Корреляции перемещений в кристаллах (компьютерное моделирование) — различия между версиями

Материал из Department of Theoretical and Applied Mechanics
Перейти к: навигация, поиск
(→‎2D Треугольная)
(→‎2D Треугольная)
Строка 20: Строка 20:
 
==2D Треугольная==
 
==2D Треугольная==
  
−
Рассчитаны корреляции <math>\mathbf{A}\mathbf{A_\alpha}</math>, <math>\mathbf{u}\mathbf{u}</math>, <math>\mathbf{u}\mathbf{u_\alpha}</math> в системе координат связанных со связью и найдено среднее по всем связям. Ось абсцисс направлена по связи, ось ординат перпендикулярно (векторное произведение оси абсцисс и вектора перпендикулярного плоскости). Тензоры диагональны с точность <math>10^-3</math>.
+
Рассчитаны корреляции <math>\langle\mathbf{A}\mathbf{A}\rangle</math>, <math>\langle\mathbf{u}\mathbf{u}\rangle</math>, <math>\langle\mathbf{u}\mathbf{u}'\rangle</math> в системе координат связанных со связью и найдено среднее по всем связям. Ось абсцисс направлена по связи, ось ординат перпендикулярно (векторное произведение оси абсцисс и вектора перпендикулярного плоскости). Тензоры диагональны с точностью <math>10^{-3}</math>.
  
−
Отношение перпендикулярной компоненты корреляции <math>\mathbf{u}\mathbf{u_\alpha}</math> к продольной увеличивается при растяжении, и не имеет выраженной зависимости от <math>{\alpha}{a_0}</math> (Рис.1.3).   
+
Отношение перпендикулярной компоненты корреляции <math>\langle\mathbf{u}\mathbf{u}'\rangle</math> к продольной увеличивается при растяжении, и не имеет выраженной зависимости от <math>{\alpha}{a_0}</math> (Рис.1.3).   
  
−
Отношение перпендикулярной компоненты корреляции <math>\mathbf{A}\mathbf{A_\alpha}</math> к продольной уменьшается при растяжении, можно заметить слабое уменьшение отношение с ростом <math>{\alpha}{a_0}</math> (Рис.1.4).   
+
Отношение перпендикулярной компоненты корреляции <math>\langle\mathbf{A}\mathbf{A}\rangle</math> к продольной уменьшается при растяжении, можно заметить слабое уменьшение отношение с ростом <math>{\alpha}{a_0}</math> (Рис.1.4).   
  
−
[[Файл:uu_a___2D_Morse_epsion_alfa.png|400px|thumb|left|Рис. 1.3. Зависимость <math>\mathbf{u}\mathbf{u_\alpha}</math> от <math>\epsilon</math> при различных <math>{\alpha}{a_0}</math>.]]
+
[[Файл:uu_a___2D_Morse_epsion_alfa.png|400px|thumb|left|Рис. 1.3. Зависимость <math>\langle\mathbf{u}\mathbf{u}'\rangle</math> от <math>\varepsilon</math> при различных <math>{\alpha}{a_0}</math>.]]
−
[[Файл:AA_a___2D_Morse_epsion_alfa.png|400px|thumb|center|Рис. 1.4. Зависимость <math>\<\mathbf{A}\mathbf{A_\alpha}\></math> от <math>\epsilon</math> при различных <math>{\alpha}{a_0}</math>.]]
+
[[Файл:AA_a___2D_Morse_epsion_alfa.png|400px|thumb|center|Рис. 1.4. Зависимость <math>\langle\mathbf{A}\mathbf{A}\rangle</math> от <math>\varepsilon</math> при различных <math>{\alpha}{a_0}</math>.]]
  
  
Строка 33: Строка 33:
  
 
{| class="wikitable"  
 
{| class="wikitable"  
 +
! Величина
 +
! colspan="3"| Значения
 +
! Источник
 +
! Комментарий
 
|-
 
|-
 
| <math>\varepsilon</math>
 
| <math>\varepsilon</math>
Строка 38: Строка 42:
 
|  0  
 
|  0  
 
| 5%
 
| 5%
 +
| Рис. 1.3 - 1.4
 
| деформация
 
| деформация
 
|-
 
|-
Строка 44: Строка 49:
 
| 1.42  
 
| 1.42  
 
| 1.36
 
| 1.36
−
| отношение поперечной к продольной составляющей для тензора <math>\langle\mathbf{A}\mathbf{A}\rangle</math>, данные с Рис.1.4
+
| Рис. 1.4
 +
| отношение поперечной составляющей тензора <math>\langle\mathbf{A}\mathbf{A}\rangle</math> к продольной
 
|-
 
|-
 
| <math>q = \langle u_y u_y'\rangle/\langle u_x u_x'\rangle</math>
 
| <math>q = \langle u_y u_y'\rangle/\langle u_x u_x'\rangle</math>
Строка 50: Строка 56:
 
| 0.825  
 
| 0.825  
 
| 0.830
 
| 0.830
−
| отношение поперечной к продольной составляющей для тензора <math>\langle\mathbf{u}\mathbf{u}'\rangle</math>, данные с Рис.1.3
+
| Рис. 1.3
 +
| отношение поперечной составляющей тензора <math>\langle\mathbf{u}\mathbf{u}'\rangle</math> к продольной
 
|-
 
|-
 
| <math>\beta = \langle u_x u_x'\rangle/\langle u_x^2\rangle</math>
 
| <math>\beta = \langle u_x u_x'\rangle/\langle u_x^2\rangle</math>
Строка 56: Строка 63:
 
| 0.706  
 
| 0.706  
 
| 0.679
 
| 0.679
−
| относительная продольная корреляция перемещений, расчет
+
| расчет
 +
| относительная продольная корреляция перемещений
 
|-
 
|-
 
| <math>\gamma = \langle u_y u_y'\rangle/\langle u_y^2\rangle</math>
 
| <math>\gamma = \langle u_y u_y'\rangle/\langle u_y^2\rangle</math>
Строка 62: Строка 70:
 
| 0.582  
 
| 0.582  
 
| 0.564
 
| 0.564
−
| относительная поперечная корреляция перемещений, расчет
+
| расчет
 +
| относительная поперечная корреляция перемещений
 
|}
 
|}
  
 
Связь параметров <math>p,q</math> и <math>\beta,\gamma</math> определяется формулами
 
Связь параметров <math>p,q</math> и <math>\beta,\gamma</math> определяется формулами
  
−
<math>p = \frac{1-\gamma}{1-\beta}, \quad q = \frac{\gamma}{\beta}; \qquad \beta = \frac{p-1}{p-q}, \quad \gamma = q\,\frac{p-1}{p-q}</math>
+
:<math>p = \frac{1-\gamma}{1-\beta}, \quad q = \frac{\gamma}{\beta}; \qquad \beta = \frac{p-1}{p-q}, \quad \gamma = q\,\frac{p-1}{p-q}.</math>
  
  

Версия 00:18, 23 марта 2014

Расчеты: Панченко Артём

Корреляция колебаний

ГЦК

Рассчитаны корреляции [math]\mathbf{A}\mathbf{A_\alpha}[/math], [math]\mathbf{u}\mathbf{u}[/math], [math]\mathbf{u}\mathbf{u_\alpha}[/math] в системе координат связанных со связью и найдено среднее по всем связям. Ось абсцисс направлена по связи, ось ординат перпендикулярно (по другой связи), ось аппликат по векторному произведению абсциссы и ординаты. Тензоры диагональны с точность [math]10^{-3}[/math].


При отсутствии внешних напряжений зависимость [math]\mathbf{u}\mathbf{u_\alpha}[/math] от ширины потенциальной ямы для потенциала морзе отсутствует (Рис.1.1).

При постоянной ширине потенциальной ямы компоненты [math]\mathbf{u}\mathbf{u_\alpha}[/math] зависят от гидростатической деформации линейно, при этом [math]\mathbf{j}\mathbf{j}[/math] компонента с расширением убывает, а [math]\mathbf{k}\mathbf{k}[/math] возрастает (Рис.1.2).


Рис. 1.1. Зависимость [math]\mathbf{u}\mathbf{u_\alpha}[/math] от [math]\varepsilon[/math].
Рис. 1.2. Зависимость [math]\mathbf{u}\mathbf{u_\alpha}[/math] от [math]{\alpha}{a_0}[/math].


2D Треугольная

Рассчитаны корреляции [math]\langle\mathbf{A}\mathbf{A}\rangle[/math], [math]\langle\mathbf{u}\mathbf{u}\rangle[/math], [math]\langle\mathbf{u}\mathbf{u}'\rangle[/math] в системе координат связанных со связью и найдено среднее по всем связям. Ось абсцисс направлена по связи, ось ординат перпендикулярно (векторное произведение оси абсцисс и вектора перпендикулярного плоскости). Тензоры диагональны с точностью [math]10^{-3}[/math].

Отношение перпендикулярной компоненты корреляции [math]\langle\mathbf{u}\mathbf{u}'\rangle[/math] к продольной увеличивается при растяжении, и не имеет выраженной зависимости от [math]{\alpha}{a_0}[/math] (Рис.1.3).

Отношение перпендикулярной компоненты корреляции [math]\langle\mathbf{A}\mathbf{A}\rangle[/math] к продольной уменьшается при растяжении, можно заметить слабое уменьшение отношение с ростом [math]{\alpha}{a_0}[/math] (Рис.1.4).

Рис. 1.3. Зависимость [math]\langle\mathbf{u}\mathbf{u}'\rangle[/math] от [math]\varepsilon[/math] при различных [math]{\alpha}{a_0}[/math].
Рис. 1.4. Зависимость [math]\langle\mathbf{A}\mathbf{A}\rangle[/math] от [math]\varepsilon[/math] при различных [math]{\alpha}{a_0}[/math].


Проведем анализ графиков Рис. 1.3 - 1.4 (А.М. Кривцов).

Величина Значения Источник Комментарий
[math]\varepsilon[/math] -5% 0 5% Рис. 1.3 - 1.4 деформация
[math]p = \langle A_y A_y\rangle/\langle A_x A_x\rangle[/math] 1.48 1.42 1.36 Рис. 1.4 отношение поперечной составляющей тензора [math]\langle\mathbf{A}\mathbf{A}\rangle[/math] к продольной
[math]q = \langle u_y u_y'\rangle/\langle u_x u_x'\rangle[/math] 0.810 0.825 0.830 Рис. 1.3 отношение поперечной составляющей тензора [math]\langle\mathbf{u}\mathbf{u}'\rangle[/math] к продольной
[math]\beta = \langle u_x u_x'\rangle/\langle u_x^2\rangle[/math] 0.716 0.706 0.679 расчет относительная продольная корреляция перемещений
[math]\gamma = \langle u_y u_y'\rangle/\langle u_y^2\rangle[/math] 0.580 0.582 0.564 расчет относительная поперечная корреляция перемещений

Связь параметров [math]p,q[/math] и [math]\beta,\gamma[/math] определяется формулами

[math]p = \frac{1-\gamma}{1-\beta}, \quad q = \frac{\gamma}{\beta}; \qquad \beta = \frac{p-1}{p-q}, \quad \gamma = q\,\frac{p-1}{p-q}.[/math]


На основании данных таблицы можно сделать следующие выводы.

  • В рассмотренном интервале деформаций (от -5% до 5%) зависмости [math]p[/math] и [math]q[/math] от деформаций можно считать линейными.
  • Зависимость [math]\beta[/math] и [math]\gamma[/math] от деформаций оказывается заметно нелинейной.
  • В целом величины [math]p,q[/math] и [math]\beta,\gamma[/math] в рассматриваемом интервале деформаций меняются незначительно.
  • Относительная поперечная корреляция [math]\gamma[/math] несколько меньше, чем относительная продольная [math]\beta[/math], что представляется разумным.
  • Значения относительных корреляции [math]\beta[/math] и [math]\gamma[/math] сравнимы с единицей, что странно. Получается, что перемещения ближайших частиц сильно коррелируют. Не связано ли это с использованием термостата или какого-то другого вычислительного приема?


Отметим, что согласно формуле [math]p = (1-\gamma)/(1-\beta)[/math], тензор [math]\langle\mathbf{A}\mathbf{A}\rangle[/math] будет близок к шаровому ([math]p \approx 1[/math]) в одном из двух случаев:

  • Относительные корреляции малы: [math]|\beta|\ll1[/math], [math]|\gamma|\ll1[/math].
  • Относительные корреляции близки: [math]\beta\approx\gamma[/math].

В рассматриваемом случае относительные корреляции не малы, и, хоть и не очень значительно, но различаются, что приводит к существенному отклонению формы тензора [math]\langle\mathbf{A}\mathbf{A}\rangle[/math] от шаровой ([math]p \approx 1.4[/math]).

Тепловое расширение

Для определения коэффициента теплового расширения использовалось два подхода: при постоянном объёме и постоянном давлении (с помощью баростата давление приближалось к нулю).

ГЦК

Леннард-Джонс

Постоянный объём

ГЦК кристалл 30x30x30 ГЦК ячеек (??? частиц), периодические граничные условия, релаксация системы в течении 10*Tp, Tp = T0p/200, полное время определения давления 20*Tp, время определения точек среднего 3*Tp. Температура системы от 1e-7*Tk, до 1.9e-6*Tk. На первом шаге задаются начальные скорости согласно нормальному распределению, затем система релаксирует, и далее вычисляется давление на основе метода Кривцова-Кузькина.

Коэффициент теплового расширения определённый по первой точке: 0.127474, теоретическое значение: 0.131944, относительно отклонение от теоретического значения: 3.39%.

Коэффициент теплового расширения определённый по наклону (Рис.1): 0.12749, теоретическое значение: 0.131944, относительно отклонение от теоретического значения: 3.38%.

Рис. 1. Зависимость объёмной деформации от температуры. 1 - Значение определённое при усреденении по всему интервалу, 2 - усреднение по малым интервалам
Источник — «http://tm.spbstu.ru/?title=Корреляции_перемещений_в_кристаллах_(компьютерное_моделирование)&oldid=24549»