Модифицированная функция Бесселя — различия между версиями
(добавлено описание) |
|||
| Строка 1: | Строка 1: | ||
| − | + | Модифицированные функции Бесселя — это функции Бесселя от чисто мнимого аргумента. | |
Если в дифференциальном уравнении Бесселя | Если в дифференциальном уравнении Бесселя | ||
| − | {\displaystyle z^{2}{\frac {d^{2}\omega }{dz^{2}}}+z{\frac {d\omega }{dz}}+(z^{2}-\nu ^{2})\omega =0} | + | <math>{\displaystyle z^{2}{\frac {d^{2}\omega }{dz^{2}}}+z{\frac {d\omega }{dz}}+(z^{2}-\nu ^{2})\omega =0} |
| − | заменить {\displaystyle \ z} на {\displaystyle \ iz} , оно примет вид | + | заменить {\displaystyle \ z} на {\displaystyle \ iz} </math>, оно примет вид |
{\displaystyle z^{2}{\frac {d^{2}\omega }{dz^{2}}}+z{\frac {d\omega }{dz}}-(z^{2}+\nu ^{2})\omega =0,\qquad (1)} | {\displaystyle z^{2}{\frac {d^{2}\omega }{dz^{2}}}+z{\frac {d\omega }{dz}}-(z^{2}+\nu ^{2})\omega =0,\qquad (1)} | ||
Версия 13:03, 17 июня 2016
Модифицированные функции Бесселя — это функции Бесселя от чисто мнимого аргумента.
Если в дифференциальном уравнении Бесселя
, оно примет вид
{\displaystyle z^{2}{\frac {d^{2}\omega }{dz^{2}}}+z{\frac {d\omega }{dz}}-(z^{2}+\nu ^{2})\omega =0,\qquad (1)} Это уравнение называется модифицированным уравнением Бесселя. Если {\displaystyle ~\nu } не является целым числом, то функции Бесселя {\displaystyle ~J_{\nu }(iz)} и {\displaystyle ~J_{-\nu }(iz)} являются двумя линейно независимыми решениями уравнения {\displaystyle ~(1)} . Однако чаще используют функции
{\displaystyle I_{\nu }(z)=e^{-{\frac {i\nu \pi }{2}}}J_{\nu }\left(ze^{\frac {i\pi }{2}}\right)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\left({\dfrac {z}{2}}\right)^{2k+\nu }}{k!\Gamma (k+\nu +1)}}} и {\displaystyle ~I_{-\nu }(z).} Их называют модифицированными функциями Бесселя первого рода или функциями Инфельда . Если {\displaystyle ~\nu } — вещественное число, а {\displaystyle ~z} — положительно эти функции принимают вещественные значения.
