Степанов Алексей. Курсовой проект по теоретической механике — различия между версиями

Материал из Department of Theoretical and Applied Mechanics
Перейти к: навигация, поиск
(→‎Обсуждение результатов и выводы)
(→‎Решение)
Строка 29: Строка 29:
 
<math>m \ddot x = mg -\rho g S (d_o + x)</math><br>
 
<math>m \ddot x = mg -\rho g S (d_o + x)</math><br>
 
<math>m \ddot x =  -\rho g S x</math><br>
 
<math>m \ddot x =  -\rho g S x</math><br>
−
Остается проверить размерность величины <math>\frac{\rho g S} {m}</math> <br>
+
Остается проверить размерность величины <math>\frac{\rho g S} {m} = \frac {kg m^3} {s^2 m^3 kg} = \frac {1} {s^2}</math> <br>
 
Уравнение колебаний найдено.<br>
 
Уравнение колебаний найдено.<br>
  

Версия 21:47, 29 мая 2012

Тема проекта

Описание колебаний плавающих тел.

Постановка задачи

Найти уравнение колебаний для следующих тел:
1) Шар
2) Параллелепипед

  1. Вертикальные колебания
  2. "Бортовая качка"

Решение

1) Шар
ПУР: [math]mg = \rho g V_0 = \frac{\pi \rho g} {3} d_0^2 (3R-d_0);[/math]
Второй закон Ньютона примет вид:
[math]m \ddot x = mg - \frac{\pi \rho g} {3} (d_0+x)^2 (3R-d_0-x)[/math]
[math]m \ddot x = -\frac{\pi \rho g} {3} d_0^3 + \pi \rho g d_0^2R - \frac{\pi \rho g} {3}(d_0+x)^2(3R-d_0-x)[/math]
[math]m \ddot x = -\frac{\pi \rho g} {3} d_0^3 + \pi \rho g d_0^2R - \frac{\pi \rho g} {3}(d_0^2 + 2 d_0x + x^2)(3R-d_0-x)[/math]
[math]m \ddot x = -\frac{\pi \rho g} {3} d_0^3 + \pi \rho g d_0^2R - \frac{\pi \rho g} {3}(d_0^2 + 2 d_0x + o(x^2))(3R-d_0-x)[/math]
[math]m \ddot x = -\frac{\pi \rho g} {3} d_0^3 + \pi \rho g d_0^2R - \frac{\pi \rho g} {3}(d_0^2 + 2 d_0x + o(x^2))(3R-d_0-x)[/math]
[math]m \ddot x = -\frac{\pi \rho g} {3} d_0^3 + \pi \rho g d_0^2R - \frac{\pi \rho g} {3}(3d_o^2R - d_0^3 + 6d_0Rx - 3d_0^2x)[/math]
[math]m \ddot x = - \frac{\pi \rho g} {3}(6d_0Rx - 3d_0^2x)[/math]
[math]m \ddot x = \pi \rho g d_0(-2 R + d_0)x[/math];
Так как [math](-2 R + d_0) \lt 0[/math] формула имеет вид [math]m \ddot x + \pi \rho g d_0(2 R - d_0)x = 0[/math]
Остается проверить размерность величины [math]\frac{\pi \rho g d_0(2 R - d_0)} {m}[/math]
Уравнение колебаний найдено.
2) Вертикальные колебания параллелепипеда
ПУР: [math]mg = \rho g V_0 = \lt math\gt mg = \rho g S d_o;[/math]
Второй закон Ньютона примет вид:
[math]m \ddot x = mg -\rho g S (d_o + x)[/math]
[math]m \ddot x = -\rho g S x[/math]
Остается проверить размерность величины [math]\frac{\rho g S} {m} = \frac {kg m^3} {s^2 m^3 kg} = \frac {1} {s^2}[/math]
Уравнение колебаний найдено.

Обсуждение результатов и выводы

1) Интересно то, что [math]\frac{\rho g S} {m} = k \frac{g} {l}[/math], где l - полная высота параллелепипеда, а k - коэффициент, равный отношению плотности тела к плотности жидкости

Ссылки по теме

Архимед

См. также

Источник — «http://tm.spbstu.ru/?title=Степанов_Алексей._Курсовой_проект_по_теоретической_механике&oldid=12297»