Определение упругих модулей материала — различия между версиями

Материал из Department of Theoretical and Applied Mechanics
Перейти к: навигация, поиск
(Введение)
(Алгоритм компьютерного эксперимента)
Строка 11: Строка 11:
 
Весь компьютерный эксперимент можно условно разделить на три этапа.
 
Весь компьютерный эксперимент можно условно разделить на три этапа.
  
''На первом этапе'' вычисления находится положение равновесия материала в растянутом состоянии.
+
''На первом этапе'' находится положение равновесия материала в растянутом состоянии.
 
При этом задается растяжение вдоль одной из осей симметрии материала (оси X). Компьютерный эксперимент производится посредством вычисления
 
При этом задается растяжение вдоль одной из осей симметрии материала (оси X). Компьютерный эксперимент производится посредством вычисления
 
радиус векторов и векторов скорости частиц в зависимости от времени. Интегрирование
 
радиус векторов и векторов скорости частиц в зависимости от времени. Интегрирование

Версия 00:09, 23 января 2018

Введение

В настоящее время большое внимание уделяется исследованию упругих свойств различных материалов.

Рис.1. Исследуемый материал

В данной работе проводится исследование материала на его упругие характеристики - коэффициента Пуассона и модуля Юнга. Вычисление модулей ведется с помощью компьютерного эксперимента. Компьютерный эксперимент был поставлен на материале, изображенном на Рис.1. При вычислении упругих коэффициентов используется метод молекулярной динамики (ММД). Кроме того, в задаче ставятся фиксированные граничные условия.

Алгоритм компьютерного эксперимента

Весь компьютерный эксперимент можно условно разделить на три этапа.

На первом этапе находится положение равновесия материала в растянутом состоянии. При этом задается растяжение вдоль одной из осей симметрии материала (оси X). Компьютерный эксперимент производится посредством вычисления радиус векторов и векторов скорости частиц в зависимости от времени. Интегрирование ведется методом центральных разностей. Метод состоит в том, что координаты и силы вычисляются во временных точках, разделенных интервалами, равными шагу интегрирования, а скорости вычисляются во временных точках, находящихся в серединах вышеупомянутых интервалов:

[math]\underline{v} (t + \tau / 2) = \underline{v} (t - \tau / 2) + \underline{w} (t) \tau[/math]

[math]\underline{r} (t + \tau) = \underline{r} (t) + \underline{v} (t + \tau / 2) \tau,[/math]

где [math]\tau[/math] – шаг интегрирования. Ускорение [math]\underline{w}(t)[/math] вычисляется через приложенную к частице силу. Кроме того, на первом этапе вычисляется средняя деформация материала после его растяжения.

Второй этап представляет собой определение слагаемых сил, действующих на один атом системы и на соседние с ним атомы. Зная силы, механические напряжения в решетке можно вычислить по формулам:

[math] {{\underline{\underline{\tau\hspace{-0.5mm}}}\hspace{0.5mm}}}_i = \frac{1}{2V} \sum_{\alpha} \underline{F}_{\alpha}^i \underline{A}_{\alpha}^i = \frac{1}{2V} \sum_{\alpha} \underline{F}_{\alpha}^i (\underline{r}_{\alpha}^i - \underline{r}_i), [/math]

Здесь [math]{{\underline{\underline{\tau\hspace{-0.5mm}}}\hspace{0.5mm}}}_i[/math] – тензор механических напряжений для частицы с номером [math]i[/math]. При однородном поле деформации находится средний тензор напряжений [math]({{\underline{\underline{\tau\hspace{-0.5mm}}}\hspace{0.5mm}}}_i)[/math] по всем частицам. [math]V[/math] – объем ячейки периодичности. [math]\underline{A}_{\alpha}^i[/math] – вектор относительного положения соседней частицы: [math]\underline{A}_{\alpha}^i = \underline{r}_{\alpha}^i - \underline{r}_i[/math], где [math]\underline{r}_i[/math] – радиус-вектор частицы с номером [math]i[/math], [math]\underline{r}_{\alpha}^i[/math] – радиус-вектор соседней частицы ([math]\alpha[/math]).


Третий этап представляет собой нахождение упругих модулей через коэффициенты упругости. Для нахождения коэффициентов упругости воспользуемся формулами для их выражения через компоненты тензоров напряжения и деформации.

В трехмерном материале коэффициенты упругости определяются через следующие выражения:

[math] \begin{array}{l} \sigma_1 = C_{11} \varepsilon_{11} + C_{12} \varepsilon_{22} + C_{12} \varepsilon_{33},\quad \sigma_2 = C_{12} \varepsilon_{11} + C_{11} \varepsilon_{22} + C_{12} \varepsilon_{33},\\ \sigma_3 = C_{12} \varepsilon_{11} + C_{12} \varepsilon_{22} + C_{11} \varepsilon_{33},\\ \tau_{12} = 2 C_{44} \varepsilon_{12},\quad \tau_{23} = 2 C_{44} \varepsilon_{23},\quad \tau_{31} = 2 C_{44} \varepsilon_{31}. \end{array} [/math]


Модули упругости выражаются по формулам:

[math] \nu = \frac{C_{12}}{C_{11} + C_{12}},\quad E = \frac{(C_{11} - C_{12}) (C_{11} + 2 C_{12})}{(C_{11} + C_{12})}, [/math] где [math] E [/math] - модуль Юнга, [math]\nu [/math] - коэффициент Пуассона


При выборе конкретного материала на основе ГЦК с расстоянием между частицами [math]d = 0.33, [/math] упругие модули получились следующими: [math]E = 0.926682, \nu = 0.374837 [/math]