Математическое моделирование упругого столкновения — различия между версиями

Материал из Department of Theoretical and Applied Mechanics
Перейти к: навигация, поиск
(описание задачи)
(lkfdsklfads)
Строка 1: Строка 1:
−
== Описание задачи ==
+
== Постановка задачи ==
  
−
Моделирование "воздушного шарика" - тонкой оболочки, заполненной газом.  
+
Требуется смоделировать удар воздушного шарика о твердую стенку в двумерной постановке. Воздушный шарик представляет из себя оболочку, состоящую из материальный точек, каждая из которых соединена пружиной. Отскакивание воздушного шара от стенки моделируется при помощи потенциала Ленарда-Джонса.
  
−
С математической точки зрения рассматривается набор частиц, расположенных на круге (задача двумерная). Частицы соединены друг с другом линейными пружинами. Внутри оболочки есть газ, который мы моделируем давлением (силами), действующим на частицы. Давление зависит от объема оболочки по следующей формуле:
+
<img src="https://disk.yandex.ru/i/KUj_FLc2BECZCg"></img>
  
−
<math>P = k(\frac{V_0}{V} - 1)</math>
+
==Математическая модель==
 +
Уравнение движения для каждой из материальных точек записывается следующим образом:
 +
 
 +
<math>
 +
  m\underline{\ddot{x}}_i(t)=\underline{F}_{R_1}+\underline{F}_{R_2}+\underline{F}_{D_1}+\underline{F}_{D_2}+\underline{P}+\underline{F}_{Wall}\\
 +
  \underline{x}_i(0)=\underline{x}_i^0,~\underline{v}_i(0)=v_i^0~~~i=1,\ldots,n
 +
</math>
 +
 
 +
 
 +
где
 +
<math>
 +
  \underline{F}_{R_1}, \underline{F}_{R_2}\\
 +
</math> - силы упругости действующие на <math>i</math>-ую частицу со стороны <math>i-1</math> и <math>i+1</math> соответственно;
 +
 
 +
<math>
 +
  \underline{F}_{D_1},\underline{F}_{D_2}\\
 +
</math> - силы демпфирования пружины действующие на <math>i</math>-ую частицу со стороны <math>i-1</math> и <math>i+1</math> соответственно;
 +
 
 +
<math>
 +
  \underline{P}
 +
</math> - давление создаваемое газом;
 +
 
 +
<math>
 +
\underline{F}_{Wall}\\
 +
</math> - сила взаимодействия между воздушным шаром и стеной;
 +
 
 +
Сила упругости, возникающая в пружине соединяющей частицу 1 и 2, вычисляется по следующей формуле:
 +
 
 +
<math>
 +
  \underline{F}_{R}= -(||\underline{r}_2-\underline{r}_1|| - l_0)k_R
 +
</math>,  где <math>k_R</math> - коэффициент жесткости пружины.
 +
 
 +
Сила демпфирования:
 +
 
 +
<math>
 +
  \underline{F}_{D}= (\underline{v}_2-\underline{v}_1)\cdot\frac{\underline{r}_2-\underline{r}_1}{||\underline{r}_2-\underline{r}_1||}k_D
 +
</math>, где <math>k_D</math> - коэффициент демпфирования пружины.
 +
 
 +
Давление:
 +
 
 +
<math>
 +
  \underline{P}=\frac{1}{V}l_{12} P \underline{n}
 +
</math>,  где <math> V </math> - актуальный объем шара, <math> l_{12}</math> - актуальная длина пружина, <math> P </math> - модуль давления, <math> \underline{n}</math> - нормаль к пружине, направленная наружу.
 +
 
 +
Взаимодействие шара со стеной:
 +
 
 +
<math>
 +
  \underline{F}_{Wall}=-\nabla \Pi(r)
 +
</math>,  где  <math>\Pi(r)=4\varepsilon[(\frac{a}{r})^{12}-(\frac{a}{r})^6]</math>
  
  
 
{{#widget:Iframe |url=https://ogthug-coder.github.io/math_model_hw/ |width=1000 |height=1000 |border=0 }}
 
{{#widget:Iframe |url=https://ogthug-coder.github.io/math_model_hw/ |width=1000 |height=1000 |border=0 }}

Версия 02:43, 19 января 2022

Постановка задачи

Требуется смоделировать удар воздушного шарика о твердую стенку в двумерной постановке. Воздушный шарик представляет из себя оболочку, состоящую из материальный точек, каждая из которых соединена пружиной. Отскакивание воздушного шара от стенки моделируется при помощи потенциала Ленарда-Джонса.

<img src="https://disk.yandex.ru/i/KUj_FLc2BECZCg"></img>

Математическая модель

Уравнение движения для каждой из материальных точек записывается следующим образом:

[math] m\underline{\ddot{x}}_i(t)=\underline{F}_{R_1}+\underline{F}_{R_2}+\underline{F}_{D_1}+\underline{F}_{D_2}+\underline{P}+\underline{F}_{Wall}\\ \underline{x}_i(0)=\underline{x}_i^0,~\underline{v}_i(0)=v_i^0~~~i=1,\ldots,n [/math]


где [math] \underline{F}_{R_1}, \underline{F}_{R_2}\\ [/math] - силы упругости действующие на [math]i[/math]-ую частицу со стороны [math]i-1[/math] и [math]i+1[/math] соответственно;

[math] \underline{F}_{D_1},\underline{F}_{D_2}\\ [/math] - силы демпфирования пружины действующие на [math]i[/math]-ую частицу со стороны [math]i-1[/math] и [math]i+1[/math] соответственно;

[math] \underline{P} [/math] - давление создаваемое газом;

[math] \underline{F}_{Wall}\\ [/math] - сила взаимодействия между воздушным шаром и стеной;

Сила упругости, возникающая в пружине соединяющей частицу 1 и 2, вычисляется по следующей формуле:

[math] \underline{F}_{R}= -(||\underline{r}_2-\underline{r}_1|| - l_0)k_R [/math], где [math]k_R[/math] - коэффициент жесткости пружины.

Сила демпфирования:

[math] \underline{F}_{D}= (\underline{v}_2-\underline{v}_1)\cdot\frac{\underline{r}_2-\underline{r}_1}{||\underline{r}_2-\underline{r}_1||}k_D [/math], где [math]k_D[/math] - коэффициент демпфирования пружины.

Давление:

[math] \underline{P}=\frac{1}{V}l_{12} P \underline{n} [/math], где [math] V [/math] - актуальный объем шара, [math] l_{12}[/math] - актуальная длина пружина, [math] P [/math] - модуль давления, [math] \underline{n}[/math] - нормаль к пружине, направленная наружу.

Взаимодействие шара со стеной:

[math] \underline{F}_{Wall}=-\nabla \Pi(r) [/math], где [math]\Pi(r)=4\varepsilon[(\frac{a}{r})^{12}-(\frac{a}{r})^6][/math]


Источник — «http://tm.spbstu.ru/?title=Математическое_моделирование_упругого_столкновения&oldid=58930»