Моделирование теплового потока в дискретной среде методами разрушения — различия между версиями

Материал из Department of Theoretical and Applied Mechanics
Перейти к: навигация, поиск
(Новая страница: «'''''Дипломная работа ''''' '''Исполнитель:''' Колбасов Алексей '''Группа:''' 5030103/90101 '''Семест…»)
 
(→‎Математическая модель)
 
(не показаны 4 промежуточные версии этого же участника)
Строка 8: Строка 8:
  
 
На макроскопическом уровне распространение тепла в большинстве материалов описывается законом Фурье, согласно которому тепловой поток пропорционален градиенту температуры. Являясь удобной математической моделью, закон Фурье приводит к ряду физических парадоксов, таких, как мгновенное распространение тепла. Заметные отклонения от закона Фурье наблюдаются на малых временных и пространственных масштабах. Кроме того известно, что в простейших дискретных системах, таких как одномерный гармонический кристалл (цепочка частиц, связанных линейными пружинами) распространение тепла не подчиняется закону Фурье. В настоящее время вопрос о распространения тепла в идеальных кристаллических системах остается открытым. Вместе с тем, данный вопрос приобретает особую актуальность, так как с развитием нанотехнологий расширяется возможность применения идеальных бездефектных кристаллов и их уникальных теплопроводящих свойств. Кроме того, рациональное описание процессов теплопереноса необходимо для замыкания уравнений механики дискретных сред и приложения их к описанию термомеханики твердых тел на наномасштабном уровне.
 
На макроскопическом уровне распространение тепла в большинстве материалов описывается законом Фурье, согласно которому тепловой поток пропорционален градиенту температуры. Являясь удобной математической моделью, закон Фурье приводит к ряду физических парадоксов, таких, как мгновенное распространение тепла. Заметные отклонения от закона Фурье наблюдаются на малых временных и пространственных масштабах. Кроме того известно, что в простейших дискретных системах, таких как одномерный гармонический кристалл (цепочка частиц, связанных линейными пружинами) распространение тепла не подчиняется закону Фурье. В настоящее время вопрос о распространения тепла в идеальных кристаллических системах остается открытым. Вместе с тем, данный вопрос приобретает особую актуальность, так как с развитием нанотехнологий расширяется возможность применения идеальных бездефектных кристаллов и их уникальных теплопроводящих свойств. Кроме того, рациональное описание процессов теплопереноса необходимо для замыкания уравнений механики дискретных сред и приложения их к описанию термомеханики твердых тел на наномасштабном уровне.
−
 
−
==Постановка задачи==
 
−
 
−
 
  
 
==Математическая модель==
 
==Математическая модель==
Строка 24: Строка 20:
 
</math>
 
</math>
  
 +
 +
Где
  
 
<math>
 
<math>
−
   m\underline{\ddot{r}}_i(t)=\underline{F}_{R_1}+\underline{F}_{R_2} + \underline{F}_{g}\\
+
   D_i, a_i
−
  \underline{r}_i(0)=\underline{r}_i^0,~\underline{v}_i(0)=0~~~i=1,\ldots,n
+
</math> - параметры, которые подбирались методом минимизации квадрата ошибки.
−
</math>
 
  
  
−
где
+
В качестве метода интегрирования был выбран метод Верле. Разностная схема выглядит соответствующим образом.
−
<math>
 
−
  \underline{F}_{R_1}, \underline{F}_{R_2}\\
 
−
</math> - силы упругости действующие на <math>i</math>-ую частицу со стороны <math>i-1</math> и <math>i+1</math> соответственно;
 
  
 
<math>
 
<math>
−
  \underline{F}_{g} = -mg\underline{k} \\
+
  V_{i+1} = V_{i} + w^2(U_{i+1}-2U_i+U_{i-1}) + \sum_{i=1}^{N} \phi(D_i,a_i)
−
</math> - сила тяжести;
+
</math>  
−
 
 
−
Сила упругости, возникающая в пружине соединяющей частицу 1 и 2, вычисляется по следующей формуле:
 
  
 
<math>
 
<math>
−
   \underline{F}_{R}= c(||\underline{r}_2-\underline{r}_1|| - l_0)\frac{(\underline{r}_2-\underline{r}_1)}{||\underline{r}_2-\underline{r}_1||}
+
   U_{i+1} = U_{i} + V_{i+1} \Delta t
−
</math>,  где <math>c</math> - коэффициент жесткости пружины.
+
</math>  
  
−
Обезразмеренное уравнение будет иметь вид:
+
Первоначальная задача состоит в том, чтобы найти параметры <math> D_i, a_i , N </math>, чтобы отклонение от закону Фурье было меньше 10%. Второстепенная заключается в том, чтобы найти оптимальные параметры с учетом количества операций (найти функционал J), который бы имел примерный вид:
  
 
<math>
 
<math>
−
   \underline{\ddot{r}}_i(t)= \frac{cl_0}{mg}(||\underline{r}_{i+1}-\underline{r}_i|| - 1)\frac{(\underline{r}_{i+1}-\underline{r}_i)}{||\underline{r}_{i+1}-\underline{r}_i||} + \frac{cl_0}{mg}(||\underline{r}_{i-1}-\underline{r}_i|| - 1)\frac{(\underline{r}_{i-1}-\underline{r}_i)}{||\underline{r}_{i-1}-\underline{r}_i||} - \underline{k}\\
+
   J(t) = \int_0^t (r^2 e^2 + q^2 n N) dt
−
 
+
</math>  
−
</math>
 
  
−
Интегрирование по времени производится неявной схемой интегрирования.
+
Где <math> r, q</math> - коэффициенты, <math> e^2 </math> квадрат ошибки.
  
 
==Исходный код программы==
 
==Исходный код программы==
  
 
Исходный код программы представлен где-то там
 
Исходный код программы представлен где-то там

Текущая версия на 19:26, 24 января 2023

Дипломная работа

Исполнитель: Колбасов Алексей

Группа: 5030103/90101

Семестр: осень 2022

На макроскопическом уровне распространение тепла в большинстве материалов описывается законом Фурье, согласно которому тепловой поток пропорционален градиенту температуры. Являясь удобной математической моделью, закон Фурье приводит к ряду физических парадоксов, таких, как мгновенное распространение тепла. Заметные отклонения от закона Фурье наблюдаются на малых временных и пространственных масштабах. Кроме того известно, что в простейших дискретных системах, таких как одномерный гармонический кристалл (цепочка частиц, связанных линейными пружинами) распространение тепла не подчиняется закону Фурье. В настоящее время вопрос о распространения тепла в идеальных кристаллических системах остается открытым. Вместе с тем, данный вопрос приобретает особую актуальность, так как с развитием нанотехнологий расширяется возможность применения идеальных бездефектных кристаллов и их уникальных теплопроводящих свойств. Кроме того, рациональное описание процессов теплопереноса необходимо для замыкания уравнений механики дискретных сред и приложения их к описанию термомеханики твердых тел на наномасштабном уровне.

Математическая модель[править]

[math] m \ddot{U_n} = c(U_{n+1}-2U_{n}+U_{n-1}) + \sum_{i=1}^{N} \frac{12 D_i}{a_i}( (\frac{a_i}{r})^{13}-(\frac{a_i}{r}^7)) [/math]

С начальными условиями

[math] u_i^0(0) = 0, v_i^0(0) = \rho_i \sqrt{(A+B \sin(\lambda kx))} [/math]


Где

[math] D_i, a_i [/math] - параметры, которые подбирались методом минимизации квадрата ошибки.


В качестве метода интегрирования был выбран метод Верле. Разностная схема выглядит соответствующим образом.

[math] V_{i+1} = V_{i} + w^2(U_{i+1}-2U_i+U_{i-1}) + \sum_{i=1}^{N} \phi(D_i,a_i) [/math]

[math] U_{i+1} = U_{i} + V_{i+1} \Delta t [/math]

Первоначальная задача состоит в том, чтобы найти параметры [math] D_i, a_i , N [/math], чтобы отклонение от закону Фурье было меньше 10%. Второстепенная заключается в том, чтобы найти оптимальные параметры с учетом количества операций (найти функционал J), который бы имел примерный вид:

[math] J(t) = \int_0^t (r^2 e^2 + q^2 n N) dt [/math]

Где [math] r, q[/math] - коэффициенты, [math] e^2 [/math] квадрат ошибки.

Исходный код программы[править]

Исходный код программы представлен где-то там

Источник — «http://tm.spbstu.ru/?title=Моделирование_теплового_потока_в_дискретной_среде_методами_разрушения&oldid=59799»