Система двух тел связанных пружинками — различия между версиями

Версия 11:18, 25 мая 2018

Задача: С помощью языка программирования JavaScript смоделировать свободные колебания системы с двумя степенями свободы.

Исполнитель: Тур Всеволод

Группа: 23632/2

Семестр: весна 2018

Реализация

Используемые библиотеки

• three.js
• dat.gui.js

Скачать исходный код

• в формате .rar [[1]]

Возможности программы

• Изменение параметров системы(массы тел и жесткости пружин);
• Изменение начальных условий(начальные положения и скорости двух тел);
• Наличие паузы.

Подробное решение

Даны массы тел m₁ и m₂, жесткости пружин c₁,c₂,c₃, а также начальные условия. Требуется найти уравнения движения тел в системе.

Кинетическая энергия системы T=3/4(m₁ẋ₁²+m₂ẋ₂²).
Потенциальная энергия П=1/2c₁x₁²+1/2c₂(x₂+x₁)²+1/2c₃x₂².
Система уравнений Лагранжа:
3/2m₁ẍ₁+(c₁+c₂)x₁+c₂x₂=0;
3/2m₂ẍ₂+(c₂+c₃)x₂+c₂x₁=0;
Ищем решения в виде:
x₁=A₁sin(kt+a₁)
x₂=A₂sin(kt+a₂)
Подставляя x₁и x₂ в систему дифференциальных уравнений, получаем систему алгебраических уравнений относительно A₁ и A₂.
-3/2m₁k²A₁+(c₁+c₂)A₁+c₂A₂=0;
-3/2m₂k²A₂+(c₂+c₃)A₂+c₂A₁=0;
Для существования нетривиального решения этой однородной системы ее определитель должен быть нулевым.
9/4m₁m₂k⁴-3/2(c₁+c₂)m₂k²-3/2(c₂+c₃)m₁k² +c₁c₂+c₂c₃+c₁c₃=0
Это выражение является квадратным уравнением относительно k². Решив его, находим собственные частоты системы.
Отношения амплитуд движения первого и второго тела могут быть найдены из однородной системы алгебраических уравнений.
g₁=A₂⁽¹⁾/A₁⁽¹⁾=(3/2m₁k₁²-c₁-c₂)/c₂
g₂=A₂⁽²⁾/A₁⁽²⁾=(3/2m₁k₂²-c₁-c₂)/c₂
Тогда решение однородного дифференциального уравнения:
x₁=A₁⁽¹⁾sin(k₁t+a₁)+A₁⁽²⁾sin(k₂t+a₂)
x₂=g₁A₁⁽¹⁾sin(k₁t+a₁)+g₂A₁⁽²⁾sin(k₂t+a₂)
А значения A₁⁽¹⁾,A₁⁽²⁾,a₁,a₂ могут быть найдены из начальных условий.

См. также

• Проектная деятельность по информатике
• Задачи по теоретической механике