Физически линейная квадратная решетка — различия между версиями

Материал из Department of Theoretical and Applied Mechanics
Перейти к: навигация, поиск
Строка 5: Строка 5:
 
Уравнение движения в векторном виде:
 
Уравнение движения в векторном виде:
 
::<math>
 
::<math>
−
\ddot{\bf u}_{kl} = {\omega}_{0}^2({\bf i}{\bf i}({\bf u}_{k+1,l}-2{\bf u}_{kl} + {\bf u}_{k-1,l}) + {\bf j}{\bf j}({\bf u}_{k,l+1}-2{\bf u}_{kl} + {\bf u}_{k,l-1})),
+
\ddot{\bf u}_{kl} = {\omega}_{0}^2({\bf i}\cdot{\bf i}({\bf u}_{k+1,l}-2{\bf u}_{kl} + {\bf u}_{k-1,l}) + {\bf j}\cdot{\bf j}({\bf u}_{k,l+1}-2{\bf u}_{kl} + {\bf u}_{k,l-1})),
 
</math>
 
</math>
 
Уравнение движения при проекции на оси:
 
Уравнение движения при проекции на оси:
 
::<math>
 
::<math>
−
\ddot{\bf x}_{kl} = {\omega}_{0}^2{\bf i}{\bf i}({\bf x}_{k+1,l}-2{\bf x}_{kl} + {\bf x}_{k-1,l})
+
\ddot{\bf x}_{kl} = {\omega}_{0}^2({\bf x}_{k+1,l}-2{\bf x}_{kl} + {\bf x}_{k-1,l})
 
</math>
 
</math>
  
 
::<math>
 
::<math>
−
\ddot{\bf y}_{kl} = {\omega}_{0}^2{\bf j}{\bf j}({\bf y}_{k,l+1}-2{\bf y}_{kl} + {\bf y}_{k,l-1})
+
\ddot{\bf y}_{kl} = {\omega}_{0}^2({\bf y}_{k,l+1}-2{\bf y}_{kl} + {\bf y}_{k,l-1})
 
</math>
 
</math>
  

Версия 21:23, 15 июня 2016

Виртуальная лаборатория > Физически линейная квадратная решетка

Постановка задачи

В данной задаче рассматривается квадратная решётка, состоящая из частиц одинаковых масс. Эти частицы связаны между собой линейными пружинками одинаковой жёсткости. Система рассматривается при фиксированных граничных условиях (все крайние частицы зафиксированы). Начальные скорости остальным частицам в программе задаются произвольно. Уравнение движения в векторном виде:

[math] \ddot{\bf u}_{kl} = {\omega}_{0}^2({\bf i}\cdot{\bf i}({\bf u}_{k+1,l}-2{\bf u}_{kl} + {\bf u}_{k-1,l}) + {\bf j}\cdot{\bf j}({\bf u}_{k,l+1}-2{\bf u}_{kl} + {\bf u}_{k,l-1})), [/math]

Уравнение движения при проекции на оси:

[math] \ddot{\bf x}_{kl} = {\omega}_{0}^2({\bf x}_{k+1,l}-2{\bf x}_{kl} + {\bf x}_{k-1,l}) [/math]
[math] \ddot{\bf y}_{kl} = {\omega}_{0}^2({\bf y}_{k,l+1}-2{\bf y}_{kl} + {\bf y}_{k,l-1}) [/math]

где [math] {\bf u}[/math] - перемещение, [math]{\omega}_{0} =\sqrt\frac {\bf c}{\bf m} [/math], [math] {\bf c}[/math] - жёсткость пружинок, [math] {\bf m}[/math] - масса частиц, [math] {\bf i}, {\bf j}[/math] - орты, [math] {\bf x}, {\bf y}[/math] -координаты.

Данные дифференциальные уравнения решались методом численного интегрирования Верле

Ниже приведены график изменения энергии системы и график изменения среднего квадрата скоростей. На первом графике можно пронаблюдать выравнивание кинетической и потенциальной энергии системы. При большом количестве частиц (N > 100) мы можем увидеть, что график энергий образует функцию Бесселя.

Реализация

Ссылки

Источник — «http://tm.spbstu.ru/?title=Физически_линейная_квадратная_решетка&oldid=42162»