Мещерский 48.15 — различия между версиями
Материал из Department of Theoretical and Applied Mechanics
(→Решение частного случая) |
(→Решение частного случая) |
||
| Строка 21: | Строка 21: | ||
Кинетическая энергия маятника <math>T = \frac{m{V}^2}{2}</math> , где <math>\overline{V} = \overline{V_e} + \overline{V_r}</math>. Здесь <math>V_e = \dot{ξ}, V_r = \dot{φ}l</math>. Тогда квадрат скорости равен <math>{V}^2 = \dot{ξ}^2 + l^2\dot{φ}^2 + 2 l \dot{φ} \dot{ξ} cos(φ-α)</math> и кинетическая энергия равна соответственно <math>T = \frac{m}{2}(\dot{ξ}^2 + l^2\dot{φ}^2 + 2 l \dot{φ} \dot{ξ} cos(φ-α))</math> | Кинетическая энергия маятника <math>T = \frac{m{V}^2}{2}</math> , где <math>\overline{V} = \overline{V_e} + \overline{V_r}</math>. Здесь <math>V_e = \dot{ξ}, V_r = \dot{φ}l</math>. Тогда квадрат скорости равен <math>{V}^2 = \dot{ξ}^2 + l^2\dot{φ}^2 + 2 l \dot{φ} \dot{ξ} cos(φ-α)</math> и кинетическая энергия равна соответственно <math>T = \frac{m}{2}(\dot{ξ}^2 + l^2\dot{φ}^2 + 2 l \dot{φ} \dot{ξ} cos(φ-α))</math> | ||
Потенциальная энергия будет равна <math>U = -m g l (1-cosφ)</math> | Потенциальная энергия будет равна <math>U = -m g l (1-cosφ)</math> | ||
| + | |||
Уравнение Лагранжа для системы с одной степенью свободы имеет вид: | Уравнение Лагранжа для системы с одной степенью свободы имеет вид: | ||
<math>\frac{d}{dt}(\frac{dT}{d\dot{φ}}) - \frac{dT}{d{φ}}= | <math>\frac{d}{dt}(\frac{dT}{d\dot{φ}}) - \frac{dT}{d{φ}}= | ||
Q</math> | Q</math> | ||
| + | |||
;Вычисляем производные, входящие в это уравнение: | ;Вычисляем производные, входящие в это уравнение: | ||
:<math>\frac{dT}{d\dot{φ}} = \frac{m}{2}(2 l^2 \dot{φ} + 2 l \dot{ξ} cos(φ-α))</math> | :<math>\frac{dT}{d\dot{φ}} = \frac{m}{2}(2 l^2 \dot{φ} + 2 l \dot{ξ} cos(φ-α))</math> | ||
| Строка 32: | Строка 34: | ||
<math>m(l^2 {φ̈} + l {ξ̈} cos(φ-α)) = -m g l sinφ</math> , поделим обе части уравнения на <math>l^2</math> и получим | <math>m(l^2 {φ̈} + l {ξ̈} cos(φ-α)) = -m g l sinφ</math> , поделим обе части уравнения на <math>l^2</math> и получим | ||
| − | <math>{φ̈} + \frac{{ξ̈}}{l} cos(φ-α)) + \frac{g}{l} sinφ = 0</math> | + | |
| + | {{center| <math>{φ̈} + \frac{{ξ̈}}{l} cos(φ-α)) + \frac{g}{l} sinφ = 0</math>}} | ||
Версия 11:29, 22 декабря 2017
Задача: С помощью языка программирования JavaScript смоделировать колебания маятника, точка подвеса которого движется по заданному закону.
Решение
Возможности программы
- изменение угла наклона прямой
Решение частного случая
Условия задачи:
Точка подвеса маятника, состоящего из материальной точки массы на нерастяжимой нити длины , движется по заданному закону по наклонной прямой, образующей угол с горизонтом. Составить уравнение движения маятника.
Решение:
Кинетическая энергия маятника , где . Здесь . Тогда квадрат скорости равен и кинетическая энергия равна соответственно Потенциальная энергия будет равна
Уравнение Лагранжа для системы с одной степенью свободы имеет вид:
- Вычисляем производные, входящие в это уравнение
Подставим полученные производные в уравнение Лагранжа: , поделим обе части уравнения на и получим
