Колебание системы — различия между версиями

Материал из Department of Theoretical and Applied Mechanics
Перейти к: навигация, поиск
(Новая страница: «'''Задача 48.24 из сборника задач Мещерского''' : составить уравнения движения материальной…»)
 
Строка 2: Строка 2:
  
 
== Условие задачи ==
 
== Условие задачи ==
−
Материальная точка массы m движется по круговой рамке радиуса a, которая вращается с постоянной угловой скоростью ω вокруг вертикального диаметра AB. Составить уравнение движения точки и определить момент M, необходимый для поддержания постоянства угловой скорости.
+
Определить движение системы, состоящей из двух масс m1 и m2 насаженных на гладкий горизонтальный стержень(ось Ох); массы связаны пружиной жесткостью c и могут двигаться поступательно вдоль стержня.  
  
 
== Реализация на языке JavaScript ==
 
== Реализация на языке JavaScript ==
Строка 9: Строка 9:
 
== Используемые библиотеки ==
 
== Используемые библиотеки ==
 
*three.js
 
*three.js
−
*stats.js
+
*stats.min.js
−
*dat.gui.js
+
*dat.gui.min.js
 +
*CurveExtras1
  
 
== Решение задачи ==
 
== Решение задачи ==
Строка 21: Строка 22:
 
  q - независимая обобщенная координата
 
  q - независимая обобщенная координата
  
−
В данной задаче в качестве обобщенной координаты примем угол θ.
+
Решая задачу, получим следующие уравнения движения:
−
 
+
x1 = \frac{1}{m1 + m2}(m1 v0 t + \frac{m2 v0}{k} sin (k t))
−
Кинетическая энергия:  
+
x2 - l = \frac{1}{m1 + m2}(m1 v0 t - \frac{m1 v0}{k} sin (k t))
−
 
+
k = (c \frac{m1 + m2}{m1 m2})^{1/2}
−
<math>T = \frac{1}{2}m(ẋ^{2}+ẏ^{2}+ż^{2}) = \frac{1}{2}m(R^{2} \dot θ cos^{2} θ + (R sin θ)^{2} ω^{2}+ R^{2} \dot θ^{2}) = \frac{1}{2}m R^{2}(\dot θ^{2} + ?sin ^{2} θ ω^{2})</math>
 
−
 
 
−
Потенциальная энергия:
 
−
 
 
−
<math>П = m g z = m g R (1 - cos θ)</math>
 
−
 
 
−
Найдем:
 
−
 
 
−
<math>\frac{\partial L}{\partial θ} = m R^{2}ω^{2} sin θ cos θ - m g R sin θ </math>
 
−
 
 
−
<math>\frac{\partial L}{\partial \dot θ} = m R^{2} \dot θ</math>
 
−
 
 
−
Уравнения движения:
 
−
 
 
−
<math> \ddot θ = (ω^{2} cosθ - \frac{g}{R}) sin θ = 0 </math>
 
  
 
== См. также ==
 
== См. также ==

Версия 10:59, 22 декабря 2017

Задача 48.24 из сборника задач Мещерского : составить уравнения движения материальной точки по круговой рамке и смоделировать систему на языке программирования JavaScript.

Условие задачи

Определить движение системы, состоящей из двух масс m1 и m2 насаженных на гладкий горизонтальный стержень(ось Ох); массы связаны пружиной жесткостью c и могут двигаться поступательно вдоль стержня.

Реализация на языке JavaScript

Используемые библиотеки

  • three.js
  • stats.min.js
  • dat.gui.min.js
  • CurveExtras1

Решение задачи

Используем уравнение Лагранжа 2-го рода:

[math]\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial\dot q}\right) - \frac{\partial L}{\partial q} = 0 [/math] , где 

L = T - П - функция Лагранжа
T - кинетическая энергия системы
П - потенциальная энергия системы
q - независимая обобщенная координата

Решая задачу, получим следующие уравнения движения: x1 = \frac{1}{m1 + m2}(m1 v0 t + \frac{m2 v0}{k} sin (k t)) x2 - l = \frac{1}{m1 + m2}(m1 v0 t - \frac{m1 v0}{k} sin (k t)) k = (c \frac{m1 + m2}{m1 m2})^{1/2}

См. также

Источник — «http://tm.spbstu.ru/?title=Колебание_системы&oldid=49345»