Курсовые работы по ТОМДЧ: 2012

Предмет: "Теоретическая механика"

Лектор: Кузькин Виталий Андреевич

Группа: 50510

Семестр: весна 2012

Моделирование падения столба жидкости методом гидродинамики сглаженных частиц (SPH) и молекулярной динамики (MD)

Исполнители: Ольга Бразгина (SPH), Мурачев Андрей(SPH), Павлов Павел (MD), Посысаев Сергей (MD)

Гидродинамика сглаженных частиц

Гидродинамика сглаженных частиц (англ. Smoothed Particle Hydrodynamics, SPH) — вычислительный метод для симуляции жидкостей и газов. Метод гидродинамики сглаженных частиц является не-сеточным лагранжевым методом (то есть координаты движутся вместе с жидкостью), и разрешающая способность метода может быть легко отрегулирована относительно переменных, таких как плотность.

Эти частицы имеют пространственное расстояние, на котором их свойства «сглаживаются» функцией ядра. Это значит, что любая физическая величина любой частицы может быть получена путем суммирования соответствующих величин всех частиц которые находятся в пределах двух сглаженных длин.

Влияние каждой частицы на свойства оценивается в соответствии с её плотностью и расстоянием до интересующей частицы. Математически, это описывается функцией ядра (обозначается [math]\mathbf{W}[/math]). В качестве функции ядра часто используют функцию Гаусса (функция нормального распределения) или кубический сплайн.

Моделирование взаимодействия с помощью потенциала Леннарда-Джонса

Моделирование метода SPH

В данной работе функция ядра бралась в форме, предложенной Lucy.

[math]W(r\lt a_{cut})=\left(\frac{5}{\pi a^2_{cut}}\right)\left( 1+3\frac{r}{a_{cut}}\right)\left( 1-\frac{r}{a_{cut}}\right)^3,[/math]

где [math]a_{cut}[/math]- радиус обрезания сил.

Плотность по определению, это величина:

[math]\rho_i=\rho(\mathbf{r_i})=m\sum_j W(| \mathbf{r_i}_{i}-\mathbf{r}_{j} |)[/math]

Для данной задачи необходимо было найти силу с которой одна частица, действует на другую. Для этого решалось уравнение:

[math]\mathbf{f(r)_i} = -m\sum_j \left(\left(\frac{P}{\rho}\right)^2_i-\left(\frac{P}{\rho}\right)^2_j\right) \cdot\bigtriangledown_i W(| \mathbf{r}_{i}-\mathbf{r}_{j} |),[/math]

где

[math]P=k\cdot(\rho(\mathbf{r})-\sqrt{2}),[/math]

[math]k[/math]-константа.

Плюс ко всему к этой силе, прибавлялась сила, для того, что бы .....

[math]\mathbf{F(r)}=\gamma(\mathbf{v_i}-\mathbf{v_j})\cdot(\mathbf{r_i}-\mathbf{r_j})\cdot \mathbf{e_{ij}}[/math]

[math]\gamma[/math]-константа.

Гидродинамика сглаженных частиц всё более часто используется для моделирования движения жидкостей. Это происходит из-за некоторых преимуществ метода SPH по сравнению с традиционными основанными на сетке методиками. Во-первых, SPH гарантирует сохранение массы без дополнительных вычислений, так как частицы сами по себе представляют массу. Во-вторых, SPH вычисляет давление от воздействия соседних частиц, также имеющих массу, а не решает систему линейных уравнений. Наконец, в отличие от основанных на сетке методик, которые должны прослеживать границы жидкости, SPH создаёт свободную поверхность для непосредственно двухфазных взаимодействующих жидкостей, так как частицы представляют более плотную жидкость (обычно воду), а свободное пространство представляет более лёгкую жидкость (обычно воздух). По этим причинам благодаря SPH возможно моделировать движение жидкости в режиме реального времени.

Метод классической молекулярной динамики

Сравнивая результаты моделирования методами SPH и с помощью потенциала Леннарда-Джонса, можно отметить следующие различия:

1. При равных условиях моделирования метод динамики частиц требует большей гравитационной силы, что связано с большими силами отталкивания.

2. По этой же причине частицы при отражении от стены сильнее отталкиваются и разлетаются.

3. При уравновешивании системы методом динамики частиц образуется устойчивая ГЦК-структура, при моделировании SPH структура не настолько упорядочена.

Моделирование пластического деформирования твердого тела под действием гравитации методом молекулярной динамики (MD)

Исполнители: Плешаков Никита

---

С помощью метода молекулярной динамики построена модель взаимодействия частиц. Численное интегрирование осуществлялось методом Эйлера. Для описания взаимодействия между частицами использовался потенциал Леннард-Джонса. Вязкое трение между частицами вводится посредством коэффициента при разности скоростей пары взаимодействующих частиц. Так же на каждую частицу действует массовая сила заданной величины(аналог гравитационных сил). Показателем адекватности модели являются графические результаты, которые имеют сходство с данными наблюдаемыми в эксперименте.

Далее представлены результаты моделирования для двух задач:

а) Пластическое течение столба вязкого материала в кубическом сосуде

Данный опыт демонстрирует вязко-пластические свойства описываемого материала. Можно наблюдать как материал с течением времени пластически деформируется и принимает форму сосуда, что соответствует реальному поведению вязко-пластических материалов. Исследуемое число частиц - 1728

б) Обтекание препятствия(полосы) вязко-пластическим материалом

В качестве приложения рассмотрена задача обтекания препятствия. На представленной анимации наблюдается наблюдается как сдвиг пласта материала, так и расширение стенки в направлении перпендикулярном вектору массовых сил, что так же можно наблюдать в реальных экспериментах. Исследуемое число частиц - 1944

Ссылки

• Теоретические основы метода динамики частиц
• Кафедра "Теоретическая механика"