Перераспределение энергии между поступательными и вращательными степенями свободы — различия между версиями
Anpolol (обсуждение | вклад) (→Вывод уравнений) |
Anpolol (обсуждение | вклад) (→Вывод уравнений) |
||
| Строка 8: | Строка 8: | ||
Все тела соединены стержнями, которые описываются уравнением балки Бернулли - Эйлера. | Все тела соединены стержнями, которые описываются уравнением балки Бернулли - Эйлера. | ||
Движение каждого тела - точки описывается уравнениями: | Движение каждого тела - точки описывается уравнениями: | ||
| + | |||
<math> | <math> | ||
| − | J \ | + | J \ddot{\phi_{i}} = -M_{i-1}(l) + M_{i}(0) |
</math><br /> | </math><br /> | ||
<math> | <math> | ||
| − | m \ | + | m \ddot{y_{i}} = F_{i-1}(l) - F_{i}(0), |
</math><br /> | </math><br /> | ||
| − | где <math>J - </math | + | где <math>J - </math>момент инерции тела-точки. |
Моменты и силы находим по определению: | Моменты и силы находим по определению: | ||
| + | |||
<math> | <math> | ||
M = E \cdot J_{b} \cdot y''(x) | M = E \cdot J_{b} \cdot y''(x) | ||
| Строка 27: | Строка 29: | ||
<math> | <math> | ||
| − | E \cdot J_{b} \cdot y^(4) = 0 | + | E \cdot J_{b} \cdot y^{(4)} = 0 |
</math><br /> | </math><br /> | ||
| − | |||
получаем: | получаем: | ||
| Строка 41: | Строка 42: | ||
Для поиска коэффициентов необходимы граничные условия. | Для поиска коэффициентов необходимы граничные условия. | ||
| − | Для <math>i - </math>ого тела рассмотрим два участка: балка, соединяющая <math>i - 1 и i</math> тела: | + | Для <math>i - </math>ого тела рассмотрим два участка: балка, соединяющая <math>i - 1</math> и <math>i</math> тела: |
<math> | <math> | ||
| − | y(0) = y_{i-1} | + | y(0) = y_{i-1} |
| + | </math><br /> | ||
| + | <math> | ||
| + | y(l) = y_{i} | ||
| + | </math><br /> | ||
| + | <math> | ||
| + | \phi(0) = \phi_{i-1} | ||
</math><br /> | </math><br /> | ||
<math> | <math> | ||
| − | + | \phi(l) = \phi_{i} | |
</math><br /> | </math><br /> | ||
| − | и на участке, соединяющим <math>i и i+1 </math | + | и на участке, соединяющим <math>i</math> и<math> i+1 </math> тела-точки: |
<math> | <math> | ||
| − | y(0) = y_{i} y(l) = y_{i+1} | + | y(0) = y_{i} |
| + | </math><br /> | ||
| + | <math> | ||
| + | y(l) = y_{i+1} | ||
| + | </math><br /> | ||
| + | <math> | ||
| + | \phi(0) = \phi_{i} | ||
</math><br /> | </math><br /> | ||
<math> | <math> | ||
| − | + | \phi(l) = \phi_{i+1} | |
</math><br /> | </math><br /> | ||
| Строка 70: | Строка 83: | ||
Перепишем уравнения в виде: | Перепишем уравнения в виде: | ||
| + | |||
<math> | <math> | ||
\frac{d^2(\frac{y_{i}}{l})}{d(t\omega_{1})^2} = ((\frac{y_{i+1}}{l}-2\frac{y_{i}}{l}+\frac{y_{i-1}}{l}) - \frac{1}{2}(\phi_{i+1}-\phi_{i-1})) | \frac{d^2(\frac{y_{i}}{l})}{d(t\omega_{1})^2} = ((\frac{y_{i+1}}{l}-2\frac{y_{i}}{l}+\frac{y_{i-1}}{l}) - \frac{1}{2}(\phi_{i+1}-\phi_{i-1})) | ||
| Строка 76: | Строка 90: | ||
\frac{d^2\phi_{i}}{d(t\omega_{1})^2} = \frac{\omega_{2}^2}{\omega_{1}^2}(3(\frac{y_{i+1}}{l}-\frac{y_{i}}{l}) -(\phi_{i+1}+4\phi_{i}+\phi_{i-1})) | \frac{d^2\phi_{i}}{d(t\omega_{1})^2} = \frac{\omega_{2}^2}{\omega_{1}^2}(3(\frac{y_{i+1}}{l}-\frac{y_{i}}{l}) -(\phi_{i+1}+4\phi_{i}+\phi_{i-1})) | ||
</math><br /> | </math><br /> | ||
| − | + | гд | |
| + | |||
<math> | <math> | ||
\omega_{1}^2 = \frac{12EJ_{b}}{ml^3} | \omega_{1}^2 = \frac{12EJ_{b}}{ml^3} | ||
| Строка 86: | Строка 101: | ||
Получили обезразмеренные уравнения: | Получили обезразмеренные уравнения: | ||
| + | |||
<math> | <math> | ||
\frac{d^2\overline{y_{i}}}{d(\tau)^2} = ((\overline{y_{i+1}}-2\overline{y_{i}}+\overline{y_{i-1}}) - \frac{1}{2}(\phi_{i+1}-\phi_{i-1})) | \frac{d^2\overline{y_{i}}}{d(\tau)^2} = ((\overline{y_{i+1}}-2\overline{y_{i}}+\overline{y_{i-1}}) - \frac{1}{2}(\phi_{i+1}-\phi_{i-1})) | ||
Версия 11:58, 4 января 2019
Постановка задачи
Рассмотреть перераспределение энергии между вращательными и поступательными степенями свободы в системе из N тел-точек, соединенных друг с другом балками Бернулли-Эйлера.
Вывод уравнений
Рассматривается система из N тел-точек. Каждое -ое тело имеет две степени свободы - смещение вдоль вертикальной оси , и угол поворота относительно вертикальной оси . Все тела соединены стержнями, которые описываются уравнением балки Бернулли - Эйлера. Движение каждого тела - точки описывается уравнениями:
где момент инерции тела-точки.
Моменты и силы находим по определению:
где модуль юнга материала балки, момент инерции сечения балки. Вид функции y(x) найдем из уравнения Балки - Бернулли Эйлера:
получаем:
Для поиска коэффициентов необходимы граничные условия. Для ого тела рассмотрим два участка: балка, соединяющая и тела:
и на участке, соединяющим и тела-точки:
где длина балки.
Учитывая граничные условия и все вышеприведенные формулы, находим уравнения движения ого тела:
Перепишем уравнения в виде:
гд
положим равными единицам.
Получили обезразмеренные уравнения:
Теперь можно переходить к численному интегрированию.
