КП: Эффект Магнуса — различия между версиями

Материал из Department of Theoretical and Applied Mechanics
Перейти к: навигация, поиск
(→‎Общие сведения по теме)
(→‎Решение)
Строка 29: Строка 29:
 
== Решение ==
 
== Решение ==
  
−
Силу сопротивления воздуха будем считать с помощью закона Стокса<ref>[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BD_%D0%A1%D1%82%D0%BE%D0%BA%D1%81%D0%B0 Закон Стокса]</ref>:
+
Силу сопротивления воздуха для мяча будем считать с помощью закона Стокса<ref>[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BD_%D0%A1%D1%82%D0%BE%D0%BA%D1%81%D0%B0 Закон Стокса]</ref>:
  
 
<big><math>\vec{F} = -6πrη\vec{v} </math></big> , где
 
<big><math>\vec{F} = -6πrη\vec{v} </math></big> , где
Строка 45: Строка 45:
 
Силу Магнуса примем вида<ref>[http://www.your-own-science.org/this-is-not-a-pipes Формула Силы Магнуса]</ref>:
 
Силу Магнуса примем вида<ref>[http://www.your-own-science.org/this-is-not-a-pipes Формула Силы Магнуса]</ref>:
  
−
<big><math>\vec{F} = 2πρr^3\vec{u}\times\vec{ω} </math></big> , где
+
<big><math>\vec{F} = 2ρrS\vec{u}\times\vec{ω} </math></big> , где
  
 
<math>\vec{F}</math> - сила Магнуса,
 
<math>\vec{F}</math> - сила Магнуса,
Строка 51: Строка 51:
 
<math>ρ</math> - плотность воздуха,
 
<math>ρ</math> - плотность воздуха,
  
−
<math>r</math> - радиус мяча,
+
<math>r</math> - радиус,
 +
 
 +
<math>S</math> - площадь действия силы,
  
−
<math>\vec{u}</math> - относительная скорость мяча,
+
<math>\vec{u}</math> - относительная скорость,
  
−
<math>\vec{ω}</math> - угловая скорость мяча.
+
<math>\vec{ω}</math> - угловая скорость.
  
  

Версия 22:26, 2 июня 2015

А.М. Кривцов > Теоретическая механика > Курсовые проекты ТМ 2015 > Эффект Магнуса


Курсовой проект по Теоретической механике

Исполнитель: Шварёв Николай

Группа: 09 (23604)

Семестр: весна 2015

Сила Магнуса[1]

Аннотация проекта

Данный проект посвящен изучению эффекта Магнуса, возникающего в различных видах спорта, а также использующегося в баллистике, летательных аппаратах и кораблях.В ходе работы над проектом были рассмотрены траектории полета мяча и цилиндра в зависимости от различных начальных параметров (радиуса, динамической вязкости среды, плотности воздуха, линейной и угловой скорости). Программа написана на языке JavaScript с использование библиотеки Three.js.

Формулировка задачи

Построение и исследование математической модели движения объекта (в нашем случае - футбольного мяча и цилиндра), получение уравнения его движения и построение траектории в трехмерном пространстве с учётом различных внешних факторов, влияющих на движение, таких как сила сопротивления воздуха и эффект Магнуса.

Общие сведения по теме

Пример влияния силы Магнуса на траекторию движения мяча[1]

Эффект Магнуса - образование подъемной силы, действующей на вращающееся тело при обтекании его потоком жидкости или газа, широко использующейся в спорте, баллистике, летательных аппаратах и кораблях. [2]

Данный эффект возникает в результате разности давлений (в соответствии с законом Бернулли[3]) на стенках объекта из-за разных скоростей движения воздуха. Возникающий дисбаланс заставляет объект отклоняться.

Решение

Силу сопротивления воздуха для мяча будем считать с помощью закона Стокса[4]:

[math]\vec{F} = -6πrη\vec{v} [/math] , где

[math]\vec{F}[/math] - сила Стокса,

[math]r[/math] - радиус мяча,

[math]η[/math] - динамическая вязкость среды,

[math]\vec{v}[/math] - скорость мяча.


Силу Магнуса примем вида[5]:

[math]\vec{F} = 2ρrS\vec{u}\times\vec{ω} [/math] , где

[math]\vec{F}[/math] - сила Магнуса,

[math]ρ[/math] - плотность воздуха,

[math]r[/math] - радиус,

[math]S[/math] - площадь действия силы,

[math]\vec{u}[/math] - относительная скорость,

[math]\vec{ω}[/math] - угловая скорость.


Применив метод Эйлера, получим формулы для нахождения скорости и координаты мяча:

[math] \begin{cases} v_x^{i+1} = v_x^i + (-6πrηv_x^i/m + 2πρr^3(u_y^iω_z - u_z^iω_y)/m)\Delta t \\ v_y^{i+1} = v_y^i + (-6πrηv_y^i/m + 2πρr^3(u_z^iω_w - u_x^iω_z)/m)\Delta t \\ v_z^{i+1} = v_z^i + (-6πrηv_z^i/m - g + 2πρr^3(u_x^iω_y - u_y^iω_x)/m)\Delta t \\ \end{cases} [/math]

[math] \begin{cases} x^{i+1} = x^i + v_x^i\Delta t \\ y^{i+1} = y^i + v_y^i\Delta t \\ z^{i+1} = z^i + v_z^i\Delta t \\ \end{cases} [/math]


Реализация алгоритма:

Обсуждение результатов и выводы

Пример траектории мяча

Разработанный алгоритм был реализован в среде программирования Javascript с использование библиотеки Three.js. Была построена траектория движения и произведены эксперименты, результаты которых находятся в таблице ниже:


[math]V_x[/math] [math]V_y[/math] [math]V_z[/math] [math]ω_x[/math] [math]ω_y[/math] [math]ω_z[/math] [math]Δ_y[/math] [math]ω_x[/math] [math]ω_y[/math] [math]ω_z[/math] [math]Δ_y[/math] [math]ω_x[/math] [math]ω_y[/math] [math]ω_z[/math] [math]Δ_y[/math] [math]ω_x[/math] [math]ω_y[/math] [math]ω_z[/math] [math]Δ_y[/math]
5 0 5 0 0 -5 2.4644 5 0 -5 3.2022 0 0 -10 4.8584 5 0 -10 5.4070
10 0 5 0 0 -5 4.9289 5 0 -5 5.4903 0 0 -10 9.9168 5 0 -10 9.6552
15 0 5 0 0 -5 7.3934 5 0 -5 7.6860 0 0 -10 14.5751 5 0 -10 13.6855
20 0 5 0 0 -5 9.8578 5 0 -5 9.7909 0 0 -10 19.4335 5 0 -10 17.4784

где [math]V_x[/math], [math]V_y[/math], [math]V_z[/math] - начальные линейные скорости, [math]ω_x[/math], [math]ω_y[/math], [math]ω_z[/math] - начальные угловые скорости, а [math]Δ_y[/math] - полученное смещение по оси [math]y[/math].



Скачать отчет:
Скачать презентацию:

Ссылки по теме

  1. ↑ Эффект Магнуса
  2. ↑ Сила Магнуса
  3. ↑ Уравнение Бернулли
  4. ↑ Закон Стокса
  5. ↑ Формула Силы Магнуса

См. также

Источник — «http://tm.spbstu.ru/?title=КП:_Эффект_Магнуса&oldid=34295»