Дзенушко Дайнис. Курсовой проект по теоретической механике — различия между версиями

Материал из Department of Theoretical and Applied Mechanics
Перейти к: навигация, поиск
(→‎Решение)
(→‎Решение)
Строка 31: Строка 31:
 
<math>T = T_1 + T_2</math> - Кинетическая энергия системы<br>
 
<math>T = T_1 + T_2</math> - Кинетическая энергия системы<br>
 
<math>T_1 = \frac{\underline{\omega}_1 \cdot \underline{\underline{\Theta}}_1 \cdot \underline{\omega}_1}{2} = \frac{\Theta_1 \omega_1^2}{2} = \frac{\Theta_1 \dot{\varphi}^2}{2}</math> - Кинетическая энергия первого стержня<br>
 
<math>T_1 = \frac{\underline{\omega}_1 \cdot \underline{\underline{\Theta}}_1 \cdot \underline{\omega}_1}{2} = \frac{\Theta_1 \omega_1^2}{2} = \frac{\Theta_1 \dot{\varphi}^2}{2}</math> - Кинетическая энергия первого стержня<br>
−
<math>\Pi_1 = m_1 g (\frac{a}{2} - \frac{a}{2} \cos \varphi )</math> - Потенциальная энергия первого стержня<br>
+
<math>\Pi_1 = m_1 g \left( \frac{a}{2} - \frac{a}{2} \cos \varphi \right)</math> - Потенциальная энергия первого стержня<br>
 
<math>T_2 = \frac{\underline{\omega}_2 \cdot \underline{\underline{\Theta}}_2 \cdot \underline{\omega}_2}{2}</math> - Кинетическая энергия второго стержня<br>
 
<math>T_2 = \frac{\underline{\omega}_2 \cdot \underline{\underline{\Theta}}_2 \cdot \underline{\omega}_2}{2}</math> - Кинетическая энергия второго стержня<br>
 
<math>\underline{\omega}_2 = ?</math><br>
 
<math>\underline{\omega}_2 = ?</math><br>
−
Для нахождения <math>\underline{\omega}_2</math> найдем тензоры поворота первого и второго стержней
+
Для нахождения <math>\underline{\omega}_2</math> найдем тензоры поворота первого и второго стержней<br>
 +
<math>\underline{\underline{P}}_1(\varphi,\underline{k}) = \underline{k}\underline{k} + (\underline{\underline{E}} - \underline{k}\underline{k})cos(\varphi) + \underline{e} \times \underline{\underline{E}}sin(\varphi)</math>
  
 
== Обсуждение результатов и выводы ==
 
== Обсуждение результатов и выводы ==

Версия 11:40, 25 мая 2012

Тема проекта

Описание колебаний двойного маятника

Постановка задачи

Стержень прикреплен к потолку посредством циллиндрического шарнира. Cнизу к этому стержню прикреплен второй также посредством циллиндрического шарнира таким образом что когда маятник вытянут вдоль вертикали, обе оси вращения шарниров расположены в горизонтальной плоскости а угол между ними составляет [math]\alpha[/math]. Диссипативные силы не учитываются.
Параметры системы:

  1. Тензоры инерции первого и второго стержней равны [math]\underline{\underline{\Theta}}_1[/math] и [math]\underline{\underline{\Theta}}_2[/math] соответственно.
  2. Длины стержней равны a и b, их массы [math]m_1[/math] и [math]m_2[/math] соответственно первому и второму стержням.
  3. Угол между осями вращения шарниров равен [math]\alpha[/math]
  • [math]\varphi[/math] - угол между первым стержнем и вертикалью
  • [math]\psi[/math] - угол между осью первого стержня и вторым стержнем т.е. угол во втором шарнире относительно вытянутого положения
  • 2 oscillator.jpg


Задача:

  • Найти уравнение движения системы

Решение

Определимся с подходом к решению: Задачу будем решать при помощи уравнения Лагранжа имеющего следующий вид:
[math]\frac{d}{dt}\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_i}-\frac{\partial T}{\partial q_i} = -\frac{\partial \Pi}{\partial q_i}+Q_i[/math]

  • [math]T[/math] - Кинетическая энергия системы
  • [math]\Pi[/math] - Потенциальная энергия системы
  • [math]q_i[/math] - Обобщенные координаты
  • [math]\dot{q}_i[/math] - Обобщенные скорости
  • [math]Q_i[/math] - Обобщенные непотенциальные силы


Выберем обобщенные координаты: в качестве обобщенных координат возьмем углы [math]\varphi[/math] и [math]\psi[/math]

  • В нашем случае отсутствуют обощенные силы, соответствующие непотенциальным взаимодействиям.

Найдем потенциальную и кинетическую энергии системы: [math]\Pi_1 , T_1 ; \Pi_2 , T_2 [/math] соответственно первого и второго стержней.
[math]\Pi = \Pi_1 + \Pi_2[/math] - Потенциальная энергия системы
[math]T = T_1 + T_2[/math] - Кинетическая энергия системы
[math]T_1 = \frac{\underline{\omega}_1 \cdot \underline{\underline{\Theta}}_1 \cdot \underline{\omega}_1}{2} = \frac{\Theta_1 \omega_1^2}{2} = \frac{\Theta_1 \dot{\varphi}^2}{2}[/math] - Кинетическая энергия первого стержня
[math]\Pi_1 = m_1 g \left( \frac{a}{2} - \frac{a}{2} \cos \varphi \right)[/math] - Потенциальная энергия первого стержня
[math]T_2 = \frac{\underline{\omega}_2 \cdot \underline{\underline{\Theta}}_2 \cdot \underline{\omega}_2}{2}[/math] - Кинетическая энергия второго стержня
[math]\underline{\omega}_2 = ?[/math]
Для нахождения [math]\underline{\omega}_2[/math] найдем тензоры поворота первого и второго стержней
[math]\underline{\underline{P}}_1(\varphi,\underline{k}) = \underline{k}\underline{k} + (\underline{\underline{E}} - \underline{k}\underline{k})cos(\varphi) + \underline{e} \times \underline{\underline{E}}sin(\varphi)[/math]

Обсуждение результатов и выводы

Ссылки по теме

См. также

Источник — «http://tm.spbstu.ru/?title=Дзенушко_Дайнис._Курсовой_проект_по_теоретической_механике&oldid=12106»