Моделирование удара хлыста — различия между версиями

Материал из Department of Theoretical and Applied Mechanics
Перейти к: навигация, поиск
(Математическая модель)
(Математическая модель)
Строка 30: Строка 30:
 
<math>
 
<math>
 
   m\underline{\ddot{r}}_i(t)=\underline{F}_{i-1}(t)+\underline{F}_{i+1}+m_ig\underline{j}, \\
 
   m\underline{\ddot{r}}_i(t)=\underline{F}_{i-1}(t)+\underline{F}_{i+1}+m_ig\underline{j}, \\
</math> где <math>  \underline{F}_{i-1}, \underline{F}_{i+1}\\ </math> - силы упругости действующие на <math>i</math>-ую частицу со стороны <math>i-1</math> и <math>i+1</math> соответственно; <math>  m_ig\underline{j}\\ </math> - сила тяжести, действующая на <math>i</math>-ую частицу;
+
</math> где <math>  \underline{F}_{i-1}, \underline{F}_{i+1}\\  
 +
 
 +
</math> - силы упругости действующие на <math>i</math>-ую частицу со стороны <math>i-1</math> и <math>i+1</math> соответственно; <math>  m_ig\underline{j}\\ </math> - сила тяжести, действующая на <math>i</math>-ую частицу;
  
 
Чтобы узнать, как материальные точки взаимодействуют друг с другом, найдем значения сил упругостей пружин:
 
Чтобы узнать, как материальные точки взаимодействуют друг с другом, найдем значения сил упругостей пружин:
Строка 38: Строка 40:
 
<math>
 
<math>
 
   \underline{F}_{R}= -(||\underline{r}_ {i+1}-\underline{r}_{i}|| - \frac{l}{n})k \frac{(\underline{r}_{i+1}-\underline{r}_{i})}{||\underline{r}_{i+1}-\underline{r}_{i}||}
 
   \underline{F}_{R}= -(||\underline{r}_ {i+1}-\underline{r}_{i}|| - \frac{l}{n})k \frac{(\underline{r}_{i+1}-\underline{r}_{i})}{||\underline{r}_{i+1}-\underline{r}_{i}||}
 +
 
</math>,  где <math>k</math> - коэффициент жесткости пружины.
 
</math>,  где <math>k</math> - коэффициент жесткости пружины.
  
Строка 44: Строка 47:
 
<math>
 
<math>
 
\widetilde{x}_i = \frac{x_i}{l}; \widetilde{y}_i = \frac{y_i}{l}; \widetilde{t}_i = \frac{t_i}{\tau}; \widetilde{\upsilon}_i = \frac{d\widetilde{x}_i}{d\widetilde{t}_i} = \frac{dx_i}{dt_i} \frac{l}{\tau};\widetilde{u}_i = \frac{d\widetilde{y}_i}{d\widetilde{t}_i} = \frac{dy_i}{dt_i} \frac{l}{\tau};
 
\widetilde{x}_i = \frac{x_i}{l}; \widetilde{y}_i = \frac{y_i}{l}; \widetilde{t}_i = \frac{t_i}{\tau}; \widetilde{\upsilon}_i = \frac{d\widetilde{x}_i}{d\widetilde{t}_i} = \frac{dx_i}{dt_i} \frac{l}{\tau};\widetilde{u}_i = \frac{d\widetilde{y}_i}{d\widetilde{t}_i} = \frac{dy_i}{dt_i} \frac{l}{\tau};
 +
 
</math>
 
</math>
  

Версия 20:46, 14 января 2024

Курсовой проект по Механике дискретных сред

Исполнитель: Еремеева Наталья

Группа: 5030103/00101

Семестр: осень 2023


Постановка задачи

Необходимо смоделировать удар, закрепленного с левой стороны, гибкого хлыста в двумерной постановке. Хлыст состоит из n частиц и n-1 соединенных пружин, имеющих одинаковую жесткость.

Математическая модель

Начальные условия: [math] \underline{r}_i(0)=\underline{r}_i^0,~\underline{v}_i(0)=v_i^0~~~i=1,\ldots,n [/math]

Для двумерной задачи будем использовать декартову систему координат, тогда:: [math] \underline{r} = x\underline{i} + y\underline{j} \\ \underline{\dot{r}} = \upsilon\underline{i} + u\underline{j} \\ [/math]

Запишем уравнение движения для каждой из материальных точек:

[math] m\underline{\ddot{r}}_i(t)=\underline{F}_{i-1}(t)+\underline{F}_{i+1}+m_ig\underline{j}, \\ [/math] где [math] \underline{F}_{i-1}, \underline{F}_{i+1}\\ [/math] - силы упругости действующие на [math]i[/math]-ую частицу со стороны [math]i-1[/math] и [math]i+1[/math] соответственно; [math] m_ig\underline{j}\\ [/math] - сила тяжести, действующая на [math]i[/math]-ую частицу;

Чтобы узнать, как материальные точки взаимодействуют друг с другом, найдем значения сил упругостей пружин:

Сила упругости для пружины, соединяющей [math]i[/math]-ую и [math](i+1)[/math]-ую частицы:

[math] \underline{F}_{R}= -(||\underline{r}_ {i+1}-\underline{r}_{i}|| - \frac{l}{n})k \frac{(\underline{r}_{i+1}-\underline{r}_{i})}{||\underline{r}_{i+1}-\underline{r}_{i}||} [/math], где [math]k[/math] - коэффициент жесткости пружины.


Обезразмеривание: [math] \widetilde{x}_i = \frac{x_i}{l}; \widetilde{y}_i = \frac{y_i}{l}; \widetilde{t}_i = \frac{t_i}{\tau}; \widetilde{\upsilon}_i = \frac{d\widetilde{x}_i}{d\widetilde{t}_i} = \frac{dx_i}{dt_i} \frac{l}{\tau};\widetilde{u}_i = \frac{d\widetilde{y}_i}{d\widetilde{t}_i} = \frac{dy_i}{dt_i} \frac{l}{\tau}; [/math]

Полученные уравнения движения будем интегрировать согласно методу Верле.

Результаты моделирования

Результаты моделирования и исходный код можно посмотреть на GitHub: https://github.com/NikishinAndrey/flexible_whip_movement/tree/main