Моделирование удара шарика об стенку — различия между версиями
(→Математическая модель) |
Totamonik (обсуждение | вклад) (→Результаты моделирования) |
||
| (не показано 29 промежуточных версий 7 участников) | |||
| Строка 8: | Строка 8: | ||
==Постановка задачи== | ==Постановка задачи== | ||
| − | + | Требуется смоделировать удар воздушного шарика о твердую стенку в двумерной постановке. Воздушный шарик представляет из себя оболочку, состоящую из материальный точек, каждая из которых соединена пружиной. | |
Отскакивание воздушного шара от стенки моделируется при помощи потенциала Ленарда-Джонса. | Отскакивание воздушного шара от стенки моделируется при помощи потенциала Ленарда-Джонса. | ||
| Строка 16: | Строка 16: | ||
<math> | <math> | ||
m\underline{\ddot{x}}_i(t)=\underline{F}_{R_1}+\underline{F}_{R_2}+\underline{F}_{D_1}+\underline{F}_{D_2}+\underline{P}+\underline{F}_{Wall}\\ | m\underline{\ddot{x}}_i(t)=\underline{F}_{R_1}+\underline{F}_{R_2}+\underline{F}_{D_1}+\underline{F}_{D_2}+\underline{P}+\underline{F}_{Wall}\\ | ||
| + | \underline{x}_i(0)=\underline{x}_i^0,~\underline{v}_i(0)=v_i^0~~~i=1,\ldots,n | ||
</math> | </math> | ||
| + | |||
где | где | ||
<math> | <math> | ||
\underline{F}_{R_1}, \underline{F}_{R_2}\\ | \underline{F}_{R_1}, \underline{F}_{R_2}\\ | ||
| − | </math> - силы упругости действующие на <math>i</math>-ую частицу со стороны <math>i-1</math> и <math>i+1</math>; | + | </math> - силы упругости действующие на <math>i</math>-ую частицу со стороны <math>i-1</math> и <math>i+1</math> соответственно; |
<math> | <math> | ||
| − | \underline{F}_{D_1},\underline{F}_{D_2 | + | \underline{F}_{D_1},\underline{F}_{D_2}\\ |
| − | </math> - силы демпфирования пружины действующие на <math>i</math>-ую частицу со стороны <math>i-1</math> и <math>i+1</math>; | + | </math> - силы демпфирования пружины действующие на <math>i</math>-ую частицу со стороны <math>i-1</math> и <math>i+1</math> соответственно; |
<math> | <math> | ||
| Строка 34: | Строка 36: | ||
\underline{F}_{Wall}\\ | \underline{F}_{Wall}\\ | ||
</math> - сила взаимодействия между воздушным шаром и стеной; | </math> - сила взаимодействия между воздушным шаром и стеной; | ||
| + | |||
| + | Сила упругости, возникающая в пружине соединяющей частицу 1 и 2, вычисляется по следующей формуле: | ||
| + | |||
| + | <math> | ||
| + | \underline{F}_{R}= -(||\underline{r}_2-\underline{r}_1|| - l_0)k_R \frac{(\underline{r}_2-\underline{r}_1)}{||\underline{r}_2-\underline{r}_1||} | ||
| + | </math>, где <math>k_R</math> - коэффициент жесткости пружины. | ||
| + | |||
| + | Сила демпфирования: | ||
| + | |||
| + | <math> | ||
| + | \underline{F}_{D}= (\underline{v}_2-\underline{v}_1)\cdot\frac{\underline{r}_2-\underline{r}_1}{||\underline{r}_2-\underline{r}_1||}k_D\frac{(\underline{r}_2-\underline{r}_1)}{||\underline{r}_2-\underline{r}_1||} | ||
| + | </math>, где <math>k_D</math> - коэффициент демпфирования пружины. | ||
| + | |||
| + | Давление: | ||
| + | |||
| + | <math> | ||
| + | \underline{P}=\frac{1}{V}l_{12} P \underline{n} | ||
| + | </math>, где <math> V </math> - актуальный объем шара, <math> l_{12}</math> - актуальная длина пружина, <math> P </math> - модуль давления, <math> \underline{n}</math> - нормаль к пружине, направленная наружу. | ||
| + | |||
| + | Взаимодействие шара со стеной: | ||
| + | |||
| + | <math> | ||
| + | \underline{F}_{Wall}=-\nabla \Pi(r) | ||
| + | </math>, где <math>\Pi(r)=4\varepsilon[(\frac{a}{r})^{12}-(\frac{a}{r})^6]</math> | ||
| + | |||
| + | Интегрирование уравнений движения осуществляется при помощи метода Верле. | ||
| + | |||
| + | ==Результаты моделирования== | ||
| + | Результаты моделирования и исходный код можно посмотреть на GitHub: | ||
| + | https://github.com/DmitryPashkovsky/balloon_modeling_2D | ||
| + | |||
| + | В первом случае начальная скорость (-3.65, 0.0), а начальное положение (12.0, 10.0). | ||
| + | |||
| + | [[File:Experiment_1.gif]] | ||
| + | |||
| + | Во втором случае начальная скорость (-3.65, -1.5), а начальное положение (12.0, 15.0). | ||
| + | |||
| + | [[File:Experiment_2.gif]] | ||
Текущая версия на 11:03, 20 января 2022
Курсовой проект по Механике дискретных сред
Исполнитель: Пашковский Дмитрий
Группа: 5030103/80101
Семестр: осень 2021
Постановка задачи[править]
Требуется смоделировать удар воздушного шарика о твердую стенку в двумерной постановке. Воздушный шарик представляет из себя оболочку, состоящую из материальный точек, каждая из которых соединена пружиной. Отскакивание воздушного шара от стенки моделируется при помощи потенциала Ленарда-Джонса.
Математическая модель[править]
Уравнение движение для каждой из материальных точек записывается следующим образом:
где
- силы упругости действующие на -ую частицу со стороны и соответственно;
- силы демпфирования пружины действующие на -ую частицу со стороны и соответственно;
- давление создаваемое газом;
- сила взаимодействия между воздушным шаром и стеной;
Сила упругости, возникающая в пружине соединяющей частицу 1 и 2, вычисляется по следующей формуле:
, где - коэффициент жесткости пружины.
Сила демпфирования:
, где - коэффициент демпфирования пружины.
Давление:
, где - актуальный объем шара, - актуальная длина пружина, - модуль давления, - нормаль к пружине, направленная наружу.
Взаимодействие шара со стеной:
, где
Интегрирование уравнений движения осуществляется при помощи метода Верле.
Результаты моделирования[править]
Результаты моделирования и исходный код можно посмотреть на GitHub: https://github.com/DmitryPashkovsky/balloon_modeling_2D
В первом случае начальная скорость (-3.65, 0.0), а начальное положение (12.0, 10.0).
Во втором случае начальная скорость (-3.65, -1.5), а начальное положение (12.0, 15.0).
