Тема проекта
Описание колебаний двойного маятника
Постановка задачи
Стержень прикреплен к потолку посредством циллиндрического шарнира. Cнизу к этому стержню прикреплен второй также посредством циллиндрического шарнира таким образом что когда маятник вытянут вдоль вертикали, обе оси вращения шарниров расположены в горизонтальной плоскости а угол между ними составляет [math]\alpha[/math]. Диссипативные силы не учитываются.
Параметры системы:
- Тензоры инерции первого и второго стержней равны [math]\underline{\underline{\Theta}}_1[/math] и [math]\underline{\underline{\Theta}}_2[/math] соответственно.
- Длины стержней равны a и b, их массы [math]m_1[/math] и [math]m_2[/math] соответственно первому и второму стержням.
- Угол между осями вращения шарниров равен [math]\alpha[/math]
- [math]\varphi[/math] - угол между первым стержнем и вертикалью
- [math]\psi[/math] - угол между осью первого стержня и вторым стержнем т.е. угол во втором шарнире относительно вытянутого положения
Задача:
- Найти уравнение движения системы
Решение
Определимся с подходом к решению: Задачу будем решать при помощи уравнения Лагранжа имеющего следующий вид:
[math]\frac{d}{dt}\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_i}-\frac{\partial T}{\partial q_i} = -\frac{\partial \Pi}{\partial q_i}+Q_i[/math]
- [math]T[/math] - Кинетическая энергия системы
- [math]\Pi[/math] - Потенциальная энергия системы
- [math]q_i[/math] - Обобщенные координаты
- [math]\dot{q}_i[/math] - Обобщенные скорости
- [math]Q_i[/math] - Обобщенные непотенциальные силы
Выберем обобщенные координаты: в качестве обобщенных координат возьмем углы [math]\varphi[/math] и [math]\psi[/math]
- В нашем случае отсутствуют обощенные силы, соответствующие непотенциальным взаимодействиям.
Найдем потенциальную и кинетическую энергии системы: [math]\Pi_1 , T_1 ; \Pi_2 , T_2 [/math] соответственно первого и второго стержней.
[math]\Pi = \Pi_1 + \Pi_2[/math] - Потенциальная энергия системы
[math]T = T_1 + T_2[/math] - Кинетическая энергия системы
[math]T_1 = \frac{\underline{\omega}_1 \cdot \underline{\underline{\Theta}}_1 \cdot \underline{\omega}_1}{2} = \frac{\Theta_1 \omega_1^2}{2} = \frac{\Theta_1 \dot{\varphi}^2}{2}[/math] - Кинетическая энергия первого стержня; Где
[math]\qquad \Theta_1 = \frac{m_1 a^2}{3}[/math] - момент инерции первого стержня
[math]\Pi_1 = m_1 g \left( \frac{a}{2} - \frac{a}{2} \cos \varphi \right)[/math] - Потенциальная энергия первого стержня
[math]T_2 = \frac{\underline{\omega}_2 \cdot \underline{\underline{\Theta}}_2 \cdot \underline{\omega}_2}{2} + \frac{m_2 \vartheta_c^2}{2}[/math] - Кинетическая энергия второго стержня
[math]\underline{\omega}_2 = ?[/math]
Найдем вектор угловой скорости второго стержня:
Для нахождения [math]\underline{\omega}_2[/math] найдем тензоры поворота первого и второго стержней
[math]\underline{\underline{P}}_1(\varphi,\underline{k}) = \underline{k}\underline{k} + (\underline{\underline{E}} - \underline{k}\underline{k})cos(\varphi) + \underline{k} \times \underline{\underline{E}}sin(\varphi)[/math]
[math]\underline{\underline{P}}_2(\psi,\underline{e}) = \underline{e}\underline{e} + (\underline{\underline{E}} - \underline{e}\underline{e})cos(\psi) + \underline{e} \times \underline{\underline{E}}sin(\psi)[/math]
Где:
[math]\underline{e} = \underline{\underline {P}}_1 \cdot \underline{e}_0[/math] - ось вращения второго стержня в данном положении
[math]\underline{e}_0 = \cos(\alpha) \underline{k} + \sin(\alpha) \underline{i}[/math] - ось вращения второго стержня в начальном положении
[math]\underline{\underline{P}} = \underline{\underline{P}}_2 \cdot \underline{\underline{P}}_1[/math] - полный тензор поворота второго стержня
Но:
[math] \underline{\underline{P}} = \underline{\underline{P}}_2 \cdot \underline{\underline{P}}_1 = \underline{\underline{P}}(\psi,\underline{e}) \cdot \underline{\underline{P}}_1 = \underline{\underline{P}}_1 \cdot \underline{\underline{P}}(\psi,\underline{e_0})\cdot \underline{\underline{P}}^T_1 \cdot \underline{\underline{P}}_1 = \underline{\underline{P}}_1 \cdot \underline{\underline{P}}(\psi,\underline{e_0})[/math]
Теперь применяя формулу сложения угловых скоростей получим:
[math]\underline{\omega}_2 = \underline{\omega}_1 + \underline{\underline{P}}_1 \cdot \underline{\tilde{\omega}}_2; \qquad \underline{\tilde{\omega}}_2 = \dot{\psi}\underline{e_0}[/math]
Таким образом получаем что:
[math]\underline{\omega}_2 = \dot{\varphi} \underline{k} + \dot{\psi}\underline{e}[/math]
Найдем скорость центра масс второго стержня
[math]\underline{\vartheta}_c = \frac{1}{2}\underline{\omega}_2 \times \underline{b} + \dot{\varphi}\underline{k}\times \underline{a} ; \qquad \underline{a} = \underline{\underline{P}}_1 \cdot a\underline{j} ; \qquad \underline{b} = \underline{\underline{P}}_1 \cdot \underline{\underline{P}}(\psi,\underline{e_0}) \cdot b\underline{j}[/math]
Найдем кинетическую энергию второго стержня
Запишем тензор инерции второго стержня:
[math]\underline{\underline{\Theta}}_2 = \frac{ml^2}{12}\left(\underline{\underline{E}} - \underline{\tilde{e}\tilde{e}} \right) ;\qquad \underline{\tilde{e}} = \underline{\underline{P}}_1 \cdot \underline{\underline{P}}(\psi,\underline{e_0}) \cdot \underline{j}[/math]
Теперь мы нашли все необходимое для подставления в формулу для кинетической энергии второго стержня:
[math]T_2 = \frac{\underline{\omega}_2 \cdot \underline{\underline{\Theta}}_2 \cdot \underline{\omega}_2}{2} + \frac{m_2 \vartheta_c^2}{2}[/math]
Найдем потенциальную энергию второго стержня
[math]\Pi_2 = mg(a+b - \underline{r}_c \cdot \underline{j}); \qquad \underline{r}_c = \underline{a} + \frac{1}{2}\underline{b}[/math] - радиус-вектор центра масс второго стержня
Получение уравнения движения
Продифференцируем полученные выражения для потенциальной и кинетической энергий, как это требует уравнение Лагранжа и подставим полученное в него. В результате получим систему из двух дифференциальных уравнений которые описывают движение системы.
Заметим что данный метод решения дает нам уравнение движения для больших углов, в случае необходимости его можно линеаризовать предположив что углы [math]\varphi,\psi[/math] малы и отбросив слагаемые второго порядка.
Применение метода решения для частного случая
Проверим описанный выше метод в частном случае при [math]\alpha = 0[/math]
В таком случае задача сводится к двухмерной.
Найдем тензоры поворота
[math]\underline{\underline{P}}_1(\varphi,\underline{k}) = \underline{k}\underline{k} + (\underline{\underline{E}} - \underline{k}\underline{k})cos(\varphi) + \underline{k} \times \underline{\underline{E}}sin(\varphi)[/math]
[math]\underline{e}_0 = \cos(\alpha) \underline{k} + \sin(\alpha) \underline{i} = \underline{k}[/math]
[math]\underline{e} = \underline{\underline {P}}_1 \cdot \underline{e}_0 = \underline{k}[/math]
[math]\underline{\underline{P}}_2(\psi,\underline{e})= \underline{\underline{P}}_2(\psi,\underline{k}) = \underline{k}\underline{k} + (\underline{\underline{E}} - \underline{k}\underline{k})cos(\psi) + \underline{k} \times \underline{\underline{E}}sin(\psi)[/math]
Найдем угловую скорость второго стержня
[math]\underline{\omega}_2 = (\dot{\varphi}+\dot{\psi})\underline{k}[/math]
Найдем скорость центра масс
[math]\upsilon^2_c = \frac{1}{4} b^2 (\dot{\varphi}+\dot{\psi})^2 + ab\cos\psi(\dot{\varphi}+\dot{\psi})\dot{\varphi} + a^2\dot{\varphi}^2[/math]
Найдем кинетическую энергию второго стержня
[math]T_2 = \frac{1}{2} \left( \frac{m_2 b^2}{3}(\dot{\varphi}+\dot{\psi})^2 + m_2 ab\cos\psi(\dot{\varphi}+\dot{\psi})\dot{\varphi} + m_2 a^2\dot{\varphi}^2 \right)[/math]
Найдем потенциальную энергию второго стержня
[math]\Pi_2 = mg \left[ a \left(1-\cos\varphi \right) + \frac{b}{2}\left(2 + \sin\varphi\sin\psi - \cos\varphi\cos\psi \right) \right][/math]
Найдем кинетическую и потенциальную энергии первого стержня
[math]T_1 = \frac{1}{2}\frac{m_1 a^2}{3}\dot{\varphi}^2[/math]
[math]\Pi_1 = m_1 g \left( \frac{a}{2} - \frac{a}{2} \cos \varphi \right)[/math]
Получение уравнения движения для частного случая
Обсуждение результатов и выводы
Ссылки по теме
См. также
