Устойчивость протопланетного облака системы "Земля - Луна" часть 3 — различия между версиями
Al-Efesbi (обсуждение | вклад) м (→Постановка задачи) |
Al-Efesbi (обсуждение | вклад) м (→Постановка задачи) |
||
Строка 80: | Строка 80: | ||
'''Решение''' | '''Решение''' | ||
− | По антологии с гравитационным потенциалом можно показать, что на внутреннею точку полый шар не действует. | + | По антологии с гравитационным потенциалом можно показать, что на внутреннею точку полый шар не действует. Поэтому найдём потенциал на поверхности шара. |
− | + | Представим себе, что точка <math>P</math> находится на поверхности шара. Соединим эту точку с центром шара (точка О), полученный радиус-вектор обозначим через <math>r</math> . Радиус-вектор элемента объёма <math>dV</math> будем обозначать буквой <math>r'</math> . Следовательно расстояние между элементом объёма и точкой <math>P</math> , которое мы обозначили греческой буквой <math>\rho</math>, будет иметь вид <math>\rho=\sqrt{r'^2+r^2-2rr'cos\phi}</math> , где <math>\phi</math>-- угол с вершиной в центре шара, образованный радиус-векторами <math>r</math>, . Наконец, объем элементарно малого параллелепипеда со сторонами <math>dr'</math>, <math>r'd\phi</math>, и <math>r'sin\phi dA</math> . Здесь мы введена еще одна степень свободы -- поворот вокруг оси OP на угол <math>dA</math>. | |
− | |||
− | Представим себе, что точка <math>P</math> находится | ||
Для бесконечно-малого объёма надо ввести эквиваленту площадь поверхности, равной суммарной площади всех находящихся в нём частиц. | Для бесконечно-малого объёма надо ввести эквиваленту площадь поверхности, равной суммарной площади всех находящихся в нём частиц. | ||
Строка 96: | Строка 94: | ||
<math>(9):\varphi(r)=K \int_0^R dr'\int_0^{\pi} d\phi\int_0^{2\pi}dA \left(\frac{exp(-ns\rho)}{\rho} - n S Ei(1,nS\rho)\right)nS r'^2sin\phi </math> | <math>(9):\varphi(r)=K \int_0^R dr'\int_0^{\pi} d\phi\int_0^{2\pi}dA \left(\frac{exp(-ns\rho)}{\rho} - n S Ei(1,nS\rho)\right)nS r'^2sin\phi </math> | ||
− | Заменим переменную интегрирования <math>\phi</math> на <math>\rho</math>. Определим пределы интегрирования. Очевидно, что вместо 0 и <math>\pi</math> нужно взять <math> | + | Заменим переменную интегрирования <math>\phi</math> на <math>\rho</math>. Определим пределы интегрирования. Очевидно, что вместо 0 и <math>\pi</math> нужно взять <math>К-r'</math> и <math>К+r'</math>, а <math>\rho d\rho=Rr'sin\phi d\phi</math>. |
Имеем: | Имеем: | ||
− | <math>(10):\varphi(r)=2\pi K n S\int_0^R dr' \int_{ | + | <math>(10):\varphi(r)=2\pi K n S\int_0^R dr' \int_{R-r'}^{R+r'}d\rho\left(\frac{exp(-ns\rho)}{R} r' |
− | - n S \frac{\rho r'}{ | + | - n S \frac{\rho r'}{R} Ei(1,nS\rho)\right)</math> |
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
+ | ==Цифры== | ||
Объём и площадь сферы связаны соотношением <math>V=\frac{2}{3\sqrt{4\pi}}S^{3/2}</math>, масса ледяных пылинок | Объём и площадь сферы связаны соотношением <math>V=\frac{2}{3\sqrt{4\pi}}S^{3/2}</math>, масса ледяных пылинок | ||
Строка 121: | Строка 113: | ||
<math>n=8.25\cdot 10^{-10}\frac{1}{sm^3}</math>, что примерно соответствует 1 частице в кубе 10х10 метров. | <math>n=8.25\cdot 10^{-10}\frac{1}{sm^3}</math>, что примерно соответствует 1 частице в кубе 10х10 метров. | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
==Некоторые уравнения== | ==Некоторые уравнения== |
Версия 22:55, 25 октября 2012
Содержание
Постановка задачи
Пусть имеется тело радиуса
(площадь поверхности )с поверхности которого отделяются частицы. На расстоянии от первого тела находится сферическое тело площадью .Требуется подсчитать силу, с которой это тело взаимодействует с частицей.
Исходим из следующих соображений.
- Все частицы имеют одинаковую массу
- Все частицы отделяются от сферического тела
1) В радиальных направлениях
2) С одинаковой начальной скоростью
3) без ускорения
Решение
Запишем уравнение непрерывности для среды с источником излучения.
,
где
-концентрация частиц,
-Интенсивность испарения сферы
-дельта функция Дирака.
Первое слагаемое в силу стационарности-ноль.
Рассмотрим частичку площадью
, ( площадь поперечного сечения, именно она является характеристикой взаимодействия, ) находящеюся на расстоянии , от излучающего тела. Тогда переданный импульс при абсолютно-упругом ударе за время будет,
отсюда
Постановка задачи
В условиях прошлой задачи, учесть эффект экранирования.
Решение
Если среда, где распространяется излучение, не пустая, присутствует экранирующий эффект, тогда , в соответствии с [работой], концентрация отделившихся частиц на расстоянии запишется как
, где
-концентрация экранирующих тел.
-площадь поперечного сечения экранирующих тел (в случае сферических тел, полагая их площадь есть ).
Постановка задачи
Для испаряющейся с интенсивностью
сферической частицы площадью , в среде с частицами с концентрацией и площадью написать выражение для созданного ей отталкивающего потенциала на расстоянии r.
Решение
Характеристикой испарения, при одинаковой интенсивности является площадь частицы. Использую метод пробной сферической частицы,площадью поверхности внесенной в отталкивающее поле (тогда на наблюдателя будет обращена поверхность ), получим связь силы и потенциала:
Постановка задачи
Для однородного шара с концентрацией частиц
найти закон функцию потенциала.Решение По антологии с гравитационным потенциалом можно показать, что на внутреннею точку полый шар не действует. Поэтому найдём потенциал на поверхности шара.
Представим себе, что точка
находится на поверхности шара. Соединим эту точку с центром шара (точка О), полученный радиус-вектор обозначим через . Радиус-вектор элемента объёма будем обозначать буквой . Следовательно расстояние между элементом объёма и точкой , которое мы обозначили греческой буквой , будет иметь вид , где -- угол с вершиной в центре шара, образованный радиус-векторами , . Наконец, объем элементарно малого параллелепипеда со сторонами , , и . Здесь мы введена еще одна степень свободы -- поворот вокруг оси OP на угол .Для бесконечно-малого объёма надо ввести эквиваленту площадь поверхности, равной суммарной площади всех находящихся в нём частиц.
Теперь следует проинтегрировать по всем объёмам, чтобы найти суммарный потенциал.
Заменим переменную интегрирования
на . Определим пределы интегрирования. Очевидно, что вместо 0 и нужно взять и , а .Имеем:
Цифры
Объём и площадь сферы связаны соотношением
, масса ледяных пылинокпоэтому
Если теперь положить, что радиус системы Земля-Луна на начальных этапах своей эволюции был в 2 раза больше расстояния между Луной и Землёй сегодня (
), а масса была равна суммы масс Земли и Луны, то получимЕсли половина площади частиц примерно ровна
, что соответствует радиусу 10 см, то получим, что примерно соответствует 1 частице в кубе 10х10 метров.
Некоторые уравнения
Для простоты рассматриваем бесстолкновительные системы
Функция распределения должна удовлетворять кинетическому уравнению Больцмана
Здесь F(r, t) — поле сил, действующее на частицы в жидкости или газе, а m — масса частиц. Слагаемое в правой части уравнения добавлено для учёта столкновений между частицами и называется интеграл столкновений. Если оно равно нулю, то частицы не сталкиваются вовсе.
Поэтому