Мещерский 47.13 — различия между версиями
Материал из Department of Theoretical and Applied Mechanics
Totamonik (обсуждение | вклад) (Новая страница: «==Визуализация== {{#widget:Iframe |url=http://tm.spbstu.ru/htmlets/Kirillova/index.html |width=850 |height=400 |border=0 }}») |
Sankot (обсуждение | вклад) (→top) |
||
Строка 1: | Строка 1: | ||
+ | ==Условия задачи== | ||
+ | Стержень <math>DE</math> массы <math>M_1</math> лежит на трех катках A, B и C массы <math>M_2</math> каждый. К стержню приложена по горизонтали вправо сила <math>F</math>, приводящая в движение стержень и катки. Скольжение между стержнем и катками, а также между катками и горизонтальной плоскостью отсутствует. Найти ускорение стержня <math>DE</math>. Катки считать однородными круглыми цилиндрами. | ||
+ | ==Решение== | ||
+ | Общее уравнение динамики:<br/> | ||
+ | <math>\sum\ (δA_{i}(i)+δA_{j}(j)= 0</math><br/> | ||
+ | В механической системе с идеальными связями сумма элементарных работ, совершаемых активными силами и силами инерции на любом возможном (виртуальном) перемещении равна нулю.<br/> | ||
+ | Сумма работ активных сил:<br/> | ||
+ | <math>\sum\ δA_{i}(i)=F δS</math><br/> | ||
+ | Учитывая, что точки касания для 3-х катков с плоскостью - мгновенный центр скоростей, найдем угловую скорость и ускорение: | ||
+ | <math> ω = \frac{V}{2 r} </math><br/> | ||
+ | <math> ε = \frac{a}{2 r} </math><br/> | ||
+ | Находим силы инерции и моменты сил инерции относительно его центральной оси:<br/> | ||
+ | <math> Φ_i = -m_i a_i</math><br/> | ||
+ | <math> M_i = -J_i ε_i</math><br/> | ||
+ | Для стержня: | ||
+ | <math> Φ_1 = -M_1 a </math><br/> | ||
+ | Для катков с одинаковыми массами получаем:<br/> | ||
+ | <math> Φ_2 = -\frac{3 M_2 a}{2} </math><br/> | ||
+ | <math> M_2 = -3 J ε = -\frac{3 M_2 R^2}{2}\frac{a}{2 R} =-\frac{3 M_2 R a}{4}</math><br/> | ||
+ | Находим сумму работ сил инерции:<br/> | ||
+ | <math>\sum\ δA_{j}(j)= -M_1 a δS-\frac{3 M_2 a}{4} δS-\frac{3 M_2 R}{8 R} δS</math><br/> | ||
+ | Подставляем в общее уравнение динамики и сокращаем <math>δS</math> :<br/> | ||
+ | <math>\sum\ (δA_{i}(i)+δA_{j}(j)= F - M_1 a -\frac{3 M_2 a}{4} -\frac{3 M_2 R a}{8 R}</math><br/> | ||
+ | Отсюда находим искомое ускорение: | ||
+ | <math> a = \frac{8 F}{8 M_1 + 9 M_2}</math><br/> | ||
+ | |||
==Визуализация== | ==Визуализация== | ||
{{#widget:Iframe |url=http://tm.spbstu.ru/htmlets/Kirillova/index.html |width=850 |height=400 |border=0 }} | {{#widget:Iframe |url=http://tm.spbstu.ru/htmlets/Kirillova/index.html |width=850 |height=400 |border=0 }} |
Версия 15:42, 6 марта 2018
Условия задачи
Стержень
массы лежит на трех катках A, B и C массы каждый. К стержню приложена по горизонтали вправо сила , приводящая в движение стержень и катки. Скольжение между стержнем и катками, а также между катками и горизонтальной плоскостью отсутствует. Найти ускорение стержня . Катки считать однородными круглыми цилиндрами.Решение
Общее уравнение динамики:
В механической системе с идеальными связями сумма элементарных работ, совершаемых активными силами и силами инерции на любом возможном (виртуальном) перемещении равна нулю.
Сумма работ активных сил:
Учитывая, что точки касания для 3-х катков с плоскостью - мгновенный центр скоростей, найдем угловую скорость и ускорение:
Находим силы инерции и моменты сил инерции относительно его центральной оси:
Для стержня:
Для катков с одинаковыми массами получаем:
Находим сумму работ сил инерции:
Подставляем в общее уравнение динамики и сокращаем :
Отсюда находим искомое ускорение:
Визуализация