Дзенушко Дайнис. Курсовой проект по теоретической механике — различия между версиями

Материал из Department of Theoretical and Applied Mechanics
Перейти к: навигация, поиск
(→‎Решение)
(→‎Решение)
Строка 25: Строка 25:
 
*<math>Q_i</math> - Обобщенные непотенциальные силы<br>
 
*<math>Q_i</math> - Обобщенные непотенциальные силы<br>
 
<br>
 
<br>
−
'''Выберем обобщенные координаты:''' в качестве обобщенных координат возьмем углы <math>\phi</math> и <math>\psi</math> <br>
+
'''Выберем обобщенные координаты:''' в качестве обобщенных координат возьмем углы <math>\varphi</math> и <math>\psi</math> <br>
 
*В нашем случае отсутствуют обощенные силы, соответствующие непотенциальным взаимодействиям.<br>
 
*В нашем случае отсутствуют обощенные силы, соответствующие непотенциальным взаимодействиям.<br>
 
'''Найдем потенциальную и кинетическую энергии системы:''' <math>\Pi_1 , T_1 ; \Pi_2 , T_2 </math> соответственно первого и второго стержней.<br> <math>\Pi = \Pi_1 + \Pi_2</math> - Потенциальная энергия системы<br>
 
'''Найдем потенциальную и кинетическую энергии системы:''' <math>\Pi_1 , T_1 ; \Pi_2 , T_2 </math> соответственно первого и второго стержней.<br> <math>\Pi = \Pi_1 + \Pi_2</math> - Потенциальная энергия системы<br>
 
<math>T = T_1 + T_2</math> - Кинетическая энергия системы<br>
 
<math>T = T_1 + T_2</math> - Кинетическая энергия системы<br>
 +
<math>T_1 = \frac{\underline{\omega}_1 \cdot \underline{\underline{\Theta}}_1 \cdot \underline{\omega}_1}{2} = \frac{\Theta_1 \omega_1^2}{2} = \frac{\Theta_1 \dot{\varphi}^2}{2}</math>
  
 
== Обсуждение результатов и выводы ==
 
== Обсуждение результатов и выводы ==

Версия 15:15, 20 мая 2012

Тема проекта

Описание движения двойного маятника

Постановка задачи

Стержень прикреплен к потолку посредством циллиндрического шарнира. Cнизу к этому стержню прикреплен второй также посредством циллиндрического шарнира таким образом что когда маятник вытянут вдоль вертикали, обе оси вращения шарниров расположены в горизонтальной плоскости а угол между ними составляет [math]\alpha[/math]. Диссипативные силы не учитываются.
Параметры системы:

  1. Тензоры инерции первого и второго стержней равны [math]\underline{\underline{\Theta}}_1[/math] и [math]\underline{\underline{\Theta}}_2[/math] соответственно.
  2. Длины стержней равны a и b, их массы [math]m_1[/math] и [math]m_2[/math] соответственно первому и второму стержням.
  3. Угол между осями вращения шарниров равен [math]\alpha[/math]
  • [math]\phi[/math] - угол между первым стержнем и вертикалью
  • [math]\psi[/math] - угол между осью первого стержня и вторым стержнем т.е. угол во втором шарнире относительно вытянутого положения
  • 2 oscillator.jpg


Задача:

  • Найти уравнение движения системы

Решение

Определимся с подходом к решению: Задачу будем решать при помощи уравнения Лагранжа имеющего следующий вид:
[math]\frac{d}{dt}\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_i}-\frac{\partial T}{\partial q_i} = -\frac{\partial \Pi}{\partial q_i}+Q_i[/math]

  • [math]T[/math] - Кинетическая энергия системы
  • [math]\Pi[/math] - Потенциальная энергия системы
  • [math]q_i[/math] - Обобщенные координаты
  • [math]\dot{q}_i[/math] - Обобщенные скорости
  • [math]Q_i[/math] - Обобщенные непотенциальные силы


Выберем обобщенные координаты: в качестве обобщенных координат возьмем углы [math]\varphi[/math] и [math]\psi[/math]

  • В нашем случае отсутствуют обощенные силы, соответствующие непотенциальным взаимодействиям.

Найдем потенциальную и кинетическую энергии системы: [math]\Pi_1 , T_1 ; \Pi_2 , T_2 [/math] соответственно первого и второго стержней.
[math]\Pi = \Pi_1 + \Pi_2[/math] - Потенциальная энергия системы
[math]T = T_1 + T_2[/math] - Кинетическая энергия системы
[math]T_1 = \frac{\underline{\omega}_1 \cdot \underline{\underline{\Theta}}_1 \cdot \underline{\omega}_1}{2} = \frac{\Theta_1 \omega_1^2}{2} = \frac{\Theta_1 \dot{\varphi}^2}{2}[/math]

Обсуждение результатов и выводы

Ссылки по теме

См. также

Источник — «http://tm.spbstu.ru/?title=Дзенушко_Дайнис._Курсовой_проект_по_теоретической_механике&oldid=11905»