Моделирование удара шара об стенку — различия между версиями

Материал из Department of Theoretical and Applied Mechanics
Перейти к: навигация, поиск
(Черновик)
(→‎Математическая модель)
 
(не показано 6 промежуточных версий этого же участника)
Строка 15: Строка 15:
  
 
<math>
 
<math>
−
   m\underline{\ddot{x}}_i(t)=\underline{F}_{R_1}+\underline{F}_{R_2}+\underline{F}_{D_1}+\underline{F}_{D_2}+\underline{P}+\underline{F}_{Wall}\\
+
   m\underline{\ddot{x}}_i(t)=\underline{F}_{R_1}+\underline{F}_{R_2}+\underline{P}+\underline{F}_{Wall}\\
−
   \underline{x}_i(0)=\underline{x}_i^0,~\underline{v}_i(0)=v_i^0~~~i=1,\ldots,n
+
   \underline{x}_i(0)=\underline{x}_i^0,~\underline{v}_i(0)=\underline{v}_i^0~~~i=1,\ldots,n
 
</math>
 
</math>
−
 
  
 
где  
 
где  
Строка 24: Строка 23:
 
   \underline{F}_{R_1}, \underline{F}_{R_2}\\
 
   \underline{F}_{R_1}, \underline{F}_{R_2}\\
 
</math> - силы упругости действующие на <math>i</math>-ую частицу со стороны <math>i-1</math> и <math>i+1</math> соответственно;
 
</math> - силы упругости действующие на <math>i</math>-ую частицу со стороны <math>i-1</math> и <math>i+1</math> соответственно;
−
 
−
<math>
 
−
  \underline{F}_{D_1},\underline{F}_{D_2}\\
 
−
</math> - силы демпфирования пружины действующие на <math>i</math>-ую частицу со стороны <math>i-1</math> и <math>i+1</math> соответственно;
 
  
 
<math>
 
<math>
Строка 37: Строка 32:
 
</math> - сила взаимодействия между воздушным шаром и стеной;
 
</math> - сила взаимодействия между воздушным шаром и стеной;
  
−
Сила упругости, возникающая в пружине соединяющей частицу 1 и 2, вычисляется по следующей формуле:
+
Сила упругости, возникающая в пружине соединяющей частицы, вычисляется по следующей формуле:
  
 
<math>
 
<math>
−
   \underline{F}_{R}= -(||\underline{r}_2-\underline{r}_1|| - l_0)k_R
+
   {F}_{R}= -(l - l_0)k_R
−
</math>,  где <math>k_R</math> - коэффициент жесткости пружины.
+
</math>,  где <math>k_R</math> - коэффициент жесткости пружины, <math>l</math> - длина пружины на данном шаге, <math>l_0</math> - начальная длина пружины
−
 
 
−
Сила демпфирования:
 
−
 
 
−
<math>
 
−
  \underline{F}_{D}= (\underline{v}_2-\underline{v}_1)\cdot\frac{\underline{r}_2-\underline{r}_1}{||\underline{r}_2-\underline{r}_1||}k_D
 
−
</math>, где <math>k_D</math> - коэффициент демпфирования пружины.
 
  
 
Давление:
 
Давление:
  
 
<math>
 
<math>
−
   \underline{P}=\frac{1}{V}l_{12} P \underline{n}
+
   \underline{P}=k(1-\frac{V}{V_{0}}) \underline{n}
−
</math>,  где <math> V </math> - актуальный объем шара, <math> l_{12}</math> - актуальная длина пружина, <math> P </math> - модуль давления, <math> \underline{n}</math> - нормаль к пружине, направленная наружу.
+
</math>,  где <math> V </math> - актуальный объем шара, <math> V_{0} </math> - начальный объем шара, <math> k </math> - коэффициент давления, <math> \underline{n}</math> - нормаль к пружине, направленная наружу.
  
 
Взаимодействие шара со стеной:
 
Взаимодействие шара со стеной:
Строка 62: Строка 51:
  
 
Интегрирование уравнений движения осуществляется при помощи метода Верле.
 
Интегрирование уравнений движения осуществляется при помощи метода Верле.
 +
 +
==Реализация модели==
 +
Исходный код: [https://github.com/ShtangensZirkyl/hw-discrete Реализация]

Текущая версия на 10:19, 20 января 2022

Курсовой проект по Механике дискретных сред

Исполнитель: Штамм Максим

Группа: 5030103/80101

Семестр: осень 2021

Постановка задачи[править]

Требуется смоделировать удар воздушного шарика о твердую стенку в двумерной постановке. Воздушный шарик представляет из себя оболочку, состоящую из материальный точек, каждая из которых соединена пружиной. Отскакивание воздушного шара от стенки моделируется при помощи потенциала Ленарда-Джонса.

Математическая модель[править]

Уравнение движения для каждой из материальных точек записывается следующим образом:

[math] m\underline{\ddot{x}}_i(t)=\underline{F}_{R_1}+\underline{F}_{R_2}+\underline{P}+\underline{F}_{Wall}\\ \underline{x}_i(0)=\underline{x}_i^0,~\underline{v}_i(0)=\underline{v}_i^0~~~i=1,\ldots,n [/math]

где [math] \underline{F}_{R_1}, \underline{F}_{R_2}\\ [/math] - силы упругости действующие на [math]i[/math]-ую частицу со стороны [math]i-1[/math] и [math]i+1[/math] соответственно;

[math] \underline{P} [/math] - давление создаваемое газом;

[math] \underline{F}_{Wall}\\ [/math] - сила взаимодействия между воздушным шаром и стеной;

Сила упругости, возникающая в пружине соединяющей частицы, вычисляется по следующей формуле:

[math] {F}_{R}= -(l - l_0)k_R [/math], где [math]k_R[/math] - коэффициент жесткости пружины, [math]l[/math] - длина пружины на данном шаге, [math]l_0[/math] - начальная длина пружины

Давление:

[math] \underline{P}=k(1-\frac{V}{V_{0}}) \underline{n} [/math], где [math] V [/math] - актуальный объем шара, [math] V_{0} [/math] - начальный объем шара, [math] k [/math] - коэффициент давления, [math] \underline{n}[/math] - нормаль к пружине, направленная наружу.

Взаимодействие шара со стеной:

[math] \underline{F}_{Wall}=-\nabla \Pi(r) [/math], где [math]\Pi(r)=4\varepsilon[(\frac{a}{r})^{12}-(\frac{a}{r})^6][/math]

Интегрирование уравнений движения осуществляется при помощи метода Верле.

Реализация модели[править]

Исходный код: Реализация

Источник — «http://tm.spbstu.ru/?title=Моделирование_удара_шара_об_стенку&oldid=59034»