Моделирование поведения цепочки — различия между версиями
(→Математическая модель) |
(→Код программы) |
||
| (не показана 21 промежуточная версия этого же участника) | |||
| Строка 12: | Строка 12: | ||
===Математическая модель === | ===Математическая модель === | ||
| + | Изначально запишем закон движения: | ||
<math> | <math> | ||
m\underline{\ddot{r}}_i(t)=\underline{F}_{i-1}+\underline{F}_{i+1} + \underline{F}_{g}\\ | m\underline{\ddot{r}}_i(t)=\underline{F}_{i-1}+\underline{F}_{i+1} + \underline{F}_{g}\\ | ||
\underline{r}_i(0)=\underline{r}_i^0,~\underline{v}_i(0)=0~~~i=1,\ldots,n | \underline{r}_i(0)=\underline{r}_i^0,~\underline{v}_i(0)=0~~~i=1,\ldots,n | ||
| − | </math> | + | </math> |
| − | |||
где | где | ||
<math> | <math> | ||
\underline{F}_{i-1}, \underline{F}_{i+1}\\ | \underline{F}_{i-1}, \underline{F}_{i+1}\\ | ||
| − | </math> - силы упругости действующие на <math>i</math>-ую частицу со стороны <math>i-1</math> и <math>i+1</math> соответственно | + | </math> - силы упругости действующие на <math>i</math>-ую частицу со стороны <math>i-1</math> и <math>i+1</math> соответственно, а <math> \underline{F}_{g}=-mg\underline{k} \\ </math> - сила тяжести. |
| + | |||
| + | Далее распишем силу упругости как произведение модуля на соответсвующий орт: | ||
| + | <math> | ||
| + | \underline{F}_{i+1}= c(|\underline{r}_{i+1}-\underline{r}_{i}| - l_0)\frac{(\underline{r}_{i+1}-\underline{r}_{i})}{|\underline{r}_{i+1}-\underline{r}_{i}|} | ||
| + | </math>, где <math>c</math> - коэффициент жесткости пружины. | ||
| + | Аналогично записывается сила <math>\underline{F}_{i-1}</math>. | ||
| + | |||
| + | Далее подставляя все силы в уравнение движения, получим: | ||
| + | |||
| + | <math> | ||
| + | m\underline{\ddot{r}}_i(t)= c(||\underline{r}_{i+1}-\underline{r}_i|| -l_0)\frac{(\underline{r}_{i+1}-\underline{r}_i)}{||\underline{r}_{i+1}-\underline{r}_i||} + c(||\underline{r}_{i-1}-\underline{r}_i|| - l_0)\frac{(\underline{r}_{i-1}-\underline{r}_i)}{||\underline{r}_{i-1}-\underline{r}_i||} - mg\underline{k}\\ | ||
| + | </math> | ||
| + | |||
| + | Дальнейшее интегрирование уравнения производится с помощью явного симплектического метода Верле c нулевыми начальными условиями и условиями закрепления на концах. | ||
| + | |||
| + | <math> \begin{cases} | ||
| + | V_{i+1} = V_i+A_i\Delta{t}\\ | ||
| + | X_{i+1} = X_i+V_{i+1}\Delta{t}, | ||
| + | \end{cases} </math> | ||
| + | |||
| + | ===Выводы=== | ||
| + | |||
| + | В рамках решения задачи смоделировано движение цепочки под действием силы тяжести и проилюсстрирован тот факт, что ускорение крайней массы цепочки больше, чем ускорение свободно падающего тела. Данный эффект объясняется начальным преднатяжением цепочки. График разности координат крайней частицы и свободно падающего тела изменяется линейно до тех пор, пока тело не догонит конец цепочки. | ||
| + | |||
| + | ===Код программы=== | ||
| + | https://editor.p5js.org/Kssdvchenko/sketches/R-agsD747 | ||
Текущая версия на 10:52, 25 января 2023
Курсовой проект по Механике дискретных сред
Исполнитель: Садовченко Екатерина
Группа: 5030103/90101
Семестр: осень 2022
Постановка задачи[править]
В рамках проекта необходимо смоделировать движение двумерной цепочки: провис цепочки и ее падение при отпускании одного из концов под действием силы тяжести.
Математическая модель[править]
Изначально запишем закон движения:
где - силы упругости действующие на -ую частицу со стороны и соответственно, а - сила тяжести.
Далее распишем силу упругости как произведение модуля на соответсвующий орт: , где - коэффициент жесткости пружины. Аналогично записывается сила .
Далее подставляя все силы в уравнение движения, получим:
Дальнейшее интегрирование уравнения производится с помощью явного симплектического метода Верле c нулевыми начальными условиями и условиями закрепления на концах.
Выводы[править]
В рамках решения задачи смоделировано движение цепочки под действием силы тяжести и проилюсстрирован тот факт, что ускорение крайней массы цепочки больше, чем ускорение свободно падающего тела. Данный эффект объясняется начальным преднатяжением цепочки. График разности координат крайней частицы и свободно падающего тела изменяется линейно до тех пор, пока тело не догонит конец цепочки.
