Исследование колебаний математического маятника переменной длины — различия между версиями

Версия 14:25, 31 мая 2017

Цель

Целью нашей работы является исследование колебания маятника, длина которого меняется по гармоническому закону.

Задачи

• Построить графики колебаний, используя численные методы;
• Построить фазовые портеры;
• Исследовать влияние параметров в уравнении колебаний на вид колебаний и фазовых портретов;
• Сравнить решение исходного и линеаризованного уравнения.
• Визуализировать модель маятника при помощи языка программирования JavaScript

Вывод формул

Выясним, каким будет уравнение колебаний нашего маятника. Для этого найдем кинетическую и потенциальную энергию маятника:
и запишем уравнение Лагранжа второго рода:
, где

Для исследования поведения нашего маятника рассмотрим несколько случаев. Для начала рассмотрим случай пренебрежения изменения длины маятника, учитывая, что начальный угол отклонения много меньше 1 радиана.
Разложим синус в ряд Тейлора:
Ограничиваясь первым членом в разложении, получим:
Учитывая малость параметра b, заменим выражение эквивалентным:
Cведем наше уравнение к уравнению Матье: ,где

Зоны устойчивости и неустойчивости уравнения Матье представлены на диаграмме Айнса-Стретта:

Усложним задачу и учтём изменение длины маятника. Рассмотрим три варианта:
В первом приближении:

С учётом третьего порядка приближения в разложении синуса :

И исходное уравнение:

При исследовании поведения системы мы построили график зависимости скорости затухания (раскачивания) от параметров b и p. При фиксированном значении параметра b и переменном значении параметра р мы считали декремент затухания:

Из этого графика видно, что при малых значениях параметра b для p на промежутке от 1,5 до 3 декремент отрицателен. Это означает, что колебания неустойчивы и происходит раскачивание системы. При больших b видно, что с увеличением p скорость затухания увеличивается, и при фиксированном p с увеличением b скорость затухания тоже увеличивается.

Визуализация

Выводы

В ходе исследований колебаний математического маятника переменной длины мы рассмотрели графики колебаний и фазовые портреты. Выяснили, что при фиксировании параметра b с увеличением частоты колебания затухают быстрее, аналогичная зависимость наблюдается при фиксировании частоты и увеличении параметра b. Однако есть области раскачки колебаний. Пренебрегая изменением длины, колебания схожи с классическим маятником для устойчивого случая. Но учитывая изменение длины и беря больше членов в разложении синуса, график заметно изменяется.

Список литературы

1. http://trudymai.ru/upload/iblock/459/issledovanie-rezonansnykh-kolebaniy-matematicheskogo-mayatnika-peremennoy-dliny.pdf
2. http://cyberleninka.ru/article/n/upravlenie-dvizheniyami-parametricheskogo-mayatnika

Курсовой проект

Скачать

Участники проекта

• Белоусова Екатерина

• Андреева Полина

См. также

Кафедра "Теоретическая механика"