Машина Голдберга, зажигающая лампочку — различия между версиями

Схема для расчета высоты отклонения маятника

Первый и второй маятники в ряду в момент столкновения

Последний в ряду маятник и шар

[math]Дано:[/math]

[math]m_{1}=m_{2}=...=m_{n}[/math]

[math]V_{2}(t=0)=V_{3}(t=0)=...=V_{n}(t=0)=0[/math]

[math]Найти:~h[/math]

[math]Решение:[/math]

Столкновение будем считать упругим и центральным,тогда:

[math]p_{1}+p_{2}=p_{1}'+p_{2}'[/math]

[math]m_{1}V_{1}+m_{2}V_{2}=m_{1}V_{1}'+m_{2}V_{2}';~V_{2}=0[/math]

[math]m_{1}V_{1}=m_{1}V_{1}'+m_{2}V_{2}'[/math]

[math]E_{К1}+Е_{К2}=Е_{К1}'+Е_{К2}'[/math]

[math]V_{2}=0;~\frac {{m_{1}\cdot V_{1}}^2}{2}=\frac {{m_{1}\cdot V_{1}'}^2}{2}+\frac {{m_{2}\cdot V_{2}'}^2}{2}[/math]

[math]V_{2}'=\frac {2m_{1}V_{1}}{m_{1}+m_{2}}[/math]

[math]V_{1}'=\frac {{(}m_{1}-m_{2}{)}V_{1}}{m_{1}+m_{2}}[/math]

[math]Если~m_{1}=m_{2},~то~V_{1}'=0,~V_{2}'=V_{1}[/math]

Из ЗСЭ для первого шара:

[math]m_{1}gh=\frac {{m_{1}V_{1}^2}}{2}[/math]

[math]h=\frac {V_{1}^2}{2g};~F_{тр}=N~\frac {μ}{R}[/math]

[math]h=\frac {V_{1}^2}{2g};~F_{тр}=N~\frac {μ}{R}[/math]

[math]V_{1}^2=V_{2}'^2=\frac {2E}{m_{2}}=\frac {2F_{тр}S}{m_{2}}=\frac {2μNS}{Rm_{2}}=\frac {2μmgS}{Rm_{2}}[/math]

[math]h=\frac {2μmgS}{2gR};~F_{тр}=N~\frac {μ}{Rm_{2}}=\frac {μS}{R}[/math]

[math]Ответ:[/math]

[math]h=\frac {μS}{R}[/math]

Расчет массы груза для поворота рычага

[math]Дано:[/math]

[math]p~-~импульс,~который~необходимо~передать~бруску[/math]

[math]М~–~масса~пластинки~(рычага)[/math]

[math]l~–~плечо~рычага[/math]

[math]t~–~время~поворота~рычага[/math]

[math]Найти:~m[/math]

[math]Решение:[/math]

По закону сохранения импульса:

[math]p_{рычага} + p_{бруска} = p’_{рычага} + p’_{бруска}[/math]

[math](M + m)\cdot v + 0 = 0 + p’_{бруска}[/math]

Получается импульс, который необходимо передать бруску:

[math]~p = (M + m)\cdot v,~откуда~m = p/v- M [/math]

[math]v= w \cdot r,~где~r = l[/math]

[math]dw = β \cdot dt[/math]

После интегрирования получаем:

[math]w = β \cdot t + w_{0},~где~w_{0} = 0[/math]

[math]N = F \cdot l~–~момент~силы~относительно~оси~вращения,~где~F = mg[/math]

Но в то же время

[math]N = mr^2β= ml^2β,~откуда~ β = mgl/ml^2 = g/l ⇒ w= gt/l ⇒ v = gt ⇒ m = p/gt – M[/math]

[math]Ответ:[/math]

[math]m = p/gt – M [/math]

[math]Дано:[/math]

[math]m[/math]

[math]E_{0}[/math]

[math]\mu[/math]

[math]~\alpha[/math]

[math]h[/math]

[math]Найти: n[/math]

[math]Решение:[/math]

Напишем закон сохранения энергии:

[math]E_{0}+mgh=E_{кон}-А_{тр}[/math]

[math]F _{тр}=mN=\mu(mg)cos(~\alpha)[/math]

[math]А_{тр}=F _{тр}*n[/math]

[math]n=\frac{E_{кон}-E_{0}-mgh}{\mu(mg)cos(~\alpha)}[/math]

[math]Ответ:[/math]

[math]n=\frac{E_{кон}-E_{0}-mgh}{\mu(mg)cos(~\alpha)}[/math]

Расчет скорости тележки после попадания в не шарика

[math]Дано:{ }m_{ш}{, }m_{т}{, }h{, }\beta[/math]

[math]Найти: v_{т}[/math]

[math]Решение:[/math]

[math]m_{ш}gh=\frac {m_{ш}v^2_{шн}}{2}[/math]

[math]v_{шн}=\sqrt {2gh}[/math]

[math]Проекция v_{шн} по Ох:[/math]

[math]v_{шx}=v_{шн}\cdot sin \beta=const[/math]

[math]p_{тш}=p_{шх}=m_{ш}\cdot v_{шх}[/math]

[math]{(}m_{ш}+m_{т}{)}v_{т}=m_{ш}\cdot v_{шх}[/math]

[math]v_{т}=\frac {m_{ш}\cdot \sqrt {2gh}\cdot sin \beta}{m_{ш}+m_{т}}[/math]

[math]Ответ:[/math]

[math]v_{т}=\frac {m_{ш}\cdot \sqrt {2gh}\cdot sin \beta}{m_{ш}+m_{т}}[/math]

Расчет импульса, который нужно сообщить тележке, чтобы она запустила цепную реакцию домино

[math]Дано:[/math]

[math]m_{тележка}[/math]

[math]\mu[/math]

[math]S[/math]

[math]Найти:~p[/math]

[math]Решение:[/math]

По закону сохранения энергии:

[math]K=A_{тр}[/math]

[math]K=F_{тр}S[/math]

[math]mv^2/2=\mu\cdot mgS[/math]

[math]Откуда~v=\sqrt{2\mu\cdot gS}[/math]

[math]Тогда~p=mv=m\sqrt{2\mu\cdot gS}[/math]

[math]Ответ:[/math]

[math]p=m\sqrt{2\mu\cdot gS}[/math]

Задача 7

[math]Дано:[/math]

[math]h=0{,}1~м[/math]

[math]m_{ш}=0{,}15~кг[/math]

[math]m_{м}=0{,}3~кг[/math]

[math]Найти: V_{ш}[/math]

[math]Решение:[/math]

По закону равноускоренного движения запишем формулы:

[math]\vec{V}=\vec{V}_{0}+\vec{g}t ~и ~\vec{s}=\vec{V}_{0}t+\frac{\vec{g}t^2}{2}[/math]

В условии данной задачи получаем:

[math]V_{м}=gt ~и ~S=h=\frac{gt^2}{2}[/math]

[math]V_{м}=\sqrt {2gh}[/math]

Когда молоток падает на рычаг, вся его кинетическая энергия передается шарику.

[math]E_{м}=E_{ш}[/math]

[math]\frac{m_{м}V_{м}^2}{2}=\frac{m_{ш}V_{ш}^2}{2}[/math]

[math]V_{ш}=\sqrt {2gh} \cdot \sqrt {\frac{m_{м}}{m_{ш}}}[/math]

[math]V_{ш}=\sqrt {2\cdot 10 \cdot 0{,}1} \cdot \sqrt {\frac{0{,}3}{0{,}15}} = 2 ~м/с[/math]

[math]Ответ:[/math]

[math]V_{ш}= 2 ~м/с[/math]

Схема для расчета траектории полета шарика

[math]Дано:[/math]

[math]\alpha[/math]

[math]v_{0}[/math]

[math]g[/math]

[math]Найти:~l[/math]

[math]Решение:[/math]

[math]1)~l=v_{1}t~(1),~где~v_{1}=v_{0}cos\alpha~(2)[/math]

[math]2)~h=\frac {{g(\frac {{t}}{2})^2}}{2}=\frac {{v_{2}^2}}{2g}=\gt t=\frac {{2v_{2}}}{g}~(3),~где~v_{2}=v_{0}sin\alpha~(4)[/math]

[math]3)~Подставляя~все~в~(1),~получим:[/math]

[math]l=v_{0}cos\alpha\frac {{2v_{0}sin\alpha}}{g}=\frac {{{2v_{0}^2sin\alpha}cos\alpha}}{g}=\frac {{v_{0}^2sin2\alpha}}{g}[/math]

[math]Ответ:[/math]

[math]l=\frac {{v_{0}^2sin2\alpha}}{g}[/math]

Расчет массы груза для сообщающихся сосудов

[math]Дано:[/math]

[math]h_{a}~-~начальная~высота~правого~поршня~без~шарика[/math]

[math]h_{b}~-~начальная~высота~левого~поршня~с~шариком[/math]

[math]k~-~разница~площадей~сечения~сосудов[/math]

[math]Найти:~h[/math]

[math]m[/math]

[math]\delta h~-~высота~подъема~поршня~с~шариком[/math]

[math]Решение:[/math]

[math]1 случай[/math]

В начальном положении поршни находятся на уровнях h_{a}, h_{b}. По закону Паскаля давление в обоих коленах трубки на уровне одинаково:

[math]p_{в}gh_{a}+mg=p_{в}g h_{b}[/math]

[math]p_{в} h_{a}+m=p_{в} h_{b}[/math]

[math]m=p_{в}(h_{b}-h_{a})[/math]

[math]2 случай[/math]

На поршень c площадью kS (k>1) попадает шарик. Так как грузы имеют одинаковые массы, то в состоянии равновесия по закону Паскаля в сообщающихся сосудах поверхности однородной жидкости устанавливаются на одном уровне. Запишем условие равенства:

[math]p_{в}h_{a1}+mg=p_{в}g h_{b1}+mg~=\gt ~h_{a1}=h_{b1}=h_{0} [/math]

Первое, что необходимо отметить – это то, что объем воды не изменится. Объем жидкости, вытесняемый из правого колена равен объему прибавившемуся в левом, так как она не сжимаема.

[math](h_{a}-h_{0}) \cdot kS=(h_{0}-h_{b}) \cdot S [/math]

[math]h_{0}=h_{a}k+h_{b}/(1+k)[/math]

[math]\delta h=(h_{0}-h_{b})=k(h_{a}-h_{b})/(1+k)[/math]

[math]Ответ:[/math]

[math]m=p_{в}(h_{b}-h_{a})[/math]</math>

[math]\delta h=k(h_{a}-h_{b})/(1+k)[/math]

Расчет массы груза, который необходимо поднять с помощью системы из двух блоков

[math]Дано:[/math]

[math]m, M, T[/math]

[math]Найти:~m1[/math]

[math]Решение:[/math]

Для начала запишем II закон Ньютона:

[math]m_{1}g+T+T+(m+M)g=m_{1}a+(m+M)a[/math]

Так как нам необходимо только приподнять груз m1, то, воспользовавшись Вторым законом Ньютона, запишем следующее неравенство (силы сразу берем в проекции на ось Oy):

[math]-m_{1}g+2T-(m+M)g≥0[/math]

[math]-m_{1}g+2T-mg+Mg≥0[/math]

[math]m_{1}g≤2T-g(m-M)[/math]

[math]m_{1}≤2T/g+M-m[/math]

[math]Ответ:[/math]

[math]m_{1}≤2T/g+M-m[/math]

Схема для расчёта высоты груза математического маятника

[math]Дано:~v[/math]

[math]Найти:~H[/math]

[math]Решение:[/math]

[math]mgH=\frac{m \cdot v^2}{2}[/math]

[math]H = \frac{v^2}{2 \cdot g}[/math]

[math]Ответ:[/math]

[math]H = \frac{v^2}{2 \cdot g}[/math]

Задача 11. Расчет скорости шарика, вылетающего из спирали

[math]Дано:[/math]

[math]V_{0}[/math]

[math]H[/math]

[math]m[/math]

[math]Найти:V/math\gt ::\lt math\gt Решение:[/math]

[math]По~ЗСЭ:[/math]

[math]mgh+\frac{mV_{0}^2}{2}=\frac{mV^2}{2}[/math]

[math]V^2=2gh+V_{0}^2[/math]

[math]V=\sqrt {2gh+V_{0}^2}[/math]

[math]Ответ:[/math]

[math]V=\sqrt {2gh+V_{0}^2}[/math]

Задача 12

[math]Дано:~v_{0}{, }~m{, }~R{, }~M{, }~m_{т}[/math]

[math]Найти:~E_{тел}[/math]

[math]Решение:[/math]

Можно заменить крестообразную конструкцию на такую же систему, в которой вес будет сосредоточен на концах стержня:

[math]E_{ш}=\frac{m\cdot v_{0}^2}{2}[/math]

[math]E_{до удара}={\frac{M}{4}}\cdot 2Rg+{\frac{2M}{4}}\cdot Rg=MgR[/math]

[math]E_{после удара}=2(R\cdot cos\alpha +R)\cdot g \cdot {\frac{M}{2}}+2(R-R\cdot sin\alpha)\cdot g \cdot {\frac{M}{2}}=Mg\cdot {(2R+R\cdot cos\alpha-R\cdot sin\alpha)}[/math]

Система не будет вращаться после взаимодействия с тележкой, т.к. является массивной и уравновешенной. Следовательно, изменение энергии характеризуется только изменением потенциальной энергии. Получаем энергию, передаваемую стержнем тележке:

[math]E_{ш}+E_{до}=E_{тел}+E_{после}[/math]

[math]\frac{m\cdot v_{0}^2}{2}+MgR=Mg\cdot {(2R+R\cdot cos\alpha-R\cdot sin\alpha)}+E_{тел}[/math]

[math]E_{тел}=\frac{m\cdot v_{0}^2}{2}+MgR-Mg\cdot {(2R+R\cdot cos\alpha-R\cdot sin\alpha)}[/math]

[math]Ответ:[/math]

[math]\frac{m\cdot v_{0}^2}{2}+MgR-Mg\cdot {(2R+R\cdot cos\alpha-R\cdot sin\alpha)}[/math]

Расчет конечной скорости тележки

Для~того, чтобы вычислить скорость, с которой тележка вылетит с горки, запишем закон сохранения энергии:

[math]Е_{п1}+Е_{к1}=Е_{к2}+Е_{п2}[/math]

[math]Е_{п1}=mgh_{1}[/math]

[math]Е_{к1}=0[/math]

[math]Е_{п2}=mgh_{2}[/math]

[math]Е_{к2}=\frac{mV^2}{2}[/math]

[math]mgh_{1}=\frac{mV^2}{2}~+~mgh_{2}[/math]

[math]V=\sqrt{2g\cdot{(h_{1}-h_{2})}}[/math]

[math]Ответ:[/math]

[math]V=\sqrt{2g\cdot{(h_{1}-h_{2})}}[/math]

Задача 14. Расчет высоты рычага

[math]Дано:[/math]

[math]m[/math]

[math]h_{2}[/math]

[math]Найти:h_{1} [/math]

[math]Решение:[/math]

1)До того как игла проткнет шар, система находится в состоянии покоя; 2)Затем игла протыкает шар. Запишем закон сохранения энергии:

[math]mgh_{1}=Mgh_{2}[/math]

[math]h_{1}=\frac{Mh_{2}}{m}[/math]

3)Распишем массу шарика как:</math>

[math]M=pV[/math]

Где p - плотность воздуха внутри шарика, V- его объем. 4)Тогда получим конечную формулу:

[math]h_{1}=\frac{pVh_{2}}{m}[/math]

[math]Ответ:[/math]

[math]h_{1}=\frac{pVh_{2}}{m}[/math]

Расчет массы груза и времени его движения

[math]Дано:~F{, }~h[/math]

[math]Найти:~m{, }~t[/math]

[math]Решение:[/math]

По 2 закону Ньютона:

[math]F=m\cdot g[/math]

[math]m=\frac{F}{g}[/math]

По закону сохранения энэргии:

[math]\frac{m\cdot v^2}{2}=mgh[/math]

[math]v=\sqrt {2gh}[/math]

[math]v=\frac {dh}{dt}=\sqrt {2gh}[/math]

[math]dt=\frac {dh}{\sqrt {2gh}}[/math]

[math]t=\frac {1}{\sqrt {2g}} \cdot \int_{0}^{h}\frac {dh}{\sqrt h}=\sqrt {\frac {2h}{g}}[/math]

[math]Ответ:[/math]

[math]m=\frac{F}{g}{,}{ }t=\sqrt {\frac {2h}{g}}.[/math]