Устойчивость протопланетного облака системы "Земля - Луна"

Проект выполняет Мурачёв Андрей, научный руководитель А.М.Кривцов.

Введение к первой модели

Рассматривается модель протопланетного облака, состоящего из пыли и газа, образовавшегося засчет испарения пылинок. Плотность вещества в протопланетном диске превышает [math]10^{-18} g/cm^3[/math], размеры частиц космической пыли составляют около 0,1 мкм . Газопылевой диск вокруг формирующейся звезды очень быстро "сплющивается" под действием сил гравитации и центробежной силы, направленных к наиболее плотной части диска в плоскости его вращения. Спустя несколько сотен тысяч лет диск имеет массу около 0,1 Масс Солнца, размеры от 0,2 до 50-70 а.е. и толщину около 0,001 диаметра. Размеры пылевых частиц увеличиваются в результате слипания до 10 мкм; их орбиты становятся почти круговыми. Акустические ударные волны, распространяющиеся в облаке при сжатии протозвездного сгустка вещества и возгорании молодой звезды, способствуют возникновению неоднородностей в диске.

Современные астрофизические модели химической конденсации предполагают, что исходный состав протопланетного облака был близок к составу межзвездной среды и Солнца: по массе до 75% водорода, до 25% гелия и менее 1% всех прочих элементов.

Температура в центральной плоскости протопланетного диска Солнечной системы уменьшалась с удалением от Солнца. Особенно сильно нагревалась ближайшая к звезде "горячая" зона облака: на расстоянии в 1 а.е. температура составляла 300-400 К.

Я пренебрегаю некоторыми важными деталями для облегчения расчёта и упрощения модели. Далее планируется их все,по возможности, учесть. В частности:

1. В протооблаке присутствует газ, помимо испарившегося с пылинок. Его влияние не рассматривается, так как считается, что он весь вытеснен солнечным излучением.

2. Пока непонятна степень оптической прозрачности облака, которая зависит от концентрации и сорта частиц. А именно она оказывает решающие влияние на испарение пылинок. Я считаю облако полностью прозрачным, что, естественно неправда.

4. Соударения между пылинками можно рассматривать, как абсолютно упругие. Хотя это тоже неправда.

Диффузия от точечного источника

Рассмотрим облако состоящие из небольших шариков, находящихся во взвешенном состоянии. Обозначим их частицами с концентрацией [math]w[/math], Теперь, пусть один какой-нибудь шарик начнёт испарятся-излучать равномерно частицы с концентрацией [math]n[/math], пренебрежительно малых размеров. Напишем уравнение диффузии:

[math] \frac{\partial n}{\partial t} - D\triangle n= \dot N\delta^3(r) [/math]

Итоги

Рассмотрим облако состоящие из небольших шариков, находящихся во взвешенном состоянии. Обозначим их частицами с концентрацией [math]w[/math], Теперь, пусть один какой-нибудь шарик начнёт испарятся-излучать равномерно частицы с концентрацией [math]n[/math], пренебрежительно малых размеров. Напишем уравнение диффузии:

[math] \frac{\partial n}{\partial t} - D\triangle n= \dot N\delta^3(r) [/math]

, где [math]n(r,t)[/math] -концентрация частиц второго сорта на расстоянии [math]r[/math] от излучающей частицы в некоторый момент времени [math]t[/math], [math] D =\frac 13 lv=\frac{v}{3(n\sigma_{n}+w\sigma_{w})}[/math] - коэффициент диффузии ([math]\sigma[/math]- сечение взаимодействия пылинок) (В выражении для [math]D[/math] можно спокойно пренебречь членом, вносящим нелинейность во все последующие рассуждения-[math]n\sigma_{n}[/math]. В данной модели газ пылинок довольно разрежен, и соударения между пылинками редки, но газ молекул в свою очередь должен быть ещё более разрежен и на собственную диффузию не оказывать какого-либо заметного влияния. Поэтому [math] D =\frac 13 lv=\frac 13\cdot\frac{v}{w\sigma_{w}}[/math] , [math] \dot N [/math]-количество частиц, оторвавшихся с единицы поверхности пылинки за единицу времени [[math]1\backslash[/math] сек].

Процесс в нашем случае стационарный, поэтому первое слагаемое в левой части равно 0. Плюс ко всему, избавляемся от дельта-функции.

[math] -D\frac{dn}{dr}\cdot 4\pi r^2=\dot N [/math]

Проинтегрируем по [math]r[/math] и найдём, что в устоявшемся процессе концентрация частиц сорта [math]n[/math] распределена по пространству таким вот образом:

[math] n(r)=\frac{\dot N}{4\pi rD},r\gt 0....................[1] [/math]

Случай дискообразного протопланетного облака

Выделим в облаке окружность с центром в точке (0,0) некоторого радиуса [math]r[/math]. Концентрация молекул газа, а следовательно и оказываемое ими давление в силу симметрии будет одинаковым. Найдём эту концентрацию: Сначала учтём вклад "внутренней" области выделенной окружности. Представим ещё одну сферу радиуса [math]a[/math], где [math]a\lt r[/math] и найдём влияние этой сферы на бесконечно маленький объём [math]G[/math] на сфере радиуса [math]r[/math]. Для этого, очевидно надо воспользоваться формулой [1], где [math]r[/math] пробегает по всем расстояниям (с каждой точки поверхности сферы до G).

[math]L[/math]-расстояние от точки [math]G[/math] до точек правой полуокружности.

[math]\alpha[/math]-угол между радиус-вектором [math]r[/math] и радиусом [math]a[/math]

Смотри рисунок internal.

internal

Легко сообразить для левой полуокружности:

[math]L_1=\sqrt{r^2+a^2-2ra\cos (\alpha+3\frac\pi2)}=\sqrt{r^2+a^2+2ra\cos \alpha}[/math]

и

[math]L_2=\sqrt{r^2+a^2-2ra\cos (\frac \pi2 +\alpha) }=\sqrt{r^2+a^2-2ra\cos (\alpha) }[/math][math]Вставьте сюда формулу[/math]

для правой.

Интегрирование по [math]L[/math] сводится к интегрированию по [math]\alpha[/math] от 0 до [math]\frac \pi 2[/math] для "верхнего левого" и "нижнего правого" сектора. А потом результат удваивается.

[math]n(r)_{internal}=2\int_0^r da \left( \int_0^{\frac \pi 2 } d\alpha \frac{\dot N\cdot n(a)^*}{4\pi D\sqrt{r^2+a^2-2ra\cos \alpha}}+ \int_0^{\frac \pi 2 } d\alpha \frac{\dot N\cdot n(a)^*}{4\pi D\sqrt{r^2+a^2+2ra\cos \alpha}}\right)[/math]

Теперь можно оценить вклад внешних слоёв на наш выделенный объём G . Смотри рисунок external. Можно заметить, что тут всё то же самое, что и в предыдущем примере, лишь точка [math]G[/math] <<переехала>> с одного конца отрезка на другой, а [math]a[/math] и [math]r[/math] поменялись местами. Поэтому повторяя предыдущие рассуждения, можно записать

external

[math]n(r)_{internal}=2\int_r^R da \left( \int_0^{\frac \pi 2 } d\alpha \frac{\dot N\cdot n(a)^*}{4\pi D\sqrt{r^2+a^2-2ra\cos \alpha}}+ \int_0^{\frac \pi 2 } d\alpha \frac{\dot N\cdot n(a)^*}{4\pi D\sqrt{r^2+a^2+2ra\cos \alpha}}\right)[/math]

Тогда влияние вклад в концентрацию от испарений всего облака будет

[math]n(r)=n(r)_{external}+n(r)_{internal}=[/math]

[math]2\int_0^R da \left( \int_0^{\frac \pi 2 } d\alpha \frac{\dot N\cdot n(a)^*}{4\pi D\sqrt{r^2+a^2-2ra\cos \alpha}}+ \int_0^{\frac \pi 2 } d\alpha \frac{\dot N\cdot n(a)^*}{4\pi D\sqrt{r^2+a^2+2ra\cos \alpha}}\right)[/math]

concentration

Значение концентрации пылинок

[math]w(a)=\sqrt{1-\frac{a^2}{R^2}}[/math]

Задача свелась к вычислению данных интегралов.

Но этот интеграл не берётся в элементарных функциях. Поэтому он был вычислен численно. На рисунке concentration, изображен результат численного интегрирования. Здесь [math]R=1[/math], и константа перед интегралом тоже взята за 1 (Точный вид этой константы зависит от константы диффузии [math]D[/math]). Что удивительно, при [math]r=R[/math], значение интеграла не равно нулю. Это можно объяснить тем, что у реального протопланетного диска нет чёткой границы.

Уравнение равновесия.

Для нашего облака сила гравитационного "самопритяжения", должна быть уравновешенна некими другими силами. Очевидно это будет сила давления газа и центробежная сила вращения облака.

[math]{\bf F_{grav}=F_c+F_{press}}[/math]

[math]\frac{Gm(r)}{r^2}=\frac{v^2}{r}+\frac{dP}{dr}\cdot\frac{1}{w(r)}[/math]

Второе слагаемое правой части самое важное в данном контексте. Выражение для давления состоит из двух частей: Давление газового облака (напомню, именно оно должно давать основной вклад в массу) и давления испарений. Газ, в силу разреженности можно считать идеальным.

Где, [math]m(r)[/math]-масса протопланетного диска радиуса [math]r[/math]

Испарение пылинок в вакуум

Интенсивность испарения [[math]g/cm^2\cdot sek[/math]] определяется формулой Ленгмюра.

[math] \nu=11,69 p^* \sqrt{\frac{\mu}{T}} [/math] , где

[math]p^*[/math]-давление насыщенного пара данного вещества, Па.

[math]\mu[/math]-молекулярная масса вещества

[math]T[/math]-Температура облака, K.

Эта формула выведена для абсолютного вакуума, поэтому реальная скорость испарения в космическом пространстве будет меньше расчётной.

[math] \dot m =4\pi r^3 \nu =\gt \left(\frac{4}{3}\pi r^3 \rho \right)'=4\nu\pi r^3 =\gt \dot r = \frac{\nu}{\rho} [/math]

Отсюда "время жизни" [math]t_l=\frac{r \rho}{\nu}[/math], для льдинок диаметром 10 мкм эта величина ровна [math] 4.4 \cdot 10^{-5}[/math] сек.

Можно сделать отсюда нижнюю оценку для диаметра частиц. На самом деле "время жизни" пылинки [math]t_l[/math] должно быть больше времени свободного пробега [math]\tau[/math] этой пылинки. Это очень грубо, но для первых оценок вполне достаточно.

[math]\tau=\frac{\sqrt{2}}{8\pi} \frac{1}{ w \cdot d^2v}[/math] ,

где

[math]v[/math]- средняя скорость пылинок,

[math]d[/math] -диаметр пылинок.

Сравнивая эту формулу с выражением для "времени жизни" пылинки находим

[math]d^3\gt \frac{\sqrt{2}}{4\pi} \frac{\nu}{\rho n_1 v}[/math]

Давление насыщенного пара воды при [math]30^o C[/math] равно 4.2455 кПа.

Плотность льда равна 0,917 г/см³

Молекулярная масса воды равна 18 а. е. м.

Теперь остался главный вопрос о концентрации и скорости пылинок.