Одномерное уравнение теплопроводности. Буй Ван Шань. 6 курс — различия между версиями

Материал из Department of Theoretical and Applied Mechanics
Перейти к: навигация, поиск
(→‎Постановка задачи)
(→‎Постановка задачи)
Строка 1: Строка 1:
 
==Постановка задачи==
 
==Постановка задачи==
 +
[[Файл:Heat eqn.gif|thumb|Пример численного решения уравнения теплопроводности. Цветом и высотой поверхности передана температура данной точки.]]
 
Решается однородное [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A3%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D1%82%D0%B5%D0%BF%D0%BB%D0%BE%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%BE%D0%B4%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8 уравнение теплопроводности] на промежутке <math>\left[a\ldots b\right]</math>
 
Решается однородное [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A3%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D1%82%D0%B5%D0%BF%D0%BB%D0%BE%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%BE%D0%B4%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8 уравнение теплопроводности] на промежутке <math>\left[a\ldots b\right]</math>
 
:<math>\frac{\partial U\left(x,t\right)}{\partial t} - k^2\frac{\partial^2 U\left(x,t\right)}{\partial x^2} = f(x,t)</math>
 
:<math>\frac{\partial U\left(x,t\right)}{\partial t} - k^2\frac{\partial^2 U\left(x,t\right)}{\partial x^2} = f(x,t)</math>

Версия 23:02, 18 ноября 2015

Постановка задачи

Пример численного решения уравнения теплопроводности. Цветом и высотой поверхности передана температура данной точки.

Решается однородное уравнение теплопроводности на промежутке [math]\left[a\ldots b\right][/math]

[math]\frac{\partial U\left(x,t\right)}{\partial t} - k^2\frac{\partial^2 U\left(x,t\right)}{\partial x^2} = f(x,t)[/math]

С граничными условиями

[math] \begin{cases} U(a,t) = M1(t) \\ U(b,t) = M2(t) \end{cases}[/math]

и начальным распределением температуры

[math]U(x,0) = U0(x)[/math]
  • Где :[math]f(x,t), U0(x), M1(t), M2(t)[/math] - Известные функции

Реализация

  • Данные для расчета
[math] \begin{cases} a=0;b=1\\ M1(t)=6t+0.887\\ M2(t)=0.0907\\ U0(x)=cos(x+0.48)\\ f(x,t)=0\\ k=1 \end{cases}[/math]

Результаты

  • Решение
    • 2 процесса

Result.PNG

  • 4 процесса

Result2.png

  • Погрешность вычисления
  • Зависимость времени расчета от количества процессов при постоянных шагах вычисления: dx = 0.001; dt = 0.000001

Processing time.PNG

Количество процессов Время рассчета (сек)
2 96.58
4 49.4
8 28.66
10 23.63
20 12.89
30 9.27
40 7.52

Заметим что при запуске больше количества процессов, скорость расчета быстро снижается

Источник — «http://tm.spbstu.ru/?title=Одномерное_уравнение_теплопроводности._Буй_Ван_Шань._6_курс&oldid=37484»