Модифицированная функция Бесселя — различия между версиями
Материал из Department of Theoretical and Applied Mechanics
| Строка 1: | Строка 1: | ||
| + | ==Введение== | ||
Модифицированные функции Бесселя — это функции Бесселя от чисто мнимого аргумента. | Модифицированные функции Бесселя — это функции Бесселя от чисто мнимого аргумента. | ||
| Строка 7: | Строка 8: | ||
<math>{\displaystyle z^{2}{\frac {d^{2}\omega }{dz^{2}}}+z{\frac {d\omega }{dz}}-(z^{2}+\nu ^{2})\omega =0,\qquad (1)}</math> | <math>{\displaystyle z^{2}{\frac {d^{2}\omega }{dz^{2}}}+z{\frac {d\omega }{dz}}-(z^{2}+\nu ^{2})\omega =0,\qquad (1)}</math> | ||
| + | |||
Это уравнение называется модифицированным уравнением Бесселя. | Это уравнение называется модифицированным уравнением Бесселя. | ||
| − | Если <math>{\displaystyle ~\nu } </math> не является целым числом, то функции Бесселя <math>{\displaystyle ~J_{\nu }(iz)}</math> и <math>{\displaystyle ~J_{-\nu }(iz)} </math> являются двумя линейно независимыми решениями уравнения<math> {\displaystyle ~(1)}</math> . Однако чаще используют функции | + | Если <math>{\displaystyle ~\nu } </math> не является целым числом, то функции Бесселя <math>{\displaystyle ~J_{\nu }(iz)}</math> и <math>{\displaystyle ~J_{-\nu }(iz)} </math> являются двумя линейно независимыми решениями уравнения<math> {\displaystyle ~(1)}</math> . |
| + | Однако чаще используют функции | ||
<math>{\displaystyle I_{\nu }(z)=e^{-{\frac {i\nu \pi }{2}}}J_{\nu }\left(ze^{\frac {i\pi }{2}}\right)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\left({\dfrac {z}{2}}\right)^{2k+\nu }}{k!\Gamma (k+\nu +1)}}}</math> и <math>{\displaystyle ~I_{-\nu }(z).}</math> | <math>{\displaystyle I_{\nu }(z)=e^{-{\frac {i\nu \pi }{2}}}J_{\nu }\left(ze^{\frac {i\pi }{2}}\right)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\left({\dfrac {z}{2}}\right)^{2k+\nu }}{k!\Gamma (k+\nu +1)}}}</math> и <math>{\displaystyle ~I_{-\nu }(z).}</math> | ||
| − | Их называют модифицированными функциями Бесселя первого рода или функциями Инфельда . Если<math> {\displaystyle ~\nu } </math> — вещественное число, а <math>{\displaystyle ~z} </math> — положительно эти функции принимают вещественные значения. | + | Их называют модифицированными функциями Бесселя первого рода или функциями Инфельда . |
| + | Если<math> {\displaystyle ~\nu } </math> — вещественное число, а <math>{\displaystyle ~z} </math> — положительно эти функции принимают вещественные значения. | ||
| + | ==Реализация== | ||
{{#widget:Iframe |url=http://tm.spbstu.ru/htmlets/FomichevaM/ModificirovanniBessel/index.html |width=1140 |height=1200 |border=0 }} | {{#widget:Iframe |url=http://tm.spbstu.ru/htmlets/FomichevaM/ModificirovanniBessel/index.html |width=1140 |height=1200 |border=0 }} | ||
Текущая версия на 13:07, 17 июня 2016
Введение[править]
Модифицированные функции Бесселя — это функции Бесселя от чисто мнимого аргумента.
Если в дифференциальном уравнении Бесселя
заменить на , оно примет вид
Это уравнение называется модифицированным уравнением Бесселя. Если не является целым числом, то функции Бесселя и являются двумя линейно независимыми решениями уравнения . Однако чаще используют функции
и Их называют модифицированными функциями Бесселя первого рода или функциями Инфельда . Если — вещественное число, а — положительно эти функции принимают вещественные значения.
Реализация[править]
