Потенциалы Терсоффа, Бреннера — различия между версиями

Материал из Department of Theoretical and Applied Mechanics
Перейти к: навигация, поиск
(→‎Литература)
Строка 160: Строка 160:
 
где <math>a_0 = 0.000\,208\,13</math>, <math>c_0 = 330</math> и <math>d_0 = 3.5</math>.
 
где <math>a_0 = 0.000\,208\,13</math>, <math>c_0 = 330</math> и <math>d_0 = 3.5</math>.
  
−
== Потенциал Бреннера второго поколения <ref name="Brenner2"/>==
+
== Потенциал Бреннера второго поколения ==
 +
 
 +
Потенциал Бреннера второго поколения позволяет представить энергию связи
 +
в виде <ref name="Brenner2"/>:
 +
 
 +
<math>
 +
    E_b = \sum_i \sum_{j (> i)} \left[ V^R (r_{ij}) - b_{ij} V^A (r_{ij}) \right].
 +
</math>
 +
 
 +
Между атомами углерода функции отталкивания и притяжения имеют вид:
 +
 
 +
<math>
 +
    V^R (r) = f^c (r) (1 + Q / r) A e^{-\alpha r},
 +
</math>
 +
<math>
 +
    V^A (r) = f^c (r) \sum_{n = 1,3} B_n e^{-\beta_n r},
 +
</math>
 +
 
 +
где
 +
 
 +
<math>
 +
    f^c (r) = \left\{
 +
    \begin{array}{l}
 +
        1,  \\
 +
        \left[ 1 + \cos(\pi(r - D_{\min}) / (D_{\max} - D_{\min})) \right] / 2,\\
 +
        0, \\
 +
    \end{array} \right.
 +
    \begin{array}{l}
 +
        r < D_{\min}, \\
 +
        D_{\min} < r < D_{\max}, \\
 +
        r > D_{\max},
 +
    \end{array}
 +
</math>
 +
 
 +
Параметры имеют вид:
 +
 
 +
<math>
 +
    \begin{array}{l}
 +
    B_1  = 12 388.791 977 98 \,\mbox{eV},\; \beta_1  = 4.720 452 3127 \,\mbox{\AA}^{-1},\; Q = 0.313 460 296
 +
    0833 \,\mbox{\AA},\\
 +
    B_2  = 17.567 406 465 09 \,\mbox{eV},\; \beta_2 = 1.433 213 2499 \,\mbox{\AA}^{-1},\; A = 10 953.544 162 170
 +
    \,\mbox{eV},\\
 +
    B_3  = 30.714 932 080 65 \,\mbox{eV},\; \beta_3  = 1.382 691 2506 \,\AA^{-1},\; \alpha = 4.746 539 060 6595
 +
    \,\mbox{\AA}^{-1},\\
 +
    D_{\min}  = 1.7 \,\mbox{\AA},\; D_{\max}  = 2.0 \,\mbox{\AA}.
 +
  \end{array}
 +
</math>
 +
 
 +
Множитель <math>b_{ij}</math> равен <math>b_{ij} = (B_{ij} + B_{ji}) / 2</math>,
 +
где
 +
 
 +
<math>
 +
    B_{ij} = \left[ 1 + \sum_{k (\neq i, j)} f^c (r_{ik}) G(\cos(\theta_{ijk}))
 +
    \right]^{-1/2},
 +
</math>
 +
 
 +
где <math>\theta_{ijk}</math> – угол между связями, соединяющими атомы
 +
<math>i,j</math> и <math>i,k</math>. Функция <math>G(\cos)</math> строится как полином через значения функции и ее
 +
производных в точках, соответствующих равновесным конфигурациям алмаза (<math>\theta =
 +
\arccos(-1/3)</math>) и графена (<math>\theta = 2 \pi / 3</math>):
 +
 
 +
{| class="wikitable"
 +
|  <math>\theta(rad)</math>
 +
|  <math>G(\cos(\theta))</math>
 +
|  <math>dG(\cos(\theta)) / d\cos(\theta)</math>
 +
|  <math>d^2 G(\cos(\theta)) / d\cos(\theta)^2</math>
 +
|-
 +
|  <math>0.6082\pi</math>
 +
|  <math>0.097 33</math>
 +
|  <math>0.400 00</math>
 +
|  <math>1.980 00</math>
 +
|-
 +
|  <math>2\pi / 3</math>
 +
|  <math>0.052 80</math>
 +
|  <math>0.170 00</math>
 +
|  <math>0.370 00</math>
 +
|}
  
 
== Литература ==
 
== Литература ==

Версия 17:05, 12 августа 2011

Потенциал Терсоффа

Энергия системы частиц задается с помощью выражений [1] [2] [3]:

[math]E = \sum_i E_i = \frac{1}{2} \sum_{i, j (\neq i)} V_{ij},[/math]

где [math]i,j[/math] – индексы частиц. [math]E[/math] – полная потенциальная энергия; [math]E_i[/math] – энергия, приходящаяся на одну частицу; [math]V_{ij}[/math] – энергия, приходящаяся на пару частиц:

[math]V_{ij} = f_C (r_{ij})\left(f_R (r_{ij}) + b_{ij} f_A (r_{ij})\right),[/math]

[math]r_{ij}[/math] – расстояние между частицами [math]i,j[/math], [math]f_C (r)[/math] – функция обрезания (cutoff function):

[math] f_C (r) = \left\{ \begin{array}{l} 1, \\ \frac{1}{2} \left[ 1 - \sin(\frac{\pi(r - R)}{2D}) \right],\\ 0, \\ \end{array} \right. \begin{array}{l} r \lt R - D, \\ R - D \lt r \lt R + D, \\ r \gt R + D, \end{array} [/math]

[math]f_R (r)[/math] – функция отталкивания, [math]f_A (r)[/math] – функция притяжения. Выражения для функций притяжения и отталкивания имеют вид:

[math] \begin{array}{c} f_R (r) = A \exp (-\lambda_1 r), \\ f_A (r) = - B \exp (-\lambda_2 r). \end{array} [/math]

Коэффициент [math]b_{ij}[/math] имеет вид:

[math] b_{ij} = (1 + \beta^n\zeta_{ij}^n)^{-1/(2n)}, [/math]

[math] \zeta_{ij} = \sum_{k\neq i,j} f_C (r_{ik}) g (\theta_{ijk}) \exp(\lambda_3^3 (r_{ij}-r_{ik})^3), [/math]

[math] g (\theta) = 1 + \frac{c^2}{d^2} - \frac{c^2}{d^2 + (h - \cos \theta)^2}, [/math]

где [math]\theta_{ijk}[/math] – угол между связями, соединяющими атомы [math]i,j[/math] и [math]i,k[/math].

Коэффициенты, используемые для атомов углерода:

[math] \begin{array}{l} A = 1393.6 \,\mbox{eV}, \\ B = 346.74 \,\mbox{eV}, \\ \lambda_1 = 3.4879 \,\mbox{\AA}^{-1}, \\ \lambda_2 = 2.2119 \,\mbox{\AA}^{-1}, \\ \beta = 1.5724 \cdot 10^{-7}, \\ n = 0.72751, \end{array} \begin{array}{l} c = 38049, \\ d = 4.3484, \\ h = -0.57058, \\ R = 1.95 \,\mbox{\AA}, \\ D = 0.15 \,\mbox{\AA}, \\ \lambda_3 = 0. \end{array} [/math]

Коэффициенты, используемые для атомов кремния:

[math] \begin{array}{l} R = 3 \mbox{\AA}, \\ A = 3264.7 \mbox{eV}, \\ \lambda_1 = 3.2394 \mbox{\AA}, \\ \beta = 0.33675, \\ c = 4.8381, \end{array} \begin{array}{l} D = 0.2 \mbox{\AA}, \\ B = 95.373 \mbox{eV}, \\ \lambda_2 = \lambda_3 = 1.3258 \mbox{\AA}, \\ n = 22956, \\ d = 2.0417. \end{array} \begin{array}{l} h = 0, \end{array} [/math]

Потенциал Терсоффа-Бреннера

(или потенциал Бреннера первого поколения)

При вычислении энергии межатомного взаимодействия с помощью потенциала Терсоффа-Бреннера используются следующие выражения [4] [5]:

[math] V_B (r_{ij}) = \sum_i \sum_{j (\gt i)} \left[ V_R (r_{ij}) - \overline{B_{ij}} V_A (r_{ij}) \right], [/math]

где [math]r_{ij}[/math] – расстояние между частицами [math]i,j[/math]. [math]V_R (r)[/math] и [math]V_A (r)[/math] – функции отталкивания и притяжения, имеющие вид:

[math] V_R (r) = \frac{ D^{(e)} }{ S - 1 } \exp (-\sqrt{2S} \beta (r - R^{(e)})) f_C (r), [/math]

[math] V_A (r) = \frac{ D^{(e)} S }{ S - 1 } \exp (-\sqrt{2 / S} \beta (r - R^{(e)})) f_C (r). [/math]

Константы имеют значения: [math]D^{(e)} = 6.0[/math] eV, [math]S = 1.22[/math], [math]\beta = 21[/math] нм[math]^{-1} = 2.1 \,\mbox{\AA}^{-1}[/math] и [math]R^{(e)} = 0.1390[/math] нм [math]= 1.390\,\mbox{\AA}[/math]. Функция обрезания (cut-off function) [math]f_C (r)[/math] имеет вид:

[math] f_C (r) = \left\{ \begin{array}{l} 1, \\ \frac{1}{2} \left[ 1 + \cos(\frac{\pi(r - R^{(1)}) }{ (R^{(2)} - R^{(1)})}) \right],\\ 0, \\ \end{array} \right. \begin{array}{l} r \lt R^{(1)}, \\ R^{(1)} \lt r \lt R^{(2)}, \\ r \gt R^{(2)}, \end{array} [/math]

где константы [math]R^{(1)} = 0.17[/math] нм [math]= 1.7 \,\mbox{\AA}[/math] и [math]R^{(2)} = 0.2[/math] нм [math]= 2 \,\mbox{\AA}[/math]. Параметр [math]\overline{B_{ij}} = (B_{ij} + B_{ji}) / 2[/math], где

[math] B_{ij} = \left[ 1 + \sum_{k (\neq i, j)} G(\theta_{ijk}) f_C(r_{ik}) \right]^{-\delta}, [/math]

где [math]\delta = 0.5[/math], [math]\theta_{ijk}[/math] – угол между связями, соединяющими атомы [math]i,j[/math] и [math]i,k[/math]. Функция [math]G[/math] имеет вид:

[math] G (\theta) = a_0 \left[ 1 + \frac{c_0^2 }{ d_0^2} - \frac{c_0^2 }{ d_0^2 + (1 + \cos \theta)^2} \right], [/math]

где [math]a_0 = 0.000\,208\,13[/math], [math]c_0 = 330[/math] и [math]d_0 = 3.5[/math].

Потенциал Бреннера второго поколения

Потенциал Бреннера второго поколения позволяет представить энергию связи в виде [6]:

[math] E_b = \sum_i \sum_{j (\gt i)} \left[ V^R (r_{ij}) - b_{ij} V^A (r_{ij}) \right]. [/math]

Между атомами углерода функции отталкивания и притяжения имеют вид:

[math] V^R (r) = f^c (r) (1 + Q / r) A e^{-\alpha r}, [/math] [math] V^A (r) = f^c (r) \sum_{n = 1,3} B_n e^{-\beta_n r}, [/math]

где

[math] f^c (r) = \left\{ \begin{array}{l} 1, \\ \left[ 1 + \cos(\pi(r - D_{\min}) / (D_{\max} - D_{\min})) \right] / 2,\\ 0, \\ \end{array} \right. \begin{array}{l} r \lt D_{\min}, \\ D_{\min} \lt r \lt D_{\max}, \\ r \gt D_{\max}, \end{array} [/math]

Параметры имеют вид:

[math] \begin{array}{l} B_1 = 12 388.791 977 98 \,\mbox{eV},\; \beta_1 = 4.720 452 3127 \,\mbox{\AA}^{-1},\; Q = 0.313 460 296 0833 \,\mbox{\AA},\\ B_2 = 17.567 406 465 09 \,\mbox{eV},\; \beta_2 = 1.433 213 2499 \,\mbox{\AA}^{-1},\; A = 10 953.544 162 170 \,\mbox{eV},\\ B_3 = 30.714 932 080 65 \,\mbox{eV},\; \beta_3 = 1.382 691 2506 \,\AA^{-1},\; \alpha = 4.746 539 060 6595 \,\mbox{\AA}^{-1},\\ D_{\min} = 1.7 \,\mbox{\AA},\; D_{\max} = 2.0 \,\mbox{\AA}. \end{array} [/math]

Множитель [math]b_{ij}[/math] равен [math]b_{ij} = (B_{ij} + B_{ji}) / 2[/math], где

[math] B_{ij} = \left[ 1 + \sum_{k (\neq i, j)} f^c (r_{ik}) G(\cos(\theta_{ijk})) \right]^{-1/2}, [/math]

где [math]\theta_{ijk}[/math] – угол между связями, соединяющими атомы [math]i,j[/math] и [math]i,k[/math]. Функция [math]G(\cos)[/math] строится как полином через значения функции и ее производных в точках, соответствующих равновесным конфигурациям алмаза ([math]\theta = \arccos(-1/3)[/math]) и графена ([math]\theta = 2 \pi / 3[/math]):

[math]\theta(rad)[/math] [math]G(\cos(\theta))[/math] [math]dG(\cos(\theta)) / d\cos(\theta)[/math] [math]d^2 G(\cos(\theta)) / d\cos(\theta)^2[/math]
[math]0.6082\pi[/math] [math]0.097 33[/math] [math]0.400 00[/math] [math]1.980 00[/math]
[math]2\pi / 3[/math] [math]0.052 80[/math] [math]0.170 00[/math] [math]0.370 00[/math]

Литература

  1. ↑ J.Tersoff, New empirical approach for the structure and energy of covalent system // Phys.Rev. B (1988) V. 37, No 12, P.6991–6999 (2.50 Mb)
  2. ↑ J.Tersoff, Empirical Interatomic Potential for Carbon, with Applications to Amorphous Carbon // Phys.Rev. B. 1988. 61, 2879–2882. (708 Kb)
  3. ↑ Sakir Erkoc, Empirical many-body potential energy functions used computer simulations of condensed matter properties, Physics Reports 278 (1997), P. 79–105 (937 Kb)
  4. ↑ D.W.Brenner. Empirical Potential for Hydrocarbons for Use in Simulating the Chemical Vapor Deposition of Diamond Films // Phys.Rev. B. 1990. V.42, pp. 9458–9471. (2.21 Mb) (errors 102 Kb)
  5. ↑ C.D.Reddy, S.Rajendran and K.M.Liew, Equilibrium configuration and continuum elastic properties of finite sized graphene // Nanotechnology, 2006, 17, 864–870.
  6. ↑ D.W.Brenner, O.A.Shenderova, J.A.Harrison, S.J.Stuart, B.Ni, S.B.Sinnot. A second-generation reactive empirical bond order (REBO) potential energy expression for hydrocarbons // J.Phys: Condens. Matter 14 (2002), 783–802. (144 Kb)

Ссылки

Источник — «http://tm.spbstu.ru/?title=Потенциалы_Терсоффа,_Бреннера&oldid=3279»