КП: Динамика бильярда — различия между версиями
Материал из Department of Theoretical and Applied Mechanics
(→Обсуждение результатов и выводы) |
(→Обсуждение результатов и выводы) |
||
| Строка 478: | Строка 478: | ||
== Обсуждение результатов и выводы == | == Обсуждение результатов и выводы == | ||
| − | В ходе работы над проектом была написана программа, моделирующая процесс игры в бильярд. Данная программа показывает , что траектория разлета шаров после центрального удара не зависит от силы удара, но зависит от малейшего изменения угла(при силе, достаточной для визуально заметного разлета шаров, 0.01), так как меняется распространение ударной волны в пирамиде. | + | В ходе работы над проектом была написана программа, моделирующая процесс игры в бильярд. Данная программа показывает ,что траектория разлета шаров после центрального удара не зависит от силы удара, но зависит от малейшего изменения угла (при силе, достаточной для визуально заметного разлета шаров, при изменении на 0.1 - заметное отклонение от траектории, при 0.01 - трудноразличимое , при дальнейшем уменьшении требуется большая сила удара для разлечения изменении траектории), так как меняется распространение ударной волны в пирамиде. |
== Ссылки по теме == | == Ссылки по теме == | ||
Версия 13:51, 3 июня 2015
А.М. Кривцов > Теоретическая механика > Курсовые проекты ТМ 2015 > Динамика бильярда
Исполнитель: Булдаков Павел
Группа: 09 (23604)
Семестр: весна 2015
Содержание
Аннотация проекта
Данный проект посвящен изучению динамики бильярда .В ходе работы над проектом было рассмотрено разбиение пирамиды из шаров, данный процесс смоделирован на языке JavaScript.
Формулировка задачи
- Написать программу, моделирующую динамику взаимодействия шаров при игре в Бильярд. Взаимодействие между шарами описывается с помощью потенциала Леннарда-Джонса.
-Рассмотреть классическое разбиение в русском бильярде, проследить траекторию разлета.
Общие сведения по теме
Впервые о математическом базисе бильярдной игры заговорил Гаспар Гюстав Кориолис в своей книге «Théorie mathématique du jeu de billard» (Русск. перевод: «Математическая теория явлений бильярдной игры») в 1835 году. Он использовал в своей работе элементы теории вероятностей, теории пределов и общего анализа. Однако особого интереса у современников книга не вызвала: ни у математиков, ни у бильярдистов.
Прошло более полутораста лет, и математический бильярд развился в свою теорию, породив несколько побочных. «Теория бильярдов» сегодня неотъемлемая часть эргодической теории и теории динамических систем, имеет важнейшее применение в физике. Математиком Гальпериным создан способ определения числа pi с помощью бильярда. Намного ближе общеобразованному читателю результаты исследований математиков Штайнхауса, Альхазена и Гарднера.
При реализации данной задачи используется стол с размерами игрового поля 2240 х 1120 мм, диаметром шара 68 мм и размерами луз 72 и 82 мм соответственно.
Решение
Приняты некоторые допущения:
- все шары считаются идеально упругими и почти идеально жёсткими;
- каждый шар имеет массу в 1 единицу и радиус в 1 единицу;
- взаимодействие между двумя шарами описывается формулой
где d — расстояние между центрами шаров, — сила Леннард-Джонса
Профессор Джим Белк (Jim Belk) рассчитал направление и скорость движения каждого из 15 шаров пирамиды, а также битка , после соударения.Для сравнения, помните, что начальная скорость битка была 10 ед/сек.
[[1]]
Ниже приведена программа( созданная совместно со Степановым Матвеем на основании программы Динамика взаимодействующих частиц) , в которой видно, что траектория разлета шаров схожи с расчетными траекториями профессора.
Текст программы на языке JavaScript:
Файл "Billyard1version.js"
1 window.addEventListener("load", MainBalls, true);
2 function MainBalls(slider_01, text_01, slider_02, text_02) {
3
4 // Предварительные установки
5
6 var canvas = canvasBalls;
7 var context = canvas.getContext("2d"); // на context происходит рисование
8 canvas.oncontextmenu = function (e) {return false;}; // блокировка контекстного меню
9
10 var Pi = 3.1415926; // число "пи"
11
12 var m0 = 1; // масштаб массы
13 var T0 = 1; // масштаб времени (период колебаний исходной системы)
14 var a0 = 1; // масштаб расстояния (диаметр шара)
15 var q = 90; // угол
16
17
18 var g0 = a0 / T0 / T0; // масштаб ускорения (ускорение, при котором за T0 будет пройдено расстояние a0)
19 var k0 = 2 * Pi / T0; // масштаб частоты
20 var C0 = m0 * k0 * k0; // масштаб жесткости
21 var B0 = 2 * m0 * k0; // масштаб вязкости
22 var v0 = 1; //начальная скорость
23
24
25 // *** Задание физических параметров ***
26
27 var Ny = 32; // число шаров, помещающихся по вертикали в окно (задает размер шара относительно размера окна)
28 var m = 1 * m0; // масса
29 var Cwall = 10 * C0; // жесткость стен
30 var Cball = 0.1 * Cwall; // жесткость между частицами
31 var B = 0.008 * B0; // вязкость среды
32 var Bwall = 0.03 * B0; // вязкость на стенках
33 var mg = 0.25 * m * g0; // сила тяжести
34 var r = 0.5 * a0; // радиус частицы в расчетных координатах
35 var K = 0.85; // сила взаимодействия ограничивается значением, реализующимся при r/a = K
36 var a = 2 * r; // равновесное расстояние между частицами
37 var aCut = 2.00001 * r; // радиус обрезания
38
39 // *** Задание вычислительных параметров ***
40
41 var fps = 50; // frames per second - число кадров в секунду (качечтво отображения)
42 var spf = 100; // steps per frame - число шагов интегрирования между кадрами (скорость расчета)
43 var dt = 0.045 * T0 / fps; // шаг интегрирования (качество расчета)
44
45 // Выполнение программы
46
47 var scale = canvas.height / Ny / a0; // масштабный коэффициент для перехода от расчетных к экранным координатам
48 var r2 = r * r; // ___в целях оптимизации___
49 var aCut2 = aCut * aCut; // ___в целях оптимизации___
50 var a2 = a * a; // ___в целях оптимизации___
51 var D = a2 * Cball / 72; // энергия связи между частицами
52 var LJCoeff = 12 * D / a2; // коэффициент для расчета потенциала Л-Дж
53
54 var Ka = K * a; // ___в целях оптимизации___
55 var K2a2 = K * K * a2; // ___в целях оптимизации___
56
57 var w = canvas.width / scale; // ширина окна в расчетных координатах
58 var h = canvas.height / scale; // высота окна в расчетных координатах
59
60 // Работа с массивом
61
62 var balls = []; // массив шаров
63 var addNewBall = function(x, y) {
64 // проверка - не пересекается ли новый шар со стенами или уже существующими шарами
65 if (x - r < 0 || x + r > w || y - r < 0 || y + r > h) return null;
66 for (var i = 0; i < balls.length; i++) {
67 var rx = balls[i].x - x;
68 var ry = balls[i].y - y;
69 var rLen2 = rx * rx + ry * ry;
70 if (rLen2 < 4 * r2) return null;
71 }
72 var b = [];
73
74 b.x = x; b.y = y; // расчетные координаты шара
75 b.fx = 0; b.fy = 0; // сила, действующая на шар
76 b.vx = 0; b.vy = 0; // скорость
77
78 balls[balls.length] = b; // добавить элемент в конец массива
79 return b;
80 };
81
82 // Основной цикл программы
83
84 function control() {
85 physics();
86 draw();
87 }
88
89 // Расчетная часть программы
90
91 function physics() { // то, что происходит каждый шаг времени
92 for (var s = 1; s <= spf; s++) {
93
94 // пересчет сил идет отдельным массивом, т.к. далее будут добавляться силы взаимодействия между шарами
95 for (var i0 = 0; i0 < balls.length; i0++) {
96 balls[i0].fx = - B * balls[i0].vx;
97 balls[i0].fy = - B * balls[i0].vy;
98 }
99
100 for (var i = 0; i < balls.length; i++) { // пеерсчет взаимодействия между шарами
101
102
103 //попадание в лузу
104
105 if ((balls[i].x >= (300/scale-r/2)) && (balls[i].y >= (300/scale-r/2)) && (balls[i].y <= (300/scale+r/2))) {balls.splice(i, 1)}; // когда координаты шара совпадают с координатами, записанными в условии цикла, шар удаляется с поля при помощи balls.splice
106 if ((balls[i].x >= (300/scale-r/2)) && (balls[i].y <= (r/2))) {balls.splice(i, 1)};
107 if ((balls[i].x >= (300/scale-r/2)) && (balls[i].y >= (600/scale -r/2))) {balls.splice(i, 1)};
108 if ((balls[i].x <= (r/2)) && (balls[i].y >= (600/scale -r/2))) {balls.splice(i, 1)};
109 if ((balls[i].x <= (r/2)) && (balls[i].y >= (300/scale-r/2)) && (balls[i].y <= (300/scale+r/2))) {balls.splice(i, 1)};
110 if ((balls[i].x <= (r/2)) && (balls[i].y <= (r/2))) {balls.splice(i, 1)};
111
112 // расчет взаимодействия производится со всеми следующими шарами в массиве,
113 // чтобы не считать каждое взаимодействие дважды
114 var b = balls[i];
115 for (var j = i + 1; j < balls.length; j++) {
116 var b2 = balls[j];
117 var rx = b.x - b2.x; var ry = b.y - b2.y; // вектор смотрит на первый шар (b)
118 var r2 = rx * rx + ry * ry; // квадрат расстояния между шарами
119 if (r2 > aCut2) continue; // проверка на радиус обрезания
120 var rLen = (Math.sqrt(r2));
121
122
123 // если расстояние между частицами мало, силы будут посчитаны для K * a
124 if (r2 < K2a2) {
125 if (rLen > 0.00001) { // проверка, чтобы избежать деления на 0
126 rx = rx / rLen * Ka;
127 ry = ry / rLen * Ka;
128 }
129 r2 = K2a2;
130 rLen = Ka; // корень K2a2
131 }
132
133 // сила взаимодействия
134 var s2 = a2 / r2; var s4 = s2 * s2; // ___в целях оптимизации___
135 var F = LJCoeff * s4 * s4 * (s4 * s2 - 1); // сила взаимодействия Леннарда-Джонса
136
137 var Fx = F * rx; var Fy = F * ry;
138 b.fx += Fx; b.fy += Fy;
139 b2.fx -= Fx; b2.fy -= Fy;
140 }
141
142 if (b.y + r > h) { b.fy += -Cwall * (b.y + r - h) - Bwall * b.vy; } // рассчет взаимодействия со стенками : когда координаты шара совпадают с координатами в условии цикла, шару придается скорость и направление
143 if (b.y - r < 0) { b.fy += -Cwall * (b.y - r) - Bwall * b.vy;}
144 if (b.x + r > w) { b.fx += -Cwall * (b.x + r - w) - Bwall * b.vx; }
145 if (b.x - r < 0) { b.fx += -Cwall * (b.x - r) - Bwall * b.vx; }
146
147 b.vx += b.fx / m * dt; b.vy += b.fy / m * dt;
148 b.x += b.vx * dt; b.y += b.vy * dt;
149 }
150 }
151 }
152
153 // Рисование
154
155 var rScale13 = r * scale * 1.3; // ___в целях оптимизации___
156 var rScaleShift = r * scale / 5; // ___в целях оптимизации___
157 var line ;
158 var radi = 30; // линия которая показывает предполагаему траекторию "битка"
159
160 function draw() {
161 context.clearRect(0, 0, w * scale, h * scale); // очистить экран
162 for (var i = 1; i < balls.length; i++){
163 var xS = balls[i].x * scale; var yS = balls[i].y * scale;
164 // расчет градиента нужно проводить для каждого шара
165 var gradient = context.createRadialGradient(xS, yS, rScale13, xS - rScaleShift, yS + rScaleShift, 0);
166 gradient.addColorStop(0, "#fdebeb");
167 gradient.addColorStop(1, "#fffcfc");
168 context.fillStyle = gradient;
169
170 context.beginPath();
171 context.arc(xS, yS, r * scale, 0, 2 * Math.PI, false);
172 context.closePath();
173 context.fill();
174 }
175 for (var i = 0; i < 1; i++){
176 var xS = balls[i].x * scale; var yS = balls[i].y * scale;
177 // расчет градиента нужно проводить для каждого шара
178 var gradient = context.createRadialGradient(xS, yS, rScale13, xS - rScaleShift, yS + rScaleShift, 0);
179 gradient.addColorStop(0, "#cd0000");
180 gradient.addColorStop(1, "#fffcfc");
181 context.fillStyle = gradient;
182
183 context.beginPath();
184 context.arc(xS, yS, r * scale, 0, 2 * Math.PI, false);
185 context.closePath();
186 context.fill();
187 }
188
189
190
191 context.lineWidth="3";
192 context.strokeStyle="#fff506";
193 context.beginPath();
194 context.moveTo(balls[0].x * scale, balls[0].y * scale);
195 context.lineTo(radi*v0*Math.cos(q*Pi/180) + balls[0].x * scale,radi*v0*Math.sin(q*Pi/180)+balls[0].y * scale);
196 context.stroke();
197
198
199 // прорисовка луз
200 // verh lev
201 context.lineWidth="3";
202 context.strokeStyle="#ffffff ";
203 context.beginPath();
204 context.moveTo(0, 0);
205 context.lineTo(0,14 +2.5 );
206 context.stroke();
207
208 context.lineWidth="3";
209 context.strokeStyle="#ffffff";
210 context.beginPath();
211 context.moveTo(0, 0);
212 context.lineTo(14 +2.5,0 );
213 context.stroke();
214
215 // verh prav
216 context.lineWidth="3";
217 context.strokeStyle="#ffffff";
218 context.beginPath();
219 context.moveTo(286 - 2.5, 0);
220 context.lineTo(300,0 );
221 context.stroke();
222
223 context.lineWidth="3";
224 context.strokeStyle="##ffffff";
225 context.beginPath();
226 context.moveTo(300, 0);
227 context.lineTo(300,14 +2.5 );
228 context.stroke();
229
230 // niz lev
231 context.lineWidth="3";
232 context.strokeStyle="#ffffff";
233 context.beginPath();
234 context.moveTo(0, 600);
235 context.lineTo(14 +2.5,600 );
236 context.stroke();
237
238 context.lineWidth="3";
239 context.strokeStyle="#ffffff";
240 context.beginPath();
241 context.moveTo(0, 586 - 2.5);
242 context.lineTo(0,600 );
243 context.stroke();
244
245
246 // niz prav
247 context.lineWidth="3";
248 context.strokeStyle="#ffffff";
249 context.beginPath();
250 context.moveTo(300, 600);
251 context.lineTo(300,586 - 2.5);
252 context.stroke();
253
254 context.lineWidth="3";
255 context.strokeStyle="#ffffff";
256 context.beginPath();
257 context.moveTo(300, 600);
258 context.lineTo(286 - 2.5,600 );
259 context.stroke();
260
261 //sered lev
262 context.lineWidth="3";
263 context.strokeStyle="#ffffff";
264 context.beginPath();
265 context.moveTo(0, 289);
266 context.lineTo(0,311);
267 context.stroke();
268
269 //sered prav
270
271 context.lineWidth="3";
272 context.strokeStyle="#ffffff";
273 context.beginPath();
274 context.moveTo(300, 289);
275 context.lineTo(300,311 );
276 context.stroke();
277
278
279 }
280
281
282 // Запуск системы
283 // добавляем 20 частиц, сдвинув их от стен
284 addNewBall(16*w/32, 16*h/32 );
285 addNewBall(16*w/32, 8*h/32 );
286 addNewBall(16*w/32 - r, 8*h/32 - 1.7321*r);
287 addNewBall(16*w/32 + r, 8*h/32 - 1.7321*r );
288 addNewBall(16*w/32, 8*h/32 - 2*1.7321*r );
289 addNewBall(16*w/32 - 2*r, 8*h/32 - 2*1.7321*r );
290 addNewBall(16*w/32 + 2*r, 8*h/32 - 2*1.7321*r );
291 addNewBall(16*w/32 + r, 8*h/32 - 3*1.7321*r );
292 addNewBall(16*w/32 - r, 8*h/32 - 3*1.7321*r );
293 addNewBall(16*w/32 + 3*r, 8*h/32 - 3*1.7321*r );
294 addNewBall(16*w/32 - 3*r, 8*h/32 - 3*1.7321*r );
295 addNewBall(16*w/32, 8*h/32 - 4*1.7321*r );
296 addNewBall(16*w/32 - 2*r, 8*h/32 - 4*1.7321*r );
297 addNewBall(16*w/32 + 2*r, 8*h/32 - 4*1.7321*r );
298 addNewBall(16*w/32 - 4*r, 8*h/32 - 4*1.7321*r );
299 addNewBall(16*w/32 + 4*r, 8*h/32 - 4*1.7321*r );
300 addNewBall(16*w/32, 16*h/32 );
301
302 this.setSlider_01 = function(c) { q=-c ;}; // функция для слайдера угла
303 this.setSlider_02 = function(c) { v0=c ;}; // функция для слайдера угла
304
305 // Настройка интерфейса
306
307 slider_01.min = 0; slider_01.max =360;
308 slider_01.step = 0.5;
309 slider_01.value = q; // начальное значение ползунка должно задаваться после min и max
310 text_01.value = Math.abs(q);
311 slider_02.min = 0; slider_02.max = 10;
312 slider_02.step = 0.5;
313 slider_02.value = v0; // начальное значение ползунка должно задаваться после min и max
314 text_02.value = v0;
315
316 this.setSlider_01(q);
317 this.setSlider_02(v0);
318
319 this.newSystem = function() {
320 balls[0].vx = v0* Math.cos(q*Pi/180);
321 balls[0].vy = v0* Math.sin(q*Pi/180);
322 }
323
324 this.newSystem1 = function() {
325 for (var i = 20; i >= 0; i--)
326 {balls.splice(i, 1)};
327 addNewBall(16*w/32, 16*h/32 );
328 addNewBall(16*w/32, 8*h/32 );
329 addNewBall(16*w/32 - r, 8*h/32 - 1.7321*r);
330 addNewBall(16*w/32 + r, 8*h/32 - 1.7321*r );
331 addNewBall(16*w/32, 8*h/32 - 2*1.7321*r );
332 addNewBall(16*w/32 - 2*r, 8*h/32 - 2*1.7321*r );
333 addNewBall(16*w/32 + 2*r, 8*h/32 - 2*1.7321*r );
334 addNewBall(16*w/32 + r, 8*h/32 - 3*1.7321*r );
335 addNewBall(16*w/32 - r, 8*h/32 - 3*1.7321*r );
336 addNewBall(16*w/32 + 3*r, 8*h/32 - 3*1.7321*r );
337 addNewBall(16*w/32 - 3*r, 8*h/32 - 3*1.7321*r );
338 addNewBall(16*w/32, 8*h/32 - 4*1.7321*r );
339 addNewBall(16*w/32 - 2*r, 8*h/32 - 4*1.7321*r );
340 addNewBall(16*w/32 + 2*r, 8*h/32 - 4*1.7321*r );
341 addNewBall(16*w/32 - 4*r, 8*h/32 - 4*1.7321*r );
342 addNewBall(16*w/32 + 4*r, 8*h/32 - 4*1.7321*r );
343 addNewBall(16*w/32, 16*h/32 );
344
345 }
346 setInterval(control, 1000 / fps);
347 }
Файл "Billyard1version.html"
1 <!DOCTYPE html>
2 <html>
3 <head>
4 <title>Billyard</title>
5 <script src="Billyard1version.js"></script>
6 </head>
7 <body>
8 <canvas id="canvasBalls" width="300" height="600" style="border:1px none #000000;background: #008000"></canvas>
9 <br>
10 <div>Угол:
11 <input type="range" id="slider_01" style="width: 150px;" oninput="app.setSlider_01(this.value); document.getElementById('text_01').value = this.value;">
12 q =
13 <input id="text_01" style="width: 5ex;" required pattern="[-+]?([0-9]*\.[0-9]+|[0-9]+)" oninput="
14 // если введено не число - строка не пройдет валидацию по паттерну выше, и checkValidity() вернет false
15 if (!this.checkValidity()) return;
16 app.setSlider_01(this.value);
17 document.getElementById('slider_01').value = this.value;
18 ">
19 </div><br>
20
21 <div>Начальная скорость:
22 <input type="range" id="slider_02" style="width: 150px;" oninput="app.setSlider_02(this.value); document.getElementById('text_02').value = this.value;">
23 v0 =
24 <input id="text_02" style="width: 5ex;" required pattern="[-+]?([0-9]*\.[0-9]+|[0-9]+)" oninput="
25 // если введено не число - строка не пройдет валидацию по паттерну выше, и checkValidity() вернет false
26 if (!this.checkValidity()) return;
27 app.setSlider_02(this.value);
28 document.getElementById('slider_02').value = this.value;
29 ">
30 </div><br>
31
32
33 <input type="button" style="width: 50px" name="" onclick="app.newSystem();return false;" value="PLAY"/>
34 <input type="button" style="width: 50px" name="" onclick="app.newSystem1();return false;" value="AGAIN"/>
35
36 <script type="text/javascript">var app = new MainBalls(
37 document.getElementById('slider_01'),
38 document.getElementById('text_01'),
39 document.getElementById('slider_02'),
40 document.getElementById('text_02')
41 );</script>
42 </body>
43 </html>
В реальности данная картина так же видна, хоть и не столь явно из-за неидеальности системы .
Обсуждение результатов и выводы
В ходе работы над проектом была написана программа, моделирующая процесс игры в бильярд. Данная программа показывает ,что траектория разлета шаров после центрального удара не зависит от силы удара, но зависит от малейшего изменения угла (при силе, достаточной для визуально заметного разлета шаров, при изменении на 0.1 - заметное отклонение от траектории, при 0.01 - трудноразличимое , при дальнейшем уменьшении требуется большая сила удара для разлечения изменении траектории), так как меняется распространение ударной волны в пирамиде.
Ссылки по теме
- Математическая теория явлений бильярдной игры - Г. Кориолис.
- потенциала Леннарда-Джонса
- JavaScript
- Профессор Джим Белк (Jim Belk)
