Краморов Данил. Курсовой проект по теоретической механике

Тема проекта

Колебания шарика в вертикальном воздушном потоке

Постановка задачи

Тело - в данном эксперименте шарик для настольного тенниса - помещается на край вертикального воздушного потока (создается феном). Подчиняясь закону Бернулли, шарик будет пытаться стабилизироваться в центре потока, совершая колебания. Требуется найти уравнение колебаний шарика. Рассматриваются только горизонтальные колебания внутри потока.

Параметры системы:

[math] d = 4*10^{-2}[/math] м (диаметр потока)
[math] \rho = 0.125 [/math] кг/м^3 (массовая плотность воздуха)
[math] A = 12,56*10^{-4} [/math] м^2 (площадь поперечного сечения шара)
[math] Cl = 0.5 [/math] (коэффициент подъемной силы)
[math] \upsilon = 5.6 [/math] м/с (максимальная скорость потока, расчет приведен)

Решение

Рассмотрим горизонтальную составляющую второго закона Ньютона для данного тела. В этом направление на шарик действуют подъемная сила (объясняемая эффектом Магнуса) и сила аэродинамического сопротивления.

[math]m \ddot x = \frac{1} {2} \rho \upsilon^2 ACl- A \dot x ;[/math]

Шарик не является точечным делом, поэтому на границы шарика действуют два разных по значению подъемные силы. Они будут противоположны по знаку. Следовательно уравнение движения будет иметь вид:

[math]m \ddot x = \frac{1} {2} \rho ({\upsilon_1}^2-{\upsilon_2}^2) ACl - A \dot x ;[/math]

Распределение Гаусса

Задача сводится к нахождению функции, описывающей скорость шара в вертикальном воздушном потоке. Найти требуемую функцию можно разными способами. Максимальная скорость будет достигаться в центре потока. По краям же скорость будет меньшей. Следовательно в грубом приближение функция скорости будет повторять функцию распределения вероятностей (распределение Гаусса). Функция плотности распределения имеет вид:

[math]f(x)= \frac{1} {\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x- \mu)^2} {\sigma^2}}[/math]

[math] \mu[/math] - коэффициент сдвига (вещественное число)
[math] \sigma[/math] - коэффициент масштаба (вещественный, строго положительный)

Представляя данную функцию функцией скорости, получаем зависимость от местоположения в потоке.
[math] \mu[/math] = d/2, [math] \sigma[/math] = d/6, где d - диаметр потока.

[math] \upsilon(x)= \frac{1} {\frac{d} {6} \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x- \frac{d} {2})^2} {({\frac{d} {6}})^2}}[/math]
[math] \upsilon(x)= \frac{6} {d \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{9(2x- d)^2} {d^2}}[/math]

Для плотности распределения максимальным значением будет 1. Для скорости же оно будет иным. В связи с этим следует найти коэффициент, на который нужно домножить функцию, чтобы получить точное значение.

Расчет коэффициента

График ускорения

График скорости

Для начала следует найти скорость потока в центре (максимальную скорость).

[math] q = \frac {\rho \upsilon^2*10} {2} [/math]
[math] q = \frac {F} {S} = \frac {mg} {A} [/math]
[math] \frac {\rho \upsilon^2*10} {2} = \frac {mg} {A} [/math]
[math] \upsilon = \frac {mg} {5 \rho A} [/math]

Теперь находим коэффициент z.

[math] \frac {mg} {5 \rho A} = \frac {6*z} {d \sqrt{2\pi}} [/math]
[math] z = \frac {mg d \sqrt{2\pi}} {30 \rho A} [/math]

Итог

График движения

[math]m \ddot x = \frac{k} {\pi d^2} (e^{-\frac{(2x_1- d)^2} {d^2}} - e^{-\frac{(2x_2- d)^2} {d^2}}) - A \dot x;[/math]
[math] x_2 = x_1+r [/math]
Общая формула будет иметь вид:

[math]m \ddot x = \frac{k} {\pi d^2} (e^{-\frac{(2x+2r- d)^2} {d^2}} - e^{-\frac{(2x-2r-d)^2} {d^2}}) - A \dot x;[/math]

где [math] k = 7*10^{-5} [/math];

Уравнение колебаний для шарика в вертикальном воздушном потоке найдено.

Обсуждение результатов и выводы

Аналитический расчет подтвердил экспериментальную оценку. Окончательное уравнение показало, что тело в вертикальном воздушном потоке совершает затухающие колебания. Также можно отметить, что колебания оказались очень малы. Шарик практически моментально стабилизируется в потоке. Что касается вертикальных колебаний, то они зависят от перепадов напряжения в сети и носят довольно случайный характер. Посредством пакета matlab были построены графики скорости, ускорения и движения тела в потоке.

Ссылки по теме

Закон Бернулли
Эффект Магнуса

См. также

• Справочная информация
• Список курсовых проектов
• Кафедра "Теоретическая механика"
• Краморов Данил