Корреляции перемещений в кристаллах (компьютерное моделирование) — различия между версиями

Материал из Department of Theoretical and Applied Mechanics
Перейти к: навигация, поиск
м
(нет различий)

Версия 11:54, 19 июля 2014

Расчеты: Панченко Артём

Корреляции в треугольной решётке

Рассматривается образец размерами 100x100 частиц, с периодическими граничными условиями, взаимодействие частиц описывается потенциалом Морзе с параметром [math]{\alpha}{a_0}=6[/math], учитывается взаимодействие с первой координационной сферой, начальная кинетическая энергия равна [math]{E_{kin}}=10^{-5}{D}[/math]. Изменение параметров оговорено отдельно.

Рассчитаны корреляции [math]\langle\mathbf{A}\mathbf{A}\rangle[/math], [math]\langle\mathbf{u}\mathbf{u}\rangle[/math], [math]\langle\mathbf{u}\mathbf{u}'\rangle[/math] в системе координат связанных со связью и найдено среднее по всем связям, а затем усреднено по 10 рассчётам. Ось абсцисс направлена по связи, ось ординат перпендикулярно (векторное произведение оси абсцисс и вектора перпендикулярного плоскости). Тензоры диагональны с точностью [math]10^{-3}[/math].

Результаты расчёта с приведёнными выше параметрами представлены на Рис.1.1.

Рис. 1.1. Зависимость диагональных компонент тензора [math]\mathbf{u}\mathbf{u_\alpha}[/math] от номера расстояния.
Рис. 1.3. Зависимость [math]\mathbf{u}\mathbf{u_\alpha}[/math] от начальной кинетической энергии.
Рис. 1.2. Зависимость [math]\langle\mathbf{A}\mathbf{A}\rangle[/math] от размера системы при кратном соотношении количества слоёв.


Рис. 1.4. Зависимость [math]\langle\mathbf{u}\mathbf{u}'\rangle[/math] от [math]{\alpha}{a_0}[/math].
Рис. 1.6. Зависимость [math]\langle\mathbf{u}\mathbf{u}'\rangle[/math] от радиуса обрезания.
Рис. 1.5. Зависимость [math]\langle\mathbf{u}\mathbf{u}'\rangle[/math] от [math]\varepsilon[/math].


Рис. 1.7. Зависимость [math]\langle\mathbf{u}\mathbf{u}'\rangle[/math] от [math]\varepsilon[/math].


Размер системы выбран из ходя из результатов представленных на Рис.1.2.

Из Рис.1.3, Рис.1.4, Рис.1.5, Рис.1.6 можно сделать вывод о слабой зависимости отношения продольных корреляций к дисперсии от [math]{E_{kin}}[/math], [math]{\alpha}{a_0}[/math], [math]{a_{cut}}[/math], [math]\varepsilon[/math] и таким образом это отношение является фактически константой.

Однако обнаружено влияние внешних напряжений (Рис.1.7) на отношение поперечной корреляции к продольной, таким образом мы можем сделать предположение, что это отношение зависит от внутренних напряжений.


Отношение перпендикулярной компоненты корреляции [math]\langle\mathbf{u}\mathbf{u}'\rangle[/math] к продольной увеличивается при растяжении, и не имеет выраженной зависимости от [math]{\alpha}{a_0}[/math] (Рис.1.3).

Отношение перпендикулярной компоненты корреляции [math]\langle\mathbf{A}\mathbf{A}\rangle[/math] к продольной уменьшается при растяжении, можно заметить слабое уменьшение отношение с ростом м (Рис.1.4).

Проведем анализ графиков Рис. 1.3 - 1.4 (А.М. Кривцов), данный анализ проведён по старым графикам, однако значения на графиках фактически не изменились.

Величина Значения Источник Комментарий
[math]\varepsilon[/math] -5% 0 5% Рис. 1.3 - 1.4 деформация
[math]p = \langle A_y A_y\rangle/\langle A_x A_x\rangle[/math] 1.48 1.42 1.36 Рис. 1.4 отношение поперечной составляющей тензора [math]\langle\mathbf{A}\mathbf{A}\rangle[/math] к продольной
[math]q = \langle u_y u_y'\rangle/\langle u_x u_x'\rangle[/math] 0.810 0.825 0.840 Рис. 1.3 отношение поперечной составляющей тензора [math]\langle\mathbf{u}\mathbf{u}'\rangle[/math] к продольной
[math]\beta = \langle u_x u_x'\rangle/\langle u_x^2\rangle[/math] 0.716 0.706 0.692 расчет относительная продольная корреляция перемещений
[math]\gamma = \langle u_y u_y'\rangle/\langle u_y^2\rangle[/math] 0.580 0.582 0.582 расчет относительная поперечная корреляция перемещений

Связь параметров [math]p,q[/math] и [math]\beta,\gamma[/math] определяется формулами

[math]p = \frac{1-\gamma}{1-\beta}, \quad q = \frac{\gamma}{\beta}; \qquad \beta = \frac{p-1}{p-q}, \quad \gamma = q\,\frac{p-1}{p-q}.[/math]


На основании данных таблицы можно сделать следующие выводы.

  • В рассмотренном интервале деформаций (от -5% до 5%) зависимости величин [math]p[/math] и [math]q[/math] от деформаций можно считать линейными.
  • Относительные корреляции [math]\beta[/math] и [math]\gamma[/math] в рассматриваемом интервале деформаций меняются незначительно.
  • Относительная поперечная корреляция [math]\gamma[/math] несколько меньше, чем относительная продольная [math]\beta[/math], что представляется разумным.
  • Значения относительных корреляции [math]\beta[/math] и [math]\gamma[/math] сравнимы с единицей — перемещения ближайших частиц сильно коррелируют. Есть основания полагать, что с увеличением числа частиц корреляции еще усилятся — необходимо указать, сколько частиц использовалось при расчете. Желательно проверить влияние числа частиц на результат. На корреляции могут также оказывать влияния термостаты, баростаты и т.д.


Отметим, что согласно формуле [math]p = (1-\gamma)/(1-\beta)[/math], тензор [math]\langle\mathbf{A}\mathbf{A}\rangle[/math] будет близок к шаровому ([math]p \approx 1[/math]) в одном из двух случаев:

  • относительные корреляции малы: [math]|\beta|\ll1,\ |\gamma|\ll1[/math];
  • относительные корреляции близки: [math]\beta\approx\gamma[/math].

В рассматриваемом случае относительные корреляции не малы, и, хоть и не очень значительно, но различаются, что приводит к существенному отклонению формы тензора [math]\langle\mathbf{A}\mathbf{A}\rangle[/math] от шаровой ([math]p \approx 1.4[/math]).


Корреляция колебаний

ГЦК

Рассчитаны корреляции [math]\mathbf{A}\mathbf{A_\alpha}[/math], [math]\mathbf{u}\mathbf{u}[/math], [math]\mathbf{u}\mathbf{u_\alpha}[/math] в системе координат связанных со связью и найдено среднее по всем связям. Ось абсцисс направлена по связи, ось ординат перпендикулярно (по другой связи), ось аппликат по векторному произведению абсциссы и ординаты. Тензоры диагональны с точность [math]10^{-3}[/math].


При отсутствии внешних напряжений зависимость [math]\mathbf{u}\mathbf{u_\alpha}[/math] от ширины потенциальной ямы для потенциала морзе отсутствует (Рис.1.1).

При постоянной ширине потенциальной ямы компоненты [math]\mathbf{u}\mathbf{u_\alpha}[/math] зависят от гидростатической деформации линейно, при этом [math]\mathbf{j}\mathbf{j}[/math] компонента с расширением убывает, а [math]\mathbf{k}\mathbf{k}[/math] возрастает (Рис.1.2).


Рис. 1.1. Зависимость [math]\mathbf{u}\mathbf{u_\alpha}[/math] от [math]\varepsilon[/math].
Рис. 1.2. Зависимость [math]\mathbf{u}\mathbf{u_\alpha}[/math] от [math]{\alpha}{a_0}[/math].




Тепловое расширение

Для определения коэффициента теплового расширения использовалось два подхода: при постоянном объёме и постоянном давлении (с помощью баростата давление приближалось к нулю).

ГЦК

Леннард-Джонс

Постоянный объём

ГЦК кристалл 30x30x30 ГЦК ячеек (??? частиц), периодические граничные условия, релаксация системы в течении 10*Tp, Tp = T0p/200, полное время определения давления 20*Tp, время определения точек среднего 3*Tp. Температура системы от 1e-7*Tk, до 1.9e-6*Tk. На первом шаге задаются начальные скорости согласно нормальному распределению, затем система релаксирует, и далее вычисляется давление на основе метода Кривцова-Кузькина.

Коэффициент теплового расширения определённый по первой точке: 0.127474, теоретическое значение: 0.131944, относительно отклонение от теоретического значения: 3.39%.

Коэффициент теплового расширения определённый по наклону (Рис.1): 0.12749, теоретическое значение: 0.131944, относительно отклонение от теоретического значения: 3.38%.

Рис. 1. Зависимость объёмной деформации от температуры. 1 - Значение определённое при усреденении по всему интервалу, 2 - усреднение по малым интервалам
Источник — «http://tm.spbstu.ru/?title=Корреляции_перемещений_в_кристаллах_(компьютерное_моделирование)&oldid=26810»