Мещерский 48.25 — различия между версиями
Материал из Department of Theoretical and Applied Mechanics
(→Решение задачи) |
|||
Строка 5: | Строка 5: | ||
==Решение задачи== | ==Решение задачи== | ||
+ | Для решения задачи будем использовать динамическое уравнение эйлера | ||
+ | : | ||
+ | <math>\A*dot w_A + \C-B\w_B*w_C = M_A</math>, где | ||
+ | <math>A,B,C</math> - главные моменты инерции относительно осей <math>O_1O_2</math> и <math>O_3G</math> | ||
+ | <math>w_A</math>, <math>w_B</math> и <math>w_C</math> - угловые скорости вращения относительно осей с моментами инерции A, В и С соответственно | ||
+ | <math>М_А</math> - момент сил относительно оси с моментом инерции А | ||
+ | |||
+ | Можно заметить, что <math>dot w_A</math> - это вторая производная угла <math>ϑ</math>, т. е. угла отклонения от горизонтальной части рамки. | ||
+ | |||
+ | Рамка вращается с угловой скоростью <math>w</math>. Эту скорость можно разложить по составляющим <math>w*Cosϑ</math> и <math>w*Sinϑ</math> - угловым скоростям вращения относительно осей с моментами инерции В и С. | ||
+ | |||
+ | Момент сил относительно оси с моментом инерции А - момент силы тяжести, он равен | ||
+ | : | ||
+ | <math>М_А = -m*g*l*Sinϑ</math> | ||
+ | |||
+ | Таким образом, получаем уравнение движения тела | ||
+ | : | ||
+ | <math>\A*ddot ϑ + \C-B\w*w*Sinϑ*Cosϑ = -m*g*l*Sinϑ</math>, где | ||
+ | |||
+ | <math>ϑ</math> - угол отклонения от горизонтальной части рамки | ||
==Визуализация задачи== | ==Визуализация задачи== | ||
{{#widget:Iframe |url=http://tm.spbstu.ru/htmlets/Vilchevskaya%20AE/zadacha_is_Mescherskii.html |width=850 |height=400 |border=0 }} | {{#widget:Iframe |url=http://tm.spbstu.ru/htmlets/Vilchevskaya%20AE/zadacha_is_Mescherskii.html |width=850 |height=400 |border=0 }} |
Версия 20:04, 24 декабря 2017
Условие задачи
Тело массы m может вращаться вокруг горизонтальной оси O1O2, которая в свою очередь вращается с постоянной угловой скоростью w вокруг вертикальной оси ОС. Центр масс тела G лежит на расстоянии l от точки O3 на прямой, перпендикулярной О1О2. Предполагая, что оси О1О2 и О3G являются главными осями инерции тела в точке О3, составить уравнение движения. Моменты инерции тела относительно главных осей равны А, В, С.
Решение задачи
Для решения задачи будем использовать динамическое уравнение эйлера
, где - главные моменты инерции относительно осей и , и - угловые скорости вращения относительно осей с моментами инерции A, В и С соответственно - момент сил относительно оси с моментом инерции А
Можно заметить, что
- это вторая производная угла , т. е. угла отклонения от горизонтальной части рамки.Рамка вращается с угловой скоростью
. Эту скорость можно разложить по составляющим и - угловым скоростям вращения относительно осей с моментами инерции В и С.Момент сил относительно оси с моментом инерции А - момент силы тяжести, он равен
Таким образом, получаем уравнение движения тела
, где
- угол отклонения от горизонтальной части рамки
Визуализация задачи