|
|
| Строка 1: |
Строка 1: |
| − | == Введение ==
| |
| − | В рассматриваемой работе описывается компьютерная модель,
| |
| − | позволяющая рассчитывать поведение кристалла кремния, имеющего
| |
| − | атомную решетку структуры алмаза. Для построения модели
| |
| − | использовался описанный ниже метод молекулярной динамики.
| |
| − | Приведены результаты численных экспериментов: нагрев кристалла с
| |
| − | измерением кинетической и полной энергий, нагрев кристалла с
| |
| − | свободной поверхностью 1,0,0, поведение атома на поверхности
| |
| − | 1,1,1 и моделирование диффузии атомов на поверхности 1,1,1.
| |
| | | | |
| − | == Описание метода молекулярной динамики ==
| |
| − | В основе применения метода молекулярной динамики для численных
| |
| − | экспериментов лежит интегрирование уравнений движения частиц, –
| |
| − | атомов или молекул. При этом могут учитываться как потенциальные
| |
| − | силы, действующие между отдельными частицами, так и внешние
| |
| − | взаимодействия, например, для обеспечения нагрева и охлаждения
| |
| − | рассматриваемой среды.
| |
| − |
| |
| − | == Задание свойств атомов кремния ==
| |
| − | Силы взаимодействия между атомами кремния в кристалле весьма
| |
| − | сложны, что обусловлено структурой электронных оболочек атомов.
| |
| − | Поскольку полная энергия изолированной системы должна сохраняться,
| |
| − | силы взаимодействия носят потенциальный характер. Т.е. сила,
| |
| − | действующая на один атом, может быть представлена как градиент от
| |
| − | некоторого потенциала – функции, зависящей от относительного
| |
| − | положения частиц. Наиболее простая разновидность потенциала
| |
| − | взаимодействия предполагает разбиение его на сумму слагаемых,
| |
| − | каждое из которых зависит только от расстояния между какими-либо
| |
| − | двумя атомами. Такую структуру имеют потенциалы [[Потенциал Леннарда-Джонса|Леннарда-Джонса]],
| |
| − | [[Потенциал Ми|Ми]], [[Потенциал Морзе|Морзе]].
| |
| − | Для них сила взаимодействия между двумя атомами может
| |
| − | быть вычислена с помощью дифференцирования потенциала по
| |
| − | скалярному аргументу – расстоянию между этими двумя атомами.
| |
| − | Подобные потенциалы не могут описать поведение атомов в
| |
| − | рассматриваемом кристалле. В описываемой компьютерной модели
| |
| − | используется [[Потенциалы Терсоффа, Бреннера|эмпирический потенциал взаимодействия Терсофа]] для
| |
| − | атомов кремния <ref name="Tersoff1"/> <ref name="Tersoff2"/>. Потенциал Терсоффа относится
| |
| − | к [[Многочастичные силовые потенциалы взаимодействия | многочастичным потенциалам]]
| |
| − | <ref name="Erkoc"/>. Так же, как вышеупомянутые потенциалы, многочастичные
| |
| − | потенциалы представляются в виде суммы слагаемых по всем парам
| |
| − | частиц, но каждое слагаемое зависит и от положения других частиц.
| |
| − |
| |
| − | == Описание компьютерной модели ==
| |
| − | Компьютерный эксперимент производится посредством вычисления
| |
| − | радиус векторов и векторов скорости частиц в зависимости от
| |
| − | времени. Интегрирование ведется методом центральных разностей.
| |
| − | Метод состоит в том, что координаты и силы вычисляются во
| |
| − | временных точках, разделенных интервалами, равными шагу
| |
| − | интегрирования, а скорости вычисляются во временных точках,
| |
| − | находящихся в серединах вышеупомянутых интервалов:
| |
| − |
| |
| − | <math>
| |
| − | \underline{v} (t + \tau / 2) = \underline{v} (t - \tau / 2) + \underline{w} (t) \tau
| |
| − | </math>
| |
| − |
| |
| − | <math>
| |
| − | \underline{r} (t + \tau) = \underline{r} (t) + \underline{v} (t + \tau / 2) \tau
| |
| − | </math>
| |
| − |
| |
| − | где <math>\tau</math> – шаг интегрирования. Ускорение <math>\underline{w}(t)</math>
| |
| − | вычисляется через силу в тот же момент времени. В начальный
| |
| − | момент времени задается отсчетная конфигурация. Это может быть
| |
| − | кристалл, представляющий собой пластину с поверхностью 1,0,0 или
| |
| − | 1,1,1. Конфигурация представляет собой идеальную решетку структуры
| |
| − | алмаза. Межатомное расстояние вычисляется аналитически, с помощью
| |
| − | минимизации функции потенциальной энергии ([[Потенциалы Терсоффа, Бреннера|потенциал Терсоффа]]). Для идеальной
| |
| − | решетки все слагаемые <math>V_{ij}</math> равны между собой. Кроме того,
| |
| − | для всех углов <math>\theta_{ijk} \quad \cos \theta_{ijk} = 1/3</math>. Это позволяет
| |
| − | вычислить коэффициент <math>b_{ij}</math>, как
| |
| − | постоянную величину, после чего выражение для <math>V_{ij}</math> минимизируется по
| |
| − | скалярному аргументу <math>r_{ij}</math>. Скорости в начальный момент
| |
| − | времени задаются как случайные величины в некотором диапазоне.
| |
| − | Величина диапазона зависит от начальной температуры, которую мы
| |
| − | хотим сообщить кристаллу. Функция распределения по скоростям в
| |
| − | начальный момент времени особого значения не имеет, поскольку
| |
| − | через промежуток времени порядка нескольких минимальных периодов
| |
| − | колебаний решетки устанавливается максвелловское распределение
| |
| − | скоростей. Перед интегрированием задается область пространства
| |
| − | – бокс, имеющий форму параллелепипеда, в котором будет проводиться
| |
| − | интегрирование. Число частиц и координаты бокса остаются
| |
| − | неизменными. Основной цикл программы – цикл интегрирования по
| |
| − | времени. Внутри каждого цикла вызывается функция, осуществляющая
| |
| − | один шаг интегрирования по времени. Шаг интегрирования выбирается
| |
| − | экспериментально, из соображений устойчивости вычислительной
| |
| − | схемы. Необходимым условием является сохранение полной энергии при
| |
| − | отсутствии внешних сил. В проводимых экспериментах использовалась
| |
| − | величина шага интегрирования, равная <math>\tau = 0.025</math> в единицах измерения,
| |
| − | наиболее удобных для использования в вычислительной схеме. Так,
| |
| − | координаты измеряются в ангстремах, единица времени составляет
| |
| − |
| |
| − | <math>\mbox{\AA} \sqrt{\frac{m}{\mbox{eV}}} = 5.39523 \cdot 10^{-14}</math> с
| |
| − |
| |
| − | где <math>m = 28.0855 \cdot 1.66054 \cdot 10^{-27}</math> кг –
| |
| − | масса атома кремния, <math>\mbox{\AA} = 10^{-10}</math> м – ангстрем,
| |
| − | <math>\mbox{eV} = 1.60218 \cdot 10^{-19}</math> Дж – электрон-вольт.
| |
| − | Минимальный период колебаний решетки в этих единицах – величина
| |
| − | порядка единицы. Функции, осуществляющей один шаг интегрирования
| |
| − | по времени, передается массив частиц и бокс. Имеются две
| |
| − | разновидности функций, которые можно использовать. Они определяют
| |
| − | вид граничных условий: условие отражения атомов от стенок бокса и
| |
| − | периодические граничные условия по двум направлениям в
| |
| − | пространстве. В экспериментах с пластинами использовалось второе
| |
| − | граничное условие, чтобы пластина фактически не имела свободных
| |
| − | краев.
| |
| − |
| |
| − | Есть некоторая сложность, связанная с таким подходом. Дело в том,
| |
| − | что пространственный бокс имеет фиксированный размер. Это означает,
| |
| − | что при нагревании пластина переходит в напряженное состояние из-за
| |
| − | тепловых расширений. С другой стороны, такой подход позволяет задать
| |
| − | деформированную (растянутую) решетку в начальный момент времени.
| |
| − | Так как тепловые расширения малы, при нагревании напряжения в пластине
| |
| − | остаются напряжениями растягивающими. Эксперименты с атомами на поверхности
| |
| − | пластины показали, что деформации растяжения 3 процента практически
| |
| − | не влияют на поведение этих атомов.
| |
| − |
| |
| − | Функция, осуществляющая один шаг интегрирования по времени, имеет
| |
| − | следующую структуру. В начале пространственный бокс разбивается на
| |
| − | кубические области. Размер ребра куба не меньше радиуса обрезания
| |
| − | <math>R + D</math>, определенного потенциалом взаимодействия. Это означает,
| |
| − | что каждый атом внутри одного куба может взаимодействовать только
| |
| − | с атомами внутри этого куба и атомами соседних кубов. Далее все
| |
| − | атомы сортируются по вышеописанным кубическим ячейкам. Чтобы
| |
| − | обеспечить условие периодичности, к граням бокса, на которых
| |
| − | поставлено это условие, добавляется по одному слою кубических
| |
| − | ячеек. В эти ячейки помещаются копии атомов из слоя кубических
| |
| − | ячеек, примыкающих к противоположной грани бокса. Затем следует
| |
| − | основной цикл – перебор всех частиц, находящихся в боксе, в
| |
| − | котором осуществляется приращение скоростей частиц за один шаг
| |
| − | интегрирования под действием сил. Для каждой частицы <math>(i)</math> определяется
| |
| − | набор частиц <math>(j_{n})</math>, с которыми она взаимодействует, исходя из
| |
| − | пространственного разбиения и радиуса взаимодействия. Затем,
| |
| − | внутри этого цикла вызывается функция, осуществляющая приращения
| |
| − | скоростей частиц <math>(i)</math> и <math>(j_{n})</math>, обусловленные слагаемыми
| |
| − | потенциала <math>V_{ij_{n}}</math>. Последняя функция производит вычисления
| |
| − | характерные для потенциала Терсоффа. Представление энергии в виде
| |
| − | <math>E = \sum_i E_i = \frac{1}{2} \sum_{i, j (\neq i)} V_{ij},</math>
| |
| − | является общим для всех потенциалов, поэтому функция,
| |
| − | осуществляющая шаг интегрирования по времени фактически не
| |
| − | привязана к способу взаимодействия. На завершающем этапе
| |
| − | рассматриваемая функция вычисляет приращения координат.
| |
| − |
| |
| − | На этапе написания программа отлаживалась с использованием
| |
| − | [[Потенциал Морзе|потенциала Морзе]]. Потенциал Морзе не относится к многочастичным
| |
| − | потенциалам. Его вид отличается от выражения для <math>V_{ij_{n}}</math>
| |
| − | [[Потенциалы Терсоффа, Бреннера|потенциала Терсоффа]] тем, что
| |
| − | вместо коэффициента <math>b_{ij}</math>, вносящего многочастичность, используется
| |
| − | константа. Задаваемая равновесная конфигурация в виде решетки
| |
| − | структуры алмаза оказывалась неустойчивой, и атомы со временем
| |
| − | принимали структуру, близкую к плотноупакованной решетке.
| |
| − |
| |
| − | == Вычисление температуры ==
| |
| − | Количественное выражение для температуры в
| |
| − | экспериментах связано с представлениями об идеальном газе, в
| |
| − | котором потенциальные взаимодействия отсутствуют. Равновесие
| |
| − | рассматриваемой атомной системы с идеальным газом предполагает
| |
| − | выравнивание средних кинетических энергий, приходящихся на один
| |
| − | атом. Поэтому температура в рассматриваемой системе считается
| |
| − | связанной с кинетической энергией так же, как она связана в
| |
| − | одноатомном идеальном газе. Коэффициент пропорциональности равен
| |
| − | <math>2 / (3k)</math>, где <math>k</math> – постоянная Больцмана.
| |
| − |
| |
| − | При задании начальных скоростей атомам нельзя точно определить,
| |
| − | какая установится температура в кристалле после некоторого
| |
| − | промежутка времени, поскольку часть энергии перейдет в
| |
| − | потенциальную. Поэтому задается оценочная температура из
| |
| − | предположения, что в потенциальную энергию перейдет половина
| |
| − | энергии, сообщенной атомам, как в линейной системе. Затем, после
| |
| − | релаксации, измеряется установившаяся кинетическая энергия и,
| |
| − | соответственно, температура.
| |
| − |
| |
| − | == Нагрев кристалла ==
| |
| − | [[Файл:image091.png|thumb]]
| |
| − | На этапе отладки и тестирования программы, использующей
| |
| − | вышеописанный метод, проводились эксперименты, связанные в
| |
| − | основном с нагреванием и охлаждением кристаллической решетки.
| |
| − | Расчет проводился для пластины с поверхностью 1,1,1 толщиной 6
| |
| − | бислоев с периодическими граничными условиями на торцах. Подача
| |
| − | энергии в систему производилась равномерно по времени, т.е. полная
| |
| − | энергия системы линейно изменялась со временем. При этом
| |
| − | отслеживалось изменение температуры.
| |
| − |
| |
| − | Ниже приведены графики изменения кинетической (1) и полной (2)
| |
| − | энергии, значения на вертикальной шкале переведены в Кельвины.
| |
| − |
| |
| − | == Свободная поверхность 1,0,0 ==
| |
| − | [[Файл:image092.png|thumb|Рис.1. Вид кристалла Si. Идеальная решетка (перед нагреванием).]]
| |
| − | [[Файл:image094.png|thumb|Рис.2. Вид кристалла Si после нагревания.]]
| |
| − | Ниже приведены результаты компьютерного эксперимента по нагреванию
| |
| − | кремниевой пластины с поверхностью 1,0,0. Верхняя грань кристалла,
| |
| − | изображенная на рисунках, является свободной (как и нижняя, не
| |
| − | видная на рисунках). На боковых гранях поставлены граничные
| |
| − | условия периодичности. Пластина была подвергнута нагреванию,
| |
| − | выдержке и охлаждению в течение одинаковых интервалов времени,
| |
| − | равных 1000 единиц времени (см. "Описание компьютерной модели").
| |
| − | Нагревание проводилось с помощью сообщения случайных приращений
| |
| − | скоростей атомам на каждом шаге интегрирования, охлаждение – с
| |
| − | помощью введения диссипативных внешних сил, действующих на каждый
| |
| − | атом. На рисунках изображены состояния до и после нагревания до 350 К.
| |
| − |
| |
| − | На первом рисунке видны ряды атомов поверхности пластины,
| |
| − | соответствующие идеальной решетке. На втором рисунке можно
| |
| − | наблюдать результат образования димерных рядов, что
| |
| − | свидетельствует о неустойчивости идеальной поверхности в данной
| |
| − | модели. Таким образом, проведенные расчеты качественно описывают
| |
| − | поведение поверхности 1,0,0, наблюдаемое в реальных экспериментах.
| |
| − |
| |
| − | == Атом на поверхности 1,1,1 ==
| |
| − | Рассмотрим теперь результаты численного эксперимента с адатомом на
| |
| − | поверхности 1,1,1. Для уменьшения объема вычислений и для простоты
| |
| − | наблюдения за адатомом пространственный бокс взят меньшего
| |
| − | размера, чем в эксперименте с пластиной с поверхностью 1,0,0.
| |
| − | Граничные условия те же – периодичность по двум направлениям в
| |
| − | плоскости пластины (эти два направления и задают плоскость
| |
| − | пластины, поскольку размеры кристалла примерно одинаковы по всем
| |
| − | трем направлениям, как видно из рисунков). Свободные поверхности
| |
| − | на рисунках изображены сверху и снизу. Как видно, толщина пластины
| |
| − | – 5 бислоев.
| |
| − |
| |
| − | Атом помещается на некотором расстоянии от поверхности кристалла,
| |
| − | как показано на первом рисунке. В начальный момент времени
| |
| − | кристалл имеет температуру 0К. Атому сообщается скорость по
| |
| − | направлению к поверхности кристалла. Затем кристалл постепенно
| |
| − | нагревается. На рисунке 2 видно, что адатом задержался над атомом
| |
| − | поверхностного бислоя, заполняя объемную решетку следующего слоя
| |
| − | (т.е. в эпитаксиальном положении). При нагревании выше 150 К адатом
| |
| − | переходит в другое положение, в котором взаимодействует с тремя
| |
| − | атомами поверхностного бислоя. Положение адатома над поверхностью
| |
| − | существенно ниже, на рис. 3, 4 стрелки указывают на адатом.
| |
| − | [[Файл:image100.png|thumb]]
| |
| − |
| |
| − | == Диффузия атомов на поверхности 1,1,1 ==
| |
| − | Для описания свойств поверхностной диффузии атомов
| |
| − | была рассмотрена следующая задача. На поверхность 1,1,1
| |
| − | пластины кремния, имеющего кристаллическую решетку структуры
| |
| − | алмаза, через равномерные интервалы были помещены атомы.
| |
| − | Затем пластина поддерживалась в нагретом состоянии
| |
| − | при различных температурах в течение некоторого времени.
| |
| − | Нагрев производился сообщением
| |
| − | случайных начальных скоростей атомам, с заданным средним значением
| |
| − | кинетической энергии атомов. Наблюдались перемещения
| |
| − | адатомов (дополнительных атомов). На рисунках изображены положения
| |
| − | атомов в поверхностном слое в начальный и конечный моменты
| |
| − | времени, в одном из компьютерных экспериментов.
| |
| − | Синим цветом изображены адатомы, красным – атомы
| |
| − | поверхностного бислоя, половина из которых принадлежит
| |
| − | поверхностному монослою.
| |
| − |
| |
| − | [[Файл:vtsaplin_p1.png|thumb]]
| |
| − | [[Файл:vtsaplin_p2.png|thumb]]
| |
| − |
| |
| − | Приведенные рисунки относятся к задаче на 1 процессоре со 100
| |
| − | поверхностными атомами. Эксперимент проводился на 50 процессорах,
| |
| − | т.е. общее число адатомов – 5000.
| |
| − |
| |
| − | Ниже изображены распределения адатомов по их смещению
| |
| − | относительно начальных положений при температуре 944 К. Серии
| |
| − | 1, 2, 3 диаграммы соответствуют 300, 600 и 900 единицам времени.
| |
| − |
| |
| − | [[Файл:vtsaplin_file0.png]]
| |
| − |
| |
| − | Одна ячейка на диаграммах соответствует 1/10 межатомного
| |
| − | расстояния.
| |
| − |
| |
| − | Первый максимум на рисунках соответствует адатомам, не перешедшим
| |
| − | в другое положение, второй максимум – перешедшим. Поскольку в
| |
| − | начальный момент времени равновесные положения адатомов
| |
| − | задавались приближенно, исходя из предположения, что все связи
| |
| − | между атомами равны между собой, то первый максимум распределения
| |
| − | находится не в нуле. Все адатомы сместились вдоль оси,
| |
| − | перпендикулярной поверхности кристалла. На диаграммах видно, что
| |
| − | со временем количество смещенных частиц возрастает.
| |
| − |
| |
| − | Ниже изображены графики изменения относительного количества
| |
| − | смещенных адатомов <math>(n/N)</math> со временем при различных
| |
| − | температурах. Смещенными считаются адатомы, перешедшие минимум
| |
| − | распределения по смещению, который находится между первым и
| |
| − | вторым максимумами.
| |
| − |
| |
| − | [[Файл:vtsaplin_dif.png]]
| |
| − |
| |
| − | == Оценка частоты перехода адатомов в смежные равновесные положения ==
| |
| − | По значению количества смещенных адатомов определяется частота
| |
| − | перехода адатомов в смежные равновесные положения. Вероятность
| |
| − | перехода оценивается по следующей формуле:
| |
| − |
| |
| − | <math>P = 1 - \exp(- t / \langle t \rangle),</math>
| |
| − |
| |
| − | где <math>\langle t \rangle</math> – среднее время перехода.
| |
| − | Соответственно, среднее время перехода вычисляется по формуле:
| |
| − |
| |
| − | <math>\langle t \rangle = \frac{t}{|\log (1 - n / N)|},</math>
| |
| − |
| |
| − | где <math>t</math> – время эксперимента, <math>n</math> – число перешедших атомов, <math>N</math>
| |
| − | – полное число поверхностных атомов. Поскольку число перешедших
| |
| − | атомов мало по сравнению с полным, то приближенно можно написать:
| |
| − |
| |
| − | <math>\langle t \rangle = \frac{t}{(n / N)}</math>
| |
| − |
| |
| − | Или, для частоты перехода:
| |
| − |
| |
| − | <math>\omega = \frac{1}{\langle t \rangle} = \frac{(n / N)}{t}</math>
| |
| − |
| |
| − | Т.е., частота перехода характеризуется наклоном прямой
| |
| − | относительного количества смещенных адатомов со временем. Наклон
| |
| − | вычисляется по приведенным выше графикам. Причем первое значение
| |
| − | (при <math>t = 0</math>) отбрасывается, поскольку из-за начальных возмущений
| |
| − | наклон кривой вначале имеет большее значение, как видно на графиках.
| |
| − |
| |
| − | График изменения частоты перехода от температуры имеет вид:
| |
| − |
| |
| − | [[Файл:vtsaplin_Fraq.png]]
| |
| − |
| |
| − | Т.к. все характеристики процессов с температурной активацией
| |
| − | пропорциональны экспонентам типа <math>\exp(-E/kT)</math>, где <math>E</math> –
| |
| − | энергия активации процесса, <math>k</math> – постоянная Больцмана, <math>T</math> –
| |
| − | абсолютная температура, то построим эту характеристику в
| |
| − | аррениусовых координатах, т.е. зависимость логарифма частоты
| |
| − | перехода, или среднего времени перехода, от <math>(500/T)</math>. В таких
| |
| − | координатах должна получиться прямая, из наклона которой определим
| |
| − | энергию активации процесса.
| |
| − |
| |
| − | [[Файл:vtsaplin_Arren.png]]
| |
| − |
| |
| − | Поскольку в заданном диапазоне температур наклон кривой изменяется, вычислим два значения
| |
| − | энергии активации в двух диапазонах температур: больших и меньших 800 К. Энергия
| |
| − | активации при низкой температуре составила <math>E = 2.017 \cdot 10^{-19}</math> Дж <math> =
| |
| − | 1.259 \,\mbox{eV}</math>. Энергия активации при высокой температуре
| |
| − | составила <math>E = 1.775 \cdot 10^{-19} </math> Дж <math> = 1.108
| |
| − | \,\mbox{eV}</math>. Погрешность вычислений этих величин равна 2 и 6
| |
| − | процентов соответственно. Погрешность рассчитывается как
| |
| − | среднеквадратичное отклонение от теоретических зависимостей, параметры которых
| |
| − | вычисляются методом наименьших квадратов.
| |
| − |
| |
| − | == Оценка частоты перехода адатома в смежные равновесные положения при наличии смежного адатома ==
| |
| − | Определим частоту перехода адатомов на поверхности при наличии
| |
| − | адатома в смежном положении. Поместим на поверхность кремния пары
| |
| − | адатомов, после чего проведем тот же компьютерный эксперимент,
| |
| − | что и для одиночных атомов. Положение адатомов указаны на
| |
| − | рисунке. Полное число адатомов <math>N = 10000</math>.
| |
| − |
| |
| − | [[Файл:vtsaplin_p3.png|thumb]]
| |
| − |
| |
| − | Приведем графики изменения относительного количества
| |
| − | смещенных адатомов <math>(n/N)</math> со временем.
| |
| − |
| |
| − | [[Файл:vtsaplin_dif_2.png]]
| |
| − |
| |
| − | Графики изменения частоты перехода от температуры для одиночных
| |
| − | адатомов и пар адатомов имеют вид:
| |
| − |
| |
| − | [[Файл:vtsaplin_fraq2.png]]
| |
| − |
| |
| − | В аррениусовых координатах:
| |
| − |
| |
| − | [[Файл:vtsaplin_Arren2.png]]
| |
| − |
| |
| − | Энергии активации и погрешности для одиночных адатомов и пар
| |
| − | адатомов приведены в таблице.
| |
| − |
| |
| − | {| class="wikitable"
| |
| − | |
| |
| − | | 1 адатом
| |
| − | | 2 адатома
| |
| − | |-
| |
| − | | Энергия активации при T < 800 K, eV
| |
| − | | <math>1.259 \pm 2 \%</math>
| |
| − | | <math>1.093 \pm 3 \%</math>
| |
| − | |-
| |
| − | | Энергия активации при T > 800 K, eV
| |
| − | | <math>1.108 \pm 7 \%</math>
| |
| − | | <math>1.031 \pm 15 \%</math>
| |
| − | |}
| |
| − |
| |
| − | == Литература ==
| |
| − |
| |
| − | <references>
| |
| − |
| |
| − | <ref name="Tersoff1">J. Tersoff,
| |
| − | New Empirical Model for the Structural Properties of Silicon, Phys.
| |
| − | Rev. Lett., Vol. 56, Num. 6 (1986)</ref>
| |
| − |
| |
| − | <ref name="Tersoff2">J.Tersoff, New empirical approach for the structure and energy of covalent system
| |
| − | // Phys.Rev. B (1988) V. 37, No 12, P.6991–6999[[Медиа:tersoff-silicon(main).pdf | (2.50 Mb)]]</ref>
| |
| − |
| |
| − | <ref name="Erkoc">Sakir Erkoc, Empirical many-body potential energy functions used computer simulations
| |
| − | of condensed matter properties, Physics Reports 278 (1997), P. 79–105[[Медиа:Erkoc_1997.pdf | (937 Kb)]]</ref>
| |
| − |
| |
| − | </references>
| |
