Перераспределение энергии между степенями свободы в нелинейной двухатомной цепочке — различия между версиями
Anpolol (обсуждение | вклад) (→Решение) |
Anpolol (обсуждение | вклад) (→Решение) |
||
Строка 5: | Строка 5: | ||
[[File:Ри1111.png|center]] | [[File:Ри1111.png|center]] | ||
Каждый атом смещается только вдоль цепочки, что следует из требования одномерности модели. | Каждый атом смещается только вдоль цепочки, что следует из требования одномерности модели. | ||
− | Пусть атомы связаны между собой упругой силой F с коэффициентом упругости с. Найдем уравнение движения n-го и n+1-го атома в цепи. В равновесном положении силы, действующие на атомы, равны нулю. При произвольных смещениях на каждый n-й атом будет действовать сила со стороны соседних атомов. | + | Пусть атомы связаны между собой упругой силой F с коэффициентом упругости с. Найдем уравнение движения n-го и n+1-го атома в цепи. В равновесном положении силы, действующие на атомы, равны нулю. При произвольных смещениях на каждый n-й атом будет действовать сила со стороны соседних атомов. Суммарную силу, действующую на n-й атом со стороны соседних атомов, можно представить в виде:<br /> |
− | + | <math> | |
− | + | F_n=F_{n,n+1}-F_{n-1,n}=c(u_{n+1}-2u_n+u_{n-1}) (1) | |
− | + | </math><br /> | |
+ | Запишем систему уравнений движения атомов массой <math> m_{1} </math> и <math> m_{2} </math><br /> | ||
+ | <math> | ||
+ | m_{1} \frac{d^2 u_{2n-1}}{dt^2}=c(u_{2n}-2u_{2n-1}+u_{2n-2}) | ||
+ | </math><br /> | ||
+ | <math> | ||
+ | m_{2} \frac{d^2 u_{2n}}{dt^2}=c(u_{2n+1}-2u_{2n}+u_{2n-1}) | ||
+ | </math><br /> | ||
Уравнение движения n-го атома под действием силы F_n выглядит следующим образом: | Уравнение движения n-го атома под действием силы F_n выглядит следующим образом: | ||
[[File:Формула3.jpg|center]] | [[File:Формула3.jpg|center]] |
Версия 13:50, 11 января 2019
Постановка задачи
Рассмотреть перераспределение энергии между степенями свободы в нелинейной двухатомной цепочке, построить графики зависимости энергии частиц от времени.
Решение
Рассмотрим модель колебаний одномерной двухатомной цепочки массами m1 и m2. Пусть в этой цепочке находится N атомов. Обозначим смещение n-го атома un, а атома, отстоящего от него на p узлов, – un+p. Примем в качестве положительных смещения атомов вправо от положения равновесия, а отрицательных – влево.
Каждый атом смещается только вдоль цепочки, что следует из требования одномерности модели.
Пусть атомы связаны между собой упругой силой F с коэффициентом упругости с. Найдем уравнение движения n-го и n+1-го атома в цепи. В равновесном положении силы, действующие на атомы, равны нулю. При произвольных смещениях на каждый n-й атом будет действовать сила со стороны соседних атомов. Суммарную силу, действующую на n-й атом со стороны соседних атомов, можно представить в виде:
Запишем систему уравнений движения атомов массой и
Уравнение движения n-го атома под действием силы F_n выглядит следующим образом:
Аналогичное уравнение записывается для частиц с массой m1. Таким образом получим систему уравнений:
В качестве начальных условий заданы случайные начальные скорости таким образом, что средняя скорость всех частиц равна 0. Перемещения всех частиц в начальный момент времени равны нулю. Также заданы периодические граничные условия на перемещения.
От системы (4) с начальными и граничными условиями (5) мы перешли к системе (6, 7):
Система (6) решалась в Matlab методом конечных разностей. В задаче на каждом шаге по времени находилась кинетическая энергия всей системы, после чего был построен график зависимости энергии системы от времени. Для частиц одинаковой массы был получен следующий график:
Если рассматривать частицы разной массы, то график зависимости будет иметь следующий вид (m1=1, m2=1.3):
Рассмотрим нелинейную постановку задачи. В выражении для силы будет присутствовать слагаемое третьего порядка:
Решается данная задача в нелинейной постановке аналогичным образом. если мы возьмем нелинейный коэффициент b равным нулю, получим решение, соответствующее предыдущей задаче. Начнем постепенно увеличивать коэффициент b и заметим, что система начнет затухать быстрее. При одинаковой массе частиц: b=0.01
b=0.1
b=0.5
b=1
Разные массы частиц (m1=1, m2=1.3): b=0.01
b=0.1
b=0.5
b=1