Переход к тепловому равновесию в гармонической ГЦК решетке — различия между версиями
(→Вывод уравнений) |
(→Вывод уравнений) |
||
| Строка 20: | Строка 20: | ||
===Вывод уравнений=== | ===Вывод уравнений=== | ||
| − | Рассмотрим кристаллическую ГЦК решетку, состоящую из одинаковых частиц массой <math> m </math>, соединенных линейными пружинками жесткостью <math> c </math>. Уравнения движения частицы с радиус-вектором <math> \textbf{r} </math> имеют следующий вид: <br /> <math> \ddot{\textbf{u}}(\textbf{r}) = \sum_\alpha \textbf{C}_\alpha \textbf{u}(\textbf{r}+\textbf{ | + | Рассмотрим кристаллическую ГЦК решетку, состоящую из одинаковых частиц массой <math> m </math>, соединенных линейными пружинками жесткостью <math> c </math>. Уравнения движения частицы с радиус-вектором <math> \textbf{r} </math> имеют следующий вид: <br /> <math> \ddot{\textbf{u}}(\textbf{r}) = \sum_\alpha \textbf{C}_\alpha \textbf{u}(\textbf{r}+\textbf{a}_\alpha)</math>, <br /> |
| − | где <math> \textbf{u}(\textbf{r}) = (u_x, u_y, u_z)^\top </math> - вектор-столбец, состоящий из компонент вектора перемещения частицы с радиус-вектором <math> \textbf{r} </math>, <math> \textbf{C}_\alpha </math> - матрицы, коэффициенты которых определяют вклад частицы номер <math> \alpha </math> в суммарную силу, действующую на частицу с радиус-вектором <math> \textbf{r} </math>. <br /> | + | где <math> \textbf{u}(\textbf{r}) = (u_x, u_y, u_z)^\top </math> - вектор-столбец, состоящий из компонент вектора перемещения частицы с радиус-вектором <math> \textbf{r} </math>, <math> \textbf{a}_\alpha </math> - векторы, соединяющие частицу с радиус-вектором <math> \textbf{r} </math> с ближайшими соседями. <math> \textbf{C}_\alpha </math> - матрицы, коэффициенты которых определяют вклад частицы номер <math> \alpha </math> в суммарную силу, действующую на частицу с радиус-вектором <math> \textbf{r} </math>. <math> \alpha = \pm 1...\pm 6 </math>, <math> \textbf{C}_\alpha = \frac{c}{2}\textbf{n}_\alpha \textbf{n}_\alpha</math>. <br /> |
| + | Векторы <math> \textbf{n}_\alpha = \frac{\textbf{a}_\alpha}{|\textbf{a}_\alpha|}</math> в ГЦК решетке имеют следующий вид: <br /> | ||
| + | <math> \textbf{n}_{\pm1}=\pm\frac{(\textbf{e}_x+\textbf{e}_y)}{\sqrt{2}}, \textbf{n}_{\pm4} = \pm(\textbf{n}_3-\textbf{n}_2) </math><br /> | ||
| + | <math> \textbf{n}_{\pm2}=\pm\frac{(\textbf{e}_y+\textbf{e}_z)}{\sqrt{2}}, \textbf{n}_{\pm5} = \pm(\textbf{n}_1-\textbf{n}_3) </math><br /> | ||
| + | <math> \textbf{n}_{\pm3}=\pm\frac{(\textbf{e}_x+\textbf{e}_z)}{\sqrt{2}}, \textbf{n}_{\pm6} = \pm(\textbf{n}_1-\textbf{n}_2) </math>, <br /> | ||
| + | где <math> \textbf{e}_x, \textbf{e}_y, \textbf{e}_z </math> - орты декартового базиса, направленные вдоль осей кубической симметрии. <br/> | ||
Сделаем следующую подстановку в уравнение движения для получения дисперсионного соотношения <math> \omega </math>: <br /> | Сделаем следующую подстановку в уравнение движения для получения дисперсионного соотношения <math> \omega </math>: <br /> | ||
<math> \textbf{u}(\textbf{r}) = e^{i(\omega t + \textbf{k} \cdot \textbf{r})} </math>, | <math> \textbf{u}(\textbf{r}) = e^{i(\omega t + \textbf{k} \cdot \textbf{r})} </math>, | ||
<br /> | <br /> | ||
| − | где <math> \textbf{k} </math> - волновой вектор, и получим | + | где <math> \textbf{k} </math> - волновой вектор, и получим следующее уравнение: <br /> |
| − | <math> \textbf{D} = -\frac{1}{m} \sum_\alpha \textbf{C}_\alpha e^{\textbf{k} \cdot \textbf{a}_\alpha}. | + | <math> (\textbf{D}-\omega^2 \textbf{E})=0, \textbf{D} = -\frac{1}{m} \sum_\alpha \textbf{C}_\alpha e^{\textbf{k} \cdot \textbf{a}_\alpha} </math>. <br/> |
| − | <math> T = \frac{T_0}{2} + B_1 + B_2 + B_3, \quad B_j = \int_\textbf{k} (\textrm{cos} (2\omega_j t)) \textrm{d} \textbf{k} </math> | + | <math> \omega^2_j </math> - собственные числа динамической матрицы <math> \textbf{D} </math>. <br/> Формула для для кинетической температуры <math> T </math>: <br/> |
| + | <math> T = \frac{T_0}{2} + B_1 + B_2 + B_3, \quad B_j = \int_\textbf{k} (\textrm{cos} (2\omega_j t)) \textrm{d} \textbf{k} </math>, <br /> | ||
| + | где <math> T_0 </math> - начальное значение кинетической температуры. | ||
===Результаты=== | ===Результаты=== | ||
Версия 16:01, 24 января 2019
Курсовой проект по Механике дискретных сред
Исполнитель: Ляжков Сергей
Группа: 43604/1
Семестр: осень 2018
Содержание
Постановка задачи
Рассмотреть поведение кинетической температуры при переходе к тепловому равновесию в бесконечной гармонической гранецентрированной кубической (ГЦК) решетке при следующих начальных условиях:
- Частицы имеют нулевые перемещения.
- Частицы имеют случайные скорости.
- Распределение температуры - однородное.
- Кинетические температуры, соответствующие различным пространственным направлениям, не равны.
Вывод уравнений
Рассмотрим кристаллическую ГЦК решетку, состоящую из одинаковых частиц массой , соединенных линейными пружинками жесткостью . Уравнения движения частицы с радиус-вектором имеют следующий вид:
,
где - вектор-столбец, состоящий из компонент вектора перемещения частицы с радиус-вектором , - векторы, соединяющие частицу с радиус-вектором с ближайшими соседями. - матрицы, коэффициенты которых определяют вклад частицы номер в суммарную силу, действующую на частицу с радиус-вектором . , .
Векторы в ГЦК решетке имеют следующий вид:
,
где - орты декартового базиса, направленные вдоль осей кубической симметрии.
Сделаем следующую подстановку в уравнение движения для получения дисперсионного соотношения :
,
где - волновой вектор, и получим следующее уравнение:
.
- собственные числа динамической матрицы .
Формула для для кинетической температуры :
,
где - начальное значение кинетической температуры.
Результаты
Вклады веток дисперсионного соотношения в колебания температуры:
Колебания кинетической температуры, связанные с выравниванием кинетической и потенциальной энергий:
Перераспределение кинетической температуры по пространственным направлениям:
Линии - аналитическое решения по формулам, представленным в нижеприведенной статье, точки - численное решение уравнения динамики решетки.
Текст статьи
Переход к тепловому равновесию в гармонической гранецентрированной кубической решетке
Неделя науки 2018
Данный проект был представлен на конференции "Неделя науки 2018".
