Перераспределение энергии между поступательными и вращательными степенями свободы — различия между версиями

Материал из Department of Theoretical and Applied Mechanics
Перейти к: навигация, поиск
(→‎Вывод уравнений)
(→‎Вывод уравнений)
Строка 5: Строка 5:
 
===Вывод уравнений===
 
===Вывод уравнений===
  
−
Рассматривается система из N тел-точек. Каждое тело имеет две степени свободы - смещение вдоль вертикальной оси yi, и угол поворота относительно вертикальной оси i.  
+
Рассматривается система из N тел-точек. Каждое <math>i</math>-ое тело имеет две степени свободы - смещение вдоль вертикальной оси <math>y_{i}</math>, и угол поворота относительно вертикальной оси <math>\phi_{i}</math>.  
 
Все тела соединены стержнями, которые описываются уравнением балки Бернулли - Эйлера.  
 
Все тела соединены стержнями, которые описываются уравнением балки Бернулли - Эйлера.  
 
Движение каждого тела - точки описывается уравнениями:
 
Движение каждого тела - точки описывается уравнениями:
−
[[File:Уранвения1.png]]  <br />
+
<math>
−
 
+
    J \dot{\dot{\phi_{i}}} = -M_{i-1}(l) + M_{i}(0)
 +
</math><br />
 +
<math>
 +
    m \dot{\dot{\y_{i}}} = F_{i-1}(l) - F_{i}(0),
 +
</math><br />
 +
где <math>J - </math><br />момент инерции тела-точки.
 
Моменты и силы находим по определению:
 
Моменты и силы находим по определению:
−
Движение каждого тела - точки описывается уравнениями:
+
<math>
−
[[File:Уравнения2.png]] <br />
+
    M = E \cdot J_{b} \cdot y''(x)
 +
</math><br />
 +
<math>
 +
    F = E \cdot J_{b} \cdot y'''(x),
 +
</math><br />
  
 +
где <math>E - </math> модуль юнга материала балки, <math>J_{b} - </math> момент инерции сечения балки.
 
Вид функции y(x) найдем из уравнения Балки - Бернулли Эйлера:
 
Вид функции y(x) найдем из уравнения Балки - Бернулли Эйлера:
  
−
[[File:Уранвения33.png]] <br />
+
<math>
 +
    E \cdot J_{b} \cdot y^(4) = 0
 +
</math><br />
  
  
 
получаем:
 
получаем:
  
−
[[File:Уранвения4.png]] <br />
+
<math>
 +
    y(x) = c_1 \frac{x^3}{6} + c_2 \frac{x^2}{2} + c_3x + c_4
 +
</math><br />
 +
<math>
 +
    \phi(x) = y'(x) = c_1 \frac{x^2}{2} + c_2x + c_3
 +
</math><br />
  
 
Для поиска коэффициентов необходимы граничные условия.
 
Для поиска коэффициентов необходимы граничные условия.
−
На участке соединяющим i-1 и i тела :
+
Для <math>i - </math>ого тела рассмотрим два участка: балка, соединяющая <math>i - 1 и i</math> тела:
  
−
[[File:гу1.png]] <br />
+
<math>
 +
    y(0) = y_{i-1}    y(l) = y_{i}
 +
</math><br />
 +
<math>
 +
    \phi(0) = \phi_{i-1}  \phi(l) = \phi_{i}
 +
</math><br />
  
−
и  на участке, соединяющим i и i+1 тела-точки:
+
и  на участке, соединяющим <math>i и i+1 </math><br /> тела-точки:
  
−
[[File:гу2.png]] <br />
+
<math>
 +
    y(0) = y_{i}  y(l) = y_{i+1}
 +
</math><br />
 +
<math>
 +
    \phi(0) = \phi_{i}  \phi(l) = \phi_{i+1}
 +
</math><br />
  
−
где l- длина балки.
+
где <math>l - </math>длина балки.
  
−
Учитывая  граничные условия, приведенные выше, и формулы (1-7) находим уравнения движения i-го тела:
+
Учитывая  граничные условия и все вышеприведенные формулы, находим уравнения движения <math>i - </math>ого тела:
−
[[File:Уранвения55.png]] <br />
+
<math>
 +
    y_{i} = \frac{EJ_{b}}{m}(\frac{12}{l^3}(y_{i+1}-2y_{i}+y_{i-1}) - \frac{6}{l^2}(\phi_{i+1}-\phi_{i-1}))
 +
</math><br />
 +
<math>
 +
    \phi_{i} = \frac{EJ_{b}}{J}(\frac{6}{l^2}(y_{i+1}-y_{i}) - \frac{2}{l}(\phi_{i+1}+4\phi_{i}+\phi_{i-1}))
 +
</math><br />
  
 
Перепишем уравнения в виде:
 
Перепишем уравнения в виде:
−
[[File:Уранвения66.png]] <br />
+
<math>
−
 
+
    \frac{d^2(\frac{y_{i}}{l})}{d(t\omega_{1})^2} = ((\frac{y_{i+1}}{l}-2\frac{y_{i}}{l}+\frac{y_{i-1}}{l}) - \frac{1}{2}(\phi_{i+1}-\phi_{i-1}))
 +
</math><br />
 +
<math>
 +
    \frac{d^2\phi_{i}}{d(t\omega_{1})^2} = \frac{\omega_{2}^2}{\omega_{1}^2}(3(\frac{y_{i+1}}{l}-\frac{y_{i}}{l}) -(\phi_{i+1}+4\phi_{i}+\phi_{i-1}))
 +
</math><br />
 
где
 
где
−
[[File:Где.png]] <br />
+
<math>
 +
    \omega_{1}^2 = \frac{12EJ_{b}}{ml^3}
 +
</math><br />
 +
<math>
 +
    \omega_{2}^2 = \frac{2EJ_{b}}{Jl}
 +
</math><br />  
 +
положим равными единицам.
  
 
Получили обезразмеренные уравнения:
 
Получили обезразмеренные уравнения:
−
[[File:Уранвения7.png]] <br />
+
<math>
 +
    \frac{d^2\overline{y_{i}}}{d(\tau)^2} = ((\overline{y_{i+1}}-2\overline{y_{i}}+\overline{y_{i-1}}) - \frac{1}{2}(\phi_{i+1}-\phi_{i-1}))
 +
</math><br />
 +
<math>
 +
    \frac{d^2\phi_{i}}{d(\tau)^2} = (3(\overline{y_{i+1}}-\overline{y_{i}}) -(\phi_{i+1}+4\phi_{i}+\phi_{i-1}))
 +
</math><br />
  
 
Теперь можно переходить к численному интегрированию.
 
Теперь можно переходить к численному интегрированию.

Версия 11:51, 4 января 2019

Постановка задачи

Рассмотреть перераспределение энергии между вращательными и поступательными степенями свободы в системе из N тел-точек, соединенных друг с другом балками Бернулли-Эйлера.

Вывод уравнений

Рассматривается система из N тел-точек. Каждое [math]i[/math]-ое тело имеет две степени свободы - смещение вдоль вертикальной оси [math]y_{i}[/math], и угол поворота относительно вертикальной оси [math]\phi_{i}[/math]. Все тела соединены стержнями, которые описываются уравнением балки Бернулли - Эйлера. Движение каждого тела - точки описывается уравнениями: [math] J \dot{\dot{\phi_{i}}} = -M_{i-1}(l) + M_{i}(0) [/math]
[math] m \dot{\dot{\y_{i}}} = F_{i-1}(l) - F_{i}(0), [/math]
где [math]J - [/math]
момент инерции тела-точки. Моменты и силы находим по определению: [math] M = E \cdot J_{b} \cdot y''(x) [/math]
[math] F = E \cdot J_{b} \cdot y'''(x), [/math]

где [math]E - [/math] модуль юнга материала балки, [math]J_{b} - [/math] момент инерции сечения балки. Вид функции y(x) найдем из уравнения Балки - Бернулли Эйлера:

[math] E \cdot J_{b} \cdot y^(4) = 0 [/math]


получаем:

[math] y(x) = c_1 \frac{x^3}{6} + c_2 \frac{x^2}{2} + c_3x + c_4 [/math]
[math] \phi(x) = y'(x) = c_1 \frac{x^2}{2} + c_2x + c_3 [/math]

Для поиска коэффициентов необходимы граничные условия. Для [math]i - [/math]ого тела рассмотрим два участка: балка, соединяющая [math]i - 1 и i[/math] тела:

[math] y(0) = y_{i-1} y(l) = y_{i} [/math]
[math] \phi(0) = \phi_{i-1} \phi(l) = \phi_{i} [/math]

и на участке, соединяющим [math]i и i+1 [/math]
тела-точки:

[math] y(0) = y_{i} y(l) = y_{i+1} [/math]
[math] \phi(0) = \phi_{i} \phi(l) = \phi_{i+1} [/math]

где [math]l - [/math]длина балки.

Учитывая граничные условия и все вышеприведенные формулы, находим уравнения движения [math]i - [/math]ого тела: [math] y_{i} = \frac{EJ_{b}}{m}(\frac{12}{l^3}(y_{i+1}-2y_{i}+y_{i-1}) - \frac{6}{l^2}(\phi_{i+1}-\phi_{i-1})) [/math]
[math] \phi_{i} = \frac{EJ_{b}}{J}(\frac{6}{l^2}(y_{i+1}-y_{i}) - \frac{2}{l}(\phi_{i+1}+4\phi_{i}+\phi_{i-1})) [/math]

Перепишем уравнения в виде: [math] \frac{d^2(\frac{y_{i}}{l})}{d(t\omega_{1})^2} = ((\frac{y_{i+1}}{l}-2\frac{y_{i}}{l}+\frac{y_{i-1}}{l}) - \frac{1}{2}(\phi_{i+1}-\phi_{i-1})) [/math]
[math] \frac{d^2\phi_{i}}{d(t\omega_{1})^2} = \frac{\omega_{2}^2}{\omega_{1}^2}(3(\frac{y_{i+1}}{l}-\frac{y_{i}}{l}) -(\phi_{i+1}+4\phi_{i}+\phi_{i-1})) [/math]
где [math] \omega_{1}^2 = \frac{12EJ_{b}}{ml^3} [/math]
[math] \omega_{2}^2 = \frac{2EJ_{b}}{Jl} [/math]
положим равными единицам.

Получили обезразмеренные уравнения: [math] \frac{d^2\overline{y_{i}}}{d(\tau)^2} = ((\overline{y_{i+1}}-2\overline{y_{i}}+\overline{y_{i-1}}) - \frac{1}{2}(\phi_{i+1}-\phi_{i-1})) [/math]
[math] \frac{d^2\phi_{i}}{d(\tau)^2} = (3(\overline{y_{i+1}}-\overline{y_{i}}) -(\phi_{i+1}+4\phi_{i}+\phi_{i-1})) [/math]

Теперь можно переходить к численному интегрированию.

Численное интегрирование

Визуализация

Источник — «http://tm.spbstu.ru/?title=Перераспределение_энергии_между_поступательными_и_вращательными_степенями_свободы&oldid=52387»