Свободные колебания груза с массой зависящей от времени — различия между версиями

Материал из Department of Theoretical and Applied Mechanics
Перейти к: навигация, поиск
(→‎Начальные сведения)
(→‎Результаты по проекту)
Строка 17: Строка 17:
 
:<math>x</math> - отклонение от положения равновесия;
 
:<math>x</math> - отклонение от положения равновесия;
  
−
==Результаты по проекту==
+
==Решение==
−
''Сюда вынести значимые результаты, полученные в ходе работы над проектом (публикации, программы, описания, статьи,...), и время их получения (наиболее свежие результаты должны быть снизу)''
+
Для решения задачи Коши возьмем начальные условия в виде <math>x(0) = x_0</math>, <math> \dot x(0)= 0</math>.
 +
Тогда для <math>t < t_0</math> решение будет иметь вид:
 +
:<math>x_1 = x_0 \cos \omega_1 t </math>
 +
А для  <math>t > t_0</math> решение имеет вид:
 +
: <math>x_2 = A \cos \omega_2 t + B \sin \omega_2 t  </math>
 +
где константы интегрирования необходимо найти из условия сшивания:
 +
: <math> x_1(t_0)=x_2(t_0) </math>
 +
: <math>  \dot x_1(t_0)=\dot x_2(t_0) </math>
 +
Запишем эти условия в виде системы линейных уравнений:
 +
: <math>
 +
\begin{cases}
 +
    A \cos \omega_2 t_0 + B \sin \omega_2 t_0 =  x_0 \cos \omega_1 t_0 \\
 +
    \omega_2(-A \sin \omega_2 t_0 + B \cos \omega_2 t_0) = -\omega_1  x_0 \sin \omega_1 t_0\\
 +
\end{cases}
 +
</math>
 +
Рассмотрим два частных случая:
 +
:1) <math> \cos \omega_1 t_0 = 1 , \sin \omega_1 t_0 = 0 </math>
 +
:2) <math> \cos \omega_1 t_0 = 0 , \sin \omega_1 t_0 = 1 </math>
 +
Для первого случая получим решение в виде:
 +
:<math>x_2 = x_0 \cos \omega_2 (t-t_0) </math>
 +
Видим, что амплитуда колебаний остается прежней, а частота колебаний меняется.
 +
Для второго случая решение имеет вид:
 +
:<math>x_2 = x_0 \sqrt{\frac{m_2}{m_1}} \sin \omega_2 (t+t_0) </math>
 +
В данном случае видим, что амплитуда зависит от корня из отношения масс. Это значит что она может как уменьшиться, так и увеличиться.
  
 
==Литература и ссылки==
 
==Литература и ссылки==

Версия 01:31, 21 июня 2016

Описание

Постановка задачи

Рассмотреть свободные колебания груза на пружинке с массой, зависящей от времени. Проанализировать полученные результаты.

Начальные сведения

Дифференциальное уравнение колебаний имеет вид: [math] m(t) \ddot x + c x=0[/math] ,где

[math] m(t) = \begin{cases} m_1 &\text{ $ t \lt t_0$}\\ m_2 &\text{ $ t \gt t_0$} \end{cases} [/math] - масса груза;
[math]c[/math] - жесткость пружины;
[math]x[/math] - отклонение от положения равновесия;

Решение

Для решения задачи Коши возьмем начальные условия в виде [math]x(0) = x_0[/math], [math] \dot x(0)= 0[/math]. Тогда для [math]t \lt t_0[/math] решение будет иметь вид:

[math]x_1 = x_0 \cos \omega_1 t [/math]

А для [math]t \gt t_0[/math] решение имеет вид:

[math]x_2 = A \cos \omega_2 t + B \sin \omega_2 t [/math]

где константы интегрирования необходимо найти из условия сшивания:

[math] x_1(t_0)=x_2(t_0) [/math]
[math] \dot x_1(t_0)=\dot x_2(t_0) [/math]

Запишем эти условия в виде системы линейных уравнений:

[math] \begin{cases} A \cos \omega_2 t_0 + B \sin \omega_2 t_0 = x_0 \cos \omega_1 t_0 \\ \omega_2(-A \sin \omega_2 t_0 + B \cos \omega_2 t_0) = -\omega_1 x_0 \sin \omega_1 t_0\\ \end{cases} [/math]

Рассмотрим два частных случая:

1) [math] \cos \omega_1 t_0 = 1 , \sin \omega_1 t_0 = 0 [/math]
2) [math] \cos \omega_1 t_0 = 0 , \sin \omega_1 t_0 = 1 [/math]

Для первого случая получим решение в виде:

[math]x_2 = x_0 \cos \omega_2 (t-t_0) [/math]

Видим, что амплитуда колебаний остается прежней, а частота колебаний меняется. Для второго случая решение имеет вид:

[math]x_2 = x_0 \sqrt{\frac{m_2}{m_1}} \sin \omega_2 (t+t_0) [/math]

В данном случае видим, что амплитуда зависит от корня из отношения масс. Это значит что она может как уменьшиться, так и увеличиться.

Литература и ссылки

Актуальная информация, используемая в проекте

См. также

Другие страницы, релевантные данной: схожие проекты, информация по теме и т.п. В общем всё, что может заинтересовать человека, просматривающего данную страницу.

Не забываем добавить категории. Помимо прочих категорий обязательно выбрать одно из двух: "Категория:Студенческие проекты" (студентам и школьникам!) либо "Категория:Научные проекты"

Источник — «http://tm.spbstu.ru/?title=Свободные_колебания_груза_с_массой_зависящей_от_времени&oldid=43024»