Моделирование удара шарика об стенку Эссам — различия между версиями

Материал из Department of Theoretical and Applied Mechanics
Перейти к: навигация, поиск
(→‎визуализация)
(→‎Математическая модель)
 
(не показано 18 промежуточных версий этого же участника)
Строка 15: Строка 15:
  
 
<math>
 
<math>
−
   m\underline{\ddot{x}}_i(t)=\underline{F}_{R_1}+\underline{F}_{R_2}+\underline{P}+\underline{F(r)}_{Wall}\\
+
   m\underline{\ddot{x}}_i(t)=\underline{F}_{R_1}+\underline{F}_{R_2}+\underline{P}+\underline{F}_{Wall}\\
−
   \underline{x}_i(0)=\underline{x}_i^0,~\underline{v}_i(0)=v_i^0~~~i=1,\ldots,n
+
   \underline{x}_i(0)=\underline{x}_i^0,~\underline{v}_i(0)=\underline{v}_i^0~~~i=1,\ldots,n
 
</math>
 
</math>
  
Строка 24: Строка 24:
 
   \underline{F}_{R_1}, \underline{F}_{R_2}\\
 
   \underline{F}_{R_1}, \underline{F}_{R_2}\\
 
</math> - силы упругости действующие на <math>i</math>-ую частицу со стороны <math>i-1</math> и <math>i+1</math> соответственно;
 
</math> - силы упругости действующие на <math>i</math>-ую частицу со стороны <math>i-1</math> и <math>i+1</math> соответственно;
−
 
−
<math>
 
−
  \underline{F}_{D_1},\underline{F}_{D_2}\\
 
−
</math> - силы демпфирования пружины действующие на <math>i</math>-ую частицу со стороны <math>i-1</math> и <math>i+1</math> соответственно;
 
  
 
<math>
 
<math>
Строка 37: Строка 33:
 
</math> - сила взаимодействия между воздушным шаром и стеной;
 
</math> - сила взаимодействия между воздушным шаром и стеной;
  
−
Сила упругости, возникающая в пружине соединяющей частицу 1 и 2, вычисляется по следующей формуле:
+
Сила упругости, действующая на частицу 1 со стороны частицы 2, вычисляется по следующей формуле:
  
 
<math>
 
<math>
−
   \underline{F}_{R}= -(||\underline{r}_2-\underline{r}_1|| - l_0)k_R
+
   \underline{F}_{R}= -(||\underline{R}_1-\underline{R}_2|| - l_0)k_R\frac{(\underline{R}_2-\underline{R}_1)}{||\underline{R}_2-\underline{R}_1||}
−
</math>,  где <math>k_R</math> - коэффициент жесткости пружины.
+
</math>,  где <math>l_0</math> - начальная длина пружины  соединяющей частицу 1 и 2 и  <math>k_R</math> - коэффициент жесткости пружины.
  
−
Сила демпфирования:
+
Давление:
  
 
<math>
 
<math>
−
   \underline{F}_{D}= (\underline{v}_2-\underline{v}_1)\cdot\frac{\underline{r}_2-\underline{r}_1}{||\underline{r}_2-\underline{r}_1||}k_D
+
   \underline{P}=P \underline{n}
−
</math>, где <math>k_D</math> - коэффициент демпфирования пружины.
+
</math>, где <math> P </math> - модуль давления, <math> \underline{n}</math> - нормаль к пружине, направленная наружу.
  
−
Давление:
+
Взаимодействие шара со стеной:
  
 
<math>
 
<math>
−
   \underline{P}=\frac{1}{V}l_{12} P \underline{n}
+
   \underline{F}_{Wall}=\frac{12D}{a}[(\frac{a}{r})^{13}-(\frac{a}{r})^7]
−
</math>,  где <math> V </math> - актуальный объем шара, <math> l_{12}</math> - актуальная длина пружина, <math> P </math> - модуль давления, <math> \underline{n}</math> - нормаль к пружине, направленная наружу.
+
</math>
 +
 
 +
Интегрирование уравнений движения осуществляется при помощи метода Верле.
  
−
Взаимодействие шара со стеной:
+
== визуализация 2D моделирования ==
 +
исходный код можно посмотреть здесь:
 +
https://github.com/johann314/DM
  
−
<math>
+
{{#widget:Iframe |url=https://johann314.github.io/DM/ |width=1000 |height=1000 |border=0 }}
−
  \underline{F}_{Wall}=-\nabla \Pi(r)
 
−
</math>,  где  <math>\Pi(r)=4\varepsilon[(\frac{a}{r})^{12}-(\frac{a}{r})^6]</math>
 

Текущая версия на 10:18, 20 января 2022

Курсовой проект по Механике дискретных сред

Исполнитель: Эссам Жоан

Группа: 5030103/80101

Семестр: осень 2021

Постановка задачи[править]

Требуется смоделировать удар воздушного шарика о твердую стенку в двумерной постановке. Воздушный шарик представляет из себя оболочку, состоящую из материальный точек, каждая из которых соединена пружиной. Отскакивание воздушного шара от стенки моделируется при помощи потенциала Ленарда-Джонса.

Математическая модель[править]

Уравнение движения для каждой из материальных точек записывается следующим образом:

[math] m\underline{\ddot{x}}_i(t)=\underline{F}_{R_1}+\underline{F}_{R_2}+\underline{P}+\underline{F}_{Wall}\\ \underline{x}_i(0)=\underline{x}_i^0,~\underline{v}_i(0)=\underline{v}_i^0~~~i=1,\ldots,n [/math]


где [math] \underline{F}_{R_1}, \underline{F}_{R_2}\\ [/math] - силы упругости действующие на [math]i[/math]-ую частицу со стороны [math]i-1[/math] и [math]i+1[/math] соответственно;

[math] \underline{P} [/math] - давление создаваемое газом;

[math] \underline{F}_{Wall}\\ [/math] - сила взаимодействия между воздушным шаром и стеной;

Сила упругости, действующая на частицу 1 со стороны частицы 2, вычисляется по следующей формуле:

[math] \underline{F}_{R}= -(||\underline{R}_1-\underline{R}_2|| - l_0)k_R\frac{(\underline{R}_2-\underline{R}_1)}{||\underline{R}_2-\underline{R}_1||} [/math], где [math]l_0[/math] - начальная длина пружины соединяющей частицу 1 и 2 и [math]k_R[/math] - коэффициент жесткости пружины.

Давление:

[math] \underline{P}=P \underline{n} [/math], где [math] P [/math] - модуль давления, [math] \underline{n}[/math] - нормаль к пружине, направленная наружу.

Взаимодействие шара со стеной:

[math] \underline{F}_{Wall}=\frac{12D}{a}[(\frac{a}{r})^{13}-(\frac{a}{r})^7] [/math]

Интегрирование уравнений движения осуществляется при помощи метода Верле.

визуализация 2D моделирования[править]

исходный код можно посмотреть здесь: https://github.com/johann314/DM

Источник — «http://tm.spbstu.ru/?title=Моделирование_удара_шарика_об_стенку_Эссам&oldid=59033»