Моделирование гибкого движения хлыста — различия между версиями

Материал из Department of Theoretical and Applied Mechanics
Перейти к: навигация, поиск
м
(→‎Ссылки)
 
(не показано 6 промежуточных версий 2 участников)
Строка 9: Строка 9:
 
==Постановка задачи==
 
==Постановка задачи==
 
Требуется смоделировать движение гибкого хлыста в двумерной постановке. Хлыст состоит из частиц n-ого количества частиц различной массы и n-1 соединенных пружин, имеющих одинаковую жесткость. Левый конец хлыста закреплен, правый конец свободен.
 
Требуется смоделировать движение гибкого хлыста в двумерной постановке. Хлыст состоит из частиц n-ого количества частиц различной массы и n-1 соединенных пружин, имеющих одинаковую жесткость. Левый конец хлыста закреплен, правый конец свободен.
 +
 +
==Математическая модель==
 +
Уравнение движение для каждой из материальных точек записывается следующим образом:
 +
 +
Будем работать с правой тройкой векторов.
 +
<math>
 +
  \underline{i}, \underline{j}, \underline{k}
 +
</math>
 +
 +
<math>
 +
  m\underline{\ddot{r}}_i(t)=\underline{F}_{i-1}(t)+\underline{F}_{i+1}+m_ig\underline{j}\\
 +
  \underline{r}_i(0)=\underline{r}_i^0,~\underline{v}_i(0)=v_i^0~~~i=1,\ldots,n
 +
</math>
 +
 +
где
 +
<math>
 +
  \underline{F}_{i-1}, \underline{F}_{i+1}\\
 +
</math> - силы упругости действующие на <math>i</math>-ую частицу со стороны <math>i-1</math> и <math>i+1</math> соответственно;
 +
 +
<math>
 +
  m_ig\underline{j}\\
 +
</math> - сила тяжести, действующая на <math>i</math>-ую частицу;
 +
 +
Сила упругости, возникающая в пружине соединяющей частицу <math>i</math> и <math>i+1</math>, вычисляется по следующей формуле:
 +
 +
<math>
 +
  \underline{F}_{R}= -(||\underline{r}_ {i+1}-\underline{r}_{i}|| - \frac{l}{n})c \frac{(\underline{r}_{i+1}-\underline{r}_{i})}{||\underline{r}_{i+1}-\underline{r}_{i}||}
 +
</math>,  где <math>c</math> - коэффициент жесткости пружины.
 +
 +
Будем работать в декартовой системе координат: <math>
 +
\underline{r} = x\underline{i} + y\underline{j} \\
 +
\underline{\dot{r}} = \upsilon\underline{i} + u\underline{j} \\
 +
 +
</math>
 +
 +
Для хорошей сходимости задач механики дискретных сред в задачах необходимо привести физические величины к безразмерным:
 +
<math>
 +
\widetilde{x}_i = \frac{x_i}{l}; \widetilde{y}_i = \frac{y_i}{l}; \widetilde{t}_i = \frac{t_i}{\tau}; \widetilde{\upsilon}_i = \frac{d\widetilde{x}_i}{d\widetilde{t}_i} = \frac{dx_i}{dt_i} \frac{l}{\tau};\widetilde{u}_i = \frac{d\widetilde{y}_i}{d\widetilde{t}_i} = \frac{dy_i}{dt_i} \frac{l}{\tau};
 +
</math>
 +
 +
Интегрирование уравнений движения осуществляется при помощи метода Верле.
 +
 +
==Результаты моделирования==
 +
Результаты моделирования и исходный код можно посмотреть на GitHub:
 +
https://github.com/NikishinAndrey/flexible_whip_movement/tree/main
 +
 +
==Ссылки==
 +
 +
[[Введение в механику дискретных сред]]

Текущая версия на 13:30, 16 января 2024

Курсовой проект по Механике дискретных сред

Исполнитель: Никишин Андрей

Группа: 5030103/00101

Семестр: осень 2023

Постановка задачи[править]

Требуется смоделировать движение гибкого хлыста в двумерной постановке. Хлыст состоит из частиц n-ого количества частиц различной массы и n-1 соединенных пружин, имеющих одинаковую жесткость. Левый конец хлыста закреплен, правый конец свободен.

Математическая модель[править]

Уравнение движение для каждой из материальных точек записывается следующим образом:

Будем работать с правой тройкой векторов. [math] \underline{i}, \underline{j}, \underline{k} [/math]

[math] m\underline{\ddot{r}}_i(t)=\underline{F}_{i-1}(t)+\underline{F}_{i+1}+m_ig\underline{j}\\ \underline{r}_i(0)=\underline{r}_i^0,~\underline{v}_i(0)=v_i^0~~~i=1,\ldots,n [/math]

где [math] \underline{F}_{i-1}, \underline{F}_{i+1}\\ [/math] - силы упругости действующие на [math]i[/math]-ую частицу со стороны [math]i-1[/math] и [math]i+1[/math] соответственно;

[math] m_ig\underline{j}\\ [/math] - сила тяжести, действующая на [math]i[/math]-ую частицу;

Сила упругости, возникающая в пружине соединяющей частицу [math]i[/math] и [math]i+1[/math], вычисляется по следующей формуле:

[math] \underline{F}_{R}= -(||\underline{r}_ {i+1}-\underline{r}_{i}|| - \frac{l}{n})c \frac{(\underline{r}_{i+1}-\underline{r}_{i})}{||\underline{r}_{i+1}-\underline{r}_{i}||} [/math], где [math]c[/math] - коэффициент жесткости пружины.

Будем работать в декартовой системе координат: [math] \underline{r} = x\underline{i} + y\underline{j} \\ \underline{\dot{r}} = \upsilon\underline{i} + u\underline{j} \\ [/math]

Для хорошей сходимости задач механики дискретных сред в задачах необходимо привести физические величины к безразмерным: [math] \widetilde{x}_i = \frac{x_i}{l}; \widetilde{y}_i = \frac{y_i}{l}; \widetilde{t}_i = \frac{t_i}{\tau}; \widetilde{\upsilon}_i = \frac{d\widetilde{x}_i}{d\widetilde{t}_i} = \frac{dx_i}{dt_i} \frac{l}{\tau};\widetilde{u}_i = \frac{d\widetilde{y}_i}{d\widetilde{t}_i} = \frac{dy_i}{dt_i} \frac{l}{\tau}; [/math]

Интегрирование уравнений движения осуществляется при помощи метода Верле.

Результаты моделирования[править]

Результаты моделирования и исходный код можно посмотреть на GitHub: https://github.com/NikishinAndrey/flexible_whip_movement/tree/main

Ссылки[править]

Введение в механику дискретных сред

Источник — «http://tm.spbstu.ru/?title=Моделирование_гибкого_движения_хлыста&oldid=60725»