Разрезание ножом яблока в процессе полета — различия между версиями

Материал из Department of Theoretical and Applied Mechanics
Перейти к: навигация, поиск
(Новая страница: «== Аннотация проекта == Проект направлен на изучение взаимодействия ножа и яблока в гравита...»)
 
(→‎Аннотация проекта)
Строка 1: Строка 1:
 
== Аннотация проекта ==
 
== Аннотация проекта ==
 
Проект направлен на изучение взаимодействия ножа и яблока в гравитационном поле Земли.
 
Проект направлен на изучение взаимодействия ножа и яблока в гравитационном поле Земли.
 +
== Постановка задачи ==
 +
- Математически рассчитать благоприятные для разрезания  яблока случаи <p>
 +
== Общие сведения по теме ==
 +
Рассматриваются различные случаи взаимодействия ножа и яблока в полете. К ножу прикладывается сила F, начальная скорость Vo, дана масса ножа m и масса яблока М, диаметр яблока D. Сила сопротивления со стороны яблока в точке соприкосновения лезвия ножа с яблоком P.
 +
 +
Уравнение движения ножа : <math>mx" = F - P + Mg</math>  (*). Ось x направлена к земле.
 +
Уравнение движения яблока : <math>y = gt^2</math>
 +
 +
Обозначим <math>F - P + Mg</math> за k для уменьшения объема вычислений.<p>
 +
 +
'''1 Случай.'''  <math>k < 0</math> -> <math>P > F + Mg</math>. Это случай отскока ножа от яблока.
 +
'''2 Случай.''' k = 0 -> P = F + Mg    - равномерное разрезание яблока.
 +
mx' = mVo  -> x' = Vo = const
 +
Теперь мы можем проинтегрировать по t, подставив взамен константы mxo ( решив задачу Коши с начальными x'|t=0 = Vo )
 +
mx = mVot + mxo  -> x = Vot - xo .
 +
Рассчитав время падения яблока <math>tпад = Sqrt((2/g)* (xo - D ))</math>  мы можем смело заявить, при каких начальных скоростях возможен полный разрез яблока до его падения, а при каких - яблоко будет разрезано лишь на какую-то часть.
 +
f(Vo,D,xo) = Vo - gD^2/2(xo-D) (**)
 +
Если Vo > gD^2/2(xo-D) - наблюдаем полный разрез яблока до падения
 +
    Vo < gD^2/2(xo-D) - наблюдаем неполный разрез.
 +
 +
'''3 Случай.''' k > 0 -> P < F + Mg  - разрез будет проводиться с ускорением.
 +
Дважды проинтегрируем уравнение (*) по времени t : mx = kt^2/2 + mVot - mxo
 +
Осталось сравнить время разрезания яблока и время его падения :
 +
m(-Vo + sqrt(Disc))/2k  и sqrt((2/g)*(xo - D)) , где Disc = Vo^2 + 2D*k/m
 +
 +
 +
'''Окончательное уравнение, зависящее от''' <math>Vo,D,F,P,M,m,xo</math> :
 +
 +
F(Vo,D,F,P,M,m,xo) = 2D*k/m - 8(xo-D)*k^2/(m^2*g) + 4Vo*k*sqrt(2*(xo-D)/g)/ m  (***)
 +
 +
== Результат ==
 +
В результате проведенных исследований, мы можем, подставляя конкретные числа в уравнение (**) и (***), просчитать

Версия 10:03, 23 мая 2014

Аннотация проекта

Проект направлен на изучение взаимодействия ножа и яблока в гравитационном поле Земли.

Постановка задачи

- Математически рассчитать благоприятные для разрезания яблока случаи

Общие сведения по теме

Рассматриваются различные случаи взаимодействия ножа и яблока в полете. К ножу прикладывается сила F, начальная скорость Vo, дана масса ножа m и масса яблока М, диаметр яблока D. Сила сопротивления со стороны яблока в точке соприкосновения лезвия ножа с яблоком P.

Уравнение движения ножа : [math]mx" = F - P + Mg[/math] (*). Ось x направлена к земле. Уравнение движения яблока : [math]y = gt^2[/math]

Обозначим [math]F - P + Mg[/math] за k для уменьшения объема вычислений.<p>

1 Случай. [math]k \lt 0[/math] -> [math]P \gt F + Mg[/math]. Это случай отскока ножа от яблока. 2 Случай. k = 0 -> P = F + Mg - равномерное разрезание яблока. mx' = mVo -> x' = Vo = const Теперь мы можем проинтегрировать по t, подставив взамен константы mxo ( решив задачу Коши с начальными x'|t=0 = Vo ) mx = mVot + mxo -> x = Vot - xo . Рассчитав время падения яблока [math]tпад = Sqrt((2/g)* (xo - D ))[/math] мы можем смело заявить, при каких начальных скоростях возможен полный разрез яблока до его падения, а при каких - яблоко будет разрезано лишь на какую-то часть. f(Vo,D,xo) = Vo - gD^2/2(xo-D) (**) Если Vo > gD^2/2(xo-D) - наблюдаем полный разрез яблока до падения 

    Vo < gD^2/2(xo-D) - наблюдаем неполный разрез.

3 Случай. k > 0 -> P < F + Mg - разрез будет проводиться с ускорением. Дважды проинтегрируем уравнение (*) по времени t : mx = kt^2/2 + mVot - mxo Осталось сравнить время разрезания яблока и время его падения : m(-Vo + sqrt(Disc))/2k и sqrt((2/g)*(xo - D)) , где Disc = Vo^2 + 2D*k/m


Окончательное уравнение, зависящее от [math]Vo,D,F,P,M,m,xo[/math] :

F(Vo,D,F,P,M,m,xo) = 2D*k/m - 8(xo-D)*k^2/(m^2*g) + 4Vo*k*sqrt(2*(xo-D)/g)/ m (***)

Результат

В результате проведенных исследований, мы можем, подставляя конкретные числа в уравнение (**) и (***), просчитать

Источник — «http://tm.spbstu.ru/?title=Разрезание_ножом_яблока_в_процессе_полета&oldid=25540»