Потенциалы Терсоффа, Бреннера — различия между версиями

Версия 20:39, 15 июня 2011

Потенциал Терсоффа

Энергия системы частиц задается с помощью выражений:

[math]E = \sum_i E_i = \frac{1}{2} \sum_{i, j (\neq i)} V_{ij},[/math]

где [math]i,j[/math] – индексы частиц. [math]E[/math] – полная потенциальная энергия; [math]E_i[/math] – энергия, приходящаяся на одну частицу; [math]V_{ij}[/math] – энергия, приходящаяся на пару частиц:

[math]V_{ij} = f_C (r_{ij})\left(f_R (r_{ij}) + b_{ij} f_A (r_{ij})\right),[/math]

[math]r_{ij}[/math] – расстояние между частицами [math]i,j[/math], [math]f_C (r)[/math] – функция обрезания (cutoff function):

[math] f_C (r) = \left\{ \begin{array}{l} 1, \\ \frac{1}{2} \left[ 1 - \sin(\frac{\pi(r - R)}{2D}) \right],\\ 0, \\ \end{array} \right. \begin{array}{l} r \lt R - D, \\ R - D \lt r \lt R + D, \\ r \gt R + D, \end{array} [/math]

[math]f_R (r)[/math] – функция отталкивания, [math]f_A (r)[/math] – функция притяжения. Выражения для функций притяжения и отталкивания имеют вид:

[math] \begin{array}{c} f_R (r) = A \exp (-\lambda_1 r), \\ f_A (r) = - B \exp (-\lambda_2 r). \end{array} [/math]

Коэффициент [math]b_{ij}[/math] имеет вид:

[math] b_{ij} = (1 + \beta^n\zeta_{ij}^n)^{-1/(2n)}, [/math]

[math] \zeta_{ij} = \sum_{k\neq i,j} f_C (r_{ik}) g (\theta_{ijk}) \exp(\lambda_3^3 (r_{ij}-r_{ik})^3), [/math]

[math] g (\theta) = 1 + \frac{c^2}{d^2} - \frac{c^2}{d^2 + (h - \cos \theta)^2}, [/math]

где [math]\theta_{ijk}[/math] – угол между связями, соединяющими атомы [math]i,j[/math] и [math]i,k[/math].

Коэффициенты, используемые для атомов углерода:

[math] \begin{array}{l} A = 1393.6 \,\mbox{eV}, \\ B = 346.74 \,\mbox{eV}, \\ \lambda_1 = 3.4879 \,\mbox{\AA}^{-1}, \\ \lambda_2 = 2.2119 \,\mbox{\AA}^{-1}, \\ \beta = 1.5724 \cdot 10^{-7}, \\ n = 0.72751, \end{array} \begin{array}{l} c = 38049, \\ d = 4.3484, \\ h = -0.57058, \\ R = 1.95 \,\mbox{\AA}, \\ D = 0.15 \,\mbox{\AA}, \\ \lambda_3 = 0. \end{array} [/math]

Потенциал Терсоффа-Бреннера

При вычислении энергии межатомного взаимодействия с помощью потенциала Терсоффа-Бреннера используются следующие выражения:

[math] V_B (r_{ij}) = \sum_i \sum_{j (\gt i)} \left[ V_R (r_{ij}) - \overline{B_{ij}} V_A (r_{ij}) \right], [/math]

где [math]r_{ij}[/math] – расстояние между частицами [math]i,j[/math]. [math]V_R (r)[/math] и [math]V_A (r)[/math] – функции отталкивания и притяжения, имеющие вид:

[math] V_R (r) = \frac{ D^{(e)} }{ S - 1 } \exp (-\sqrt{2S} \beta (r - R^{(e)})) f_C (r), [/math]

[math] V_A (r) = \frac{ D^{(e)} S }{ S - 1 } \exp (-\sqrt{2 / S} \beta (r - R^{(e)})) f_C (r). [/math]

Константы имеют значения: [math]D^{(e)} = 6.0[/math] eV, [math]S = 1.22[/math], [math]\beta = 21[/math] нм[math]^{-1} = 2.1 \,\mbox{\AA}^{-1}[/math] и [math]R^{(e)} = 0.1390[/math] нм [math]= 1.390\,\mbox{\AA}[/math]. Функция обрезания (cut-off function) [math]f_C (r)[/math] имеет вид:

[math] f_C (r) = \left\{ \begin{array}{l} 1, \\ \frac{1}{2} \left[ 1 + \cos(\frac{\pi(r - R^{(1)}) }{ (R^{(2)} - R^{(1)})}) \right],\\ 0, \\ \end{array} \right. \begin{array}{l} r \lt R^{(1)}, \\ R^{(1)} \lt r \lt R^{(2)}, \\ r \gt R^{(2)}, \end{array} [/math]

где константы [math]R^{(1)} = 0.17[/math] нм [math]= 1.7 \,\mbox{\AA}[/math] и [math]R^{(2)} = 0.2[/math] нм [math]= 2 \,\mbox{\AA}[/math]. Параметр [math]\overline{B_{ij}} = (B_{ij} + B_{ji}) / 2[/math], где

[math] B_{ij} = \left[ 1 + \sum_{k (\neq i, j)} G(\theta_{ijk}) f_C(r_{ik}) \right]^{-\delta}, [/math]

где [math]\delta = 0.5[/math], [math]\theta_{ijk}[/math] – угол между связями, соединяющими атомы [math]i,j[/math] и [math]i,k[/math]. Функция [math]G[/math] имеет вид:

[math] G (\theta) = a_0 \left[ 1 + \frac{c_0^2 }{ d_0^2} - \frac{c_0^2 }{ d_0^2 + (1 + \cos \theta)^2} \right], [/math]

где [math]a_0 = 0.000\,208\,13[/math], [math]c_0 = 330[/math] и [math]d_0 = 3.5[/math].