Задача 48.44 — различия между версиями

Версия 13:44, 25 января 2018

Решение задачи 48.44 из Мещерского

Визуализация 3D-задачи по динамике на JavaScript

Исполнитель: Санькова Татьяна

Группа 23632/2 Кафедра Теоретической механики

Условие задачи

Один конец нерастяжимой тонкой нити обмотан вокруг однородного круглого цилиндра радиуса R, второй конец прикреплен к неподвижной точке O. Цилиндр, разматывая нить, опускается вниз, одновременно раскачиваясь вокруг горизонтальной оси, проходящей через точку подвеса нити. Пренебрегая массой нити, составить дифференциальные уравнения движения цилиндра.

Решение

Рисунок

Уравнение Лагранжа второго рода:

[math]\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial\dot q}\right) - \frac{\partial L}{\partial q} = 0 [/math]

[math]L = T - Π [/math]

Система имеет две степени свободы: длина нити ρ и угол между нитью и вертикальной осью φ.

Движение цилиндра плоское, его кинетическая энергия:

[math] T = \frac{1}{2}mv^{2} + \frac{1}{2}Ϳω^{2} [/math]

[math]V = Vпер - Vотн [/math]

[math]Vпер = dot φOC [/math]

[math] OC = \sqrt{R^{2} + ρ^{2}} [/math]

[math]T = \frac{1}{2}m(\dot φ^{2} (R^{2} + ρ^{2}) + \dot ρ^{2} - 2\dot ρ\dot φR) + \frac{1}{4}m(\frac{\dot ρ}{R} - \dot φ)^{2}[/math]

Потенциальная энергия:

[math]Π = -mg(ρcosφ - Rsinφ)[/math]

Находим

[math]\frac{\partial L}{\partial ρ} = m(ρ\dot φ^{2} + gcosφ) [/math]

[math]\frac{\partial L}{\partial φ} = -mg(ρsinφ - Rcosφ) [/math]

[math]\frac{\partial L}{\partial \dot ρ} = m(\dot ρ - \dot φ R + \frac{1}{2}(\dot ρ - R\dot φ) [/math]

[math]\frac{\partial L}{\partial \dot φ} = m(\dot φ^{2} (R^{2} + ρ^{2}) - \dot ρ R - \frac{1}{2}(\dot ρ - R\dot φ) [/math]

[math]\ddot ρ - \ddot φ R - \frac{2}{3}ρ\dot φ - \frac{2}{3}gcosφ = 0[/math]

[math]ρ^{2}\ddot φ + 2\dot φ\dot ρ ρ - Rρ\dot φ^{2} + gρsinφ = 0[/math]

Визуализация