 4.8381,
\end{array}
\begin{array}{l}
D = 0.2 \mbox{Å}, \\
B = 95.373 \mbox{eV}, \\
\lambda_2 = \lambda_3 = 1.3258 \mbox{Å}, \\
n = 22956, \\
d = 2.0417.
\end{array}
\begin{array}{l}
h = 0,
\end{array}
[/math]
Потенциал Терсоффа-Бреннера
(или потенциал Бреннера первого поколения)
При вычислении энергии межатомного взаимодействия с помощью потенциала
Терсоффа-Бреннера используются следующие выражения [4] [5]:
[math]
V_B = \sum_i \sum_{j (\gt i)} \left[ V_R (r_{ij}) - \overline{B_{ij}} V_A (r_{ij}) \right],
[/math]
где [math]r_{ij}[/math] – расстояние между частицами [math]i,j[/math].
[math]V_R (r)[/math] и [math]V_A (r)[/math] – функции отталкивания и притяжения,
имеющие вид:
[math]
V_R (r) = \frac{ D^{(e)} }{ S - 1 } \exp (-\sqrt{2S} \beta (r - R^{(e)})) f_C (r),
[/math]
[math]
V_A (r) = \frac{ D^{(e)} S }{ S - 1 } \exp (-\sqrt{2 / S} \beta (r - R^{(e)})) f_C (r).
[/math]
Константы имеют значения: [math]D^{(e)} = 6.0[/math] eV, [math]S = 1.22[/math],
[math]\beta = 21[/math] нм[math]^{-1} = 2.1 \,\mbox{Å}^{-1}[/math]
и [math]R^{(e)} = 0.1390[/math] нм [math]= 1.390\,\mbox{Å}[/math].
Функция обрезания (cut-off function) [math]f_C (r)[/math] имеет вид:
[math]
f_C (r) = \left\{
\begin{array}{l}
1, \\
\frac{1}{2} \left[ 1 + \cos(\frac{\pi(r - R^{(1)}) }{ (R^{(2)} - R^{(1)})}) \right],\\
0, \\
\end{array} \right.
\begin{array}{l}
r \lt R^{(1)}, \\
R^{(1)} \lt r \lt R^{(2)}, \\
r \gt R^{(2)},
\end{array}
[/math]
где константы [math]R^{(1)} = 0.17[/math] нм [math]= 1.7 \,\mbox{Å}[/math] и
[math]R^{(2)} = 0.2[/math] нм [math]= 2 \,\mbox{Å}[/math]. Параметр
[math]\overline{B_{ij}} = (B_{ij} + B_{ji}) / 2[/math], где
[math]
B_{ij} = \left[ 1 + \sum_{k (\neq i, j)} G(\theta_{ijk}) f_C(r_{ik})
\right]^{-\delta},
[/math]
где [math]\delta = 0.5[/math], [math]\theta_{ijk}[/math] – угол между связями, соединяющими атомы
[math]i,j[/math] и [math]i,k[/math]. Функция [math]G[/math] имеет вид:
[math]
G (\theta) = a_0 \left[ 1 + \frac{c_0^2 }{ d_0^2} - \frac{c_0^2 }{ d_0^2 + (1 + \cos \theta)^2} \right],
[/math]
где [math]a_0 = 0.000\,208\,13[/math], [math]c_0 = 330[/math] и [math]d_0 = 3.5[/math].
Потенциал Бреннера второго поколения
Потенциал Бреннера второго поколения позволяет представить энергию связи
в виде [6]:
[math]
E_b = \sum_i \sum_{j (\gt i)} \left[ V^R (r_{ij}) - b_{ij} V^A (r_{ij}) \right].
[/math]
Между атомами углерода функции отталкивания и притяжения имеют вид:
[math]
V^R (r) = f^c (r) (1 + Q / r) A e^{-\alpha r},
[/math]
[math]
V^A (r) = f^c (r) \sum_{n = 1,3} B_n e^{-\beta_n r},
[/math]
где
[math]
f^c (r) = \left\{
\begin{array}{l}
1, \\
\left[ 1 + \cos(\pi(r - D_{\min}) / (D_{\max} - D_{\min})) \right] / 2,\\
0, \\
\end{array} \right.
\begin{array}{l}
r \lt D_{\min}, \\
D_{\min} \lt r \lt D_{\max}, \\
r \gt D_{\max},
\end{array}
[/math]
Параметры имеют вид:
[math]
\begin{array}{l}
B_1 = 12 388.791 977 98 \,\mbox{eV},\; \beta_1 = 4.720 452 3127 \,\mbox{Å}^{-1},\; Q = 0.313 460 296
0833 \,\mbox{Å},\\
B_2 = 17.567 406 465 09 \,\mbox{eV},\; \beta_2 = 1.433 213 2499 \,\mbox{Å}^{-1},\; A = 10 953.544 162 170
\,\mbox{eV},\\
B_3 = 30.714 932 080 65 \,\mbox{eV},\; \beta_3 = 1.382 691 2506 \,Å^{-1},\; \alpha = 4.746 539 060 6595
\,\mbox{Å}^{-1},\\
D_{\min} = 1.7 \,\mbox{Å},\; D_{\max} = 2.0 \,\mbox{Å}.
\end{array}
[/math]
Множитель [math]b_{ij}[/math] равен [math]b_{ij} = (B_{ij} + B_{ji}) / 2[/math],
где
[math]
B_{ij} = \left[ 1 + \sum_{k (\neq i, j)} f^c (r_{ik}) G(\cos(\theta_{ijk}))
\right]^{-1/2},
[/math]
где [math]\theta_{ijk}[/math] – угол между связями, соединяющими атомы
[math]i,j[/math] и [math]i,k[/math]. Функция [math]G(\cos\theta)[/math] строится как полином через значения функции и ее
производных в точках, соответствующих равновесным конфигурациям алмаза ([math]\theta =
\arccos(-1/3)[/math]) и графена ([math]\theta = 2 \pi / 3[/math]):
| [math]\theta(rad)[/math]
|
[math]G(\cos \theta)[/math]
|
[math]dG(\cos \theta) / d\cos \theta[/math]
|
[math]d^2 G(\cos \theta) / d\cos \theta^2[/math]
|
| [math]0.6082\pi[/math]
|
[math]0.097 33[/math]
|
[math]0.400 00[/math]
|
[math]1.980 00[/math]
|
| [math]2\pi / 3[/math]
|
[math]0.052 80[/math]
|
[math]0.170 00[/math]
|
[math]0.370 00[/math]
|
Литература
- ↑ J.Tersoff, New empirical approach for the structure and energy of covalent system
// Phys.Rev. B (1988) V. 37, No 12, P.6991–6999 (2.50 Mb)
- ↑ J.Tersoff, Empirical Interatomic Potential for Carbon, with Applications to Amorphous
Carbon // Phys.Rev. B. 1988. 61, 2879–2882.
(708 Kb)
- ↑ Sakir Erkoc, Empirical many-body potential energy functions used computer simulations
of condensed matter properties, Physics Reports 278 (1997), P. 79–105 (937 Kb)
- ↑ D.W.Brenner. Empirical Potential for Hydrocarbons for Use in Simulating the
Chemical Vapor Deposition of Diamond Films // Phys.Rev. B. 1990. V.42, pp. 9458–9471.
(2.21 Mb) (Errata 102 Kb)
- ↑ C.D.Reddy, S.Rajendran and K.M.Liew, Equilibrium configuration and continuum
elastic properties of finite sized graphene // Nanotechnology, 2006, 17, 864–870.
- ↑ D.W.Brenner, O.A.Shenderova, J.A.Harrison, S.J.Stuart, B.Ni, S.B.Sinnot.
A second-generation reactive empirical bond order (REBO) potential energy expression for
hydrocarbons // J.Phys: Condens. Matter 14 (2002), 783–802.
(144 Kb)
Ссылки
