Реализация симплектического метода для вращательного движения твердого тела — различия между версиями

Материал из Department of Theoretical and Applied Mechanics
Перейти к: навигация, поиск
(→‎Результаты)
 
(не показаны 4 промежуточные версии 2 участников)
Строка 10: Строка 10:
 
==Постановка задачи==
 
==Постановка задачи==
 
Реализовать симплектический для вращательного движения твердого тела.
 
Реализовать симплектический для вращательного движения твердого тела.
 +
 +
Построить графики изменения полной энергии системы. Убедиться в симплектичности метода.
  
 
==Теория==
 
==Теория==
 +
Данный метод  был получен Девидом Финчамом как аналог метода Верле для вращательного движения. Для описания поворота в данной статье используются кватернионы.
 +
Алгоритм состоит из двух частей.
 +
 +
Вспомогательная часть:
 +
 +
<math>
 +
1.\: \underline{J}^{n} = \underline{J}^{n-1/2} +\frac{1}{2}\Delta t \:  \underline{T}^{n}
 +
\\
 +
2. \: \underline{J}^{n}_{p} = \underline{\underline{A}}^{n} \: \underline{J}^{n}
 +
\\
 +
3.\: \omega_{pi}^{n} = {J}^{n}_{pi}/I
 +
\\
 +
4.\: \underline{q}^{n+1/2}=\underline{q}^{n}+\frac{1}{2}\Delta t \: \underline{\underline{Q}}^{n}\underline{\omega}_{p}^{n}
 +
\\
 +
5.\: Использовать\: \underline{q}^{n+1/2}\: для\: вычисления\: \underline{\underline{A}}^{n+1/2} \: и\: \underline{\underline{Q}}^{n+1/2}.
 +
</math>
 +
 +
Главная часть:
 +
 +
<math>
 +
6.\: \underline{J}^{n+1/2} = \underline{J}^{n-1/2} +\Delta t \:  \underline{T}^{n}
 +
\\
 +
7.\: \underline{J}^{n+1/2}_{p} = \underline{\underline{A}}^{n+1/2} \: \underline{J}^{n}
 +
\\
 +
8.\: \omega_{pi}^{n_1/2} = {J}^{n+1/2}_{pi}/I
 +
\\
 +
9.\: \underline{q}^{n+1}=\underline{q}^{n}+\Delta t \: \underline{\underline{Q}}^{n+1/2}\underline{\omega}_{p}^{n+1/2}
 +
\\
 +
10. \: Сохранить \: \underline{J}^{n+1/2} \: и \: \underline{q}^{n+1} \: для\: следующих\: шагов.
 +
</math>
 +
 +
,где <math>\underline{J}</math> -кинетический момент, <math>\underline{T}</math> - внешний момент, <math>\underline{q}</math> - кватернион, описывающий поворот, <math>\underline{\omega}</math> -угловая скорость, <math>I</math> - момент инерции, <math>\underline{\underline{A}}</math> - матрица поворота
 +
 +
<math>
 +
\underline{\underline{Q}} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix}
 +
q_{0} & -q_{1} & -q_{2} & -q_{3}\\
 +
q_{1} & q_{0} & -q_{3} & q_{2}\\
 +
q_{2} & q_{3} & q_{0} & -q_{1}\\
 +
q_{3} & -q_{2} & q_{1} & q_{0}
 +
\end{pmatrix}
 +
</math>
  
 
==Результаты==
 
==Результаты==
 +
Алгоритм был реализован на языке программирования Python.
 +
 +
В качестве модели для расчета был взят куб закрепленный пружинами на углах, повернутый в начальном положении вокруг оси <math>(0,sin\frac{\pi}{3},cos\frac{\pi}{3})</math>.
 +
 +
Полученные графики:
 +
 +
[[File:Symplecticint1.gif]]
 +
 +
Здесь красная линия - потенциальная энергия системы, зеленая - кинетическая, черная - полная.
 +
 +
Как можно заметить полная энергия системы не растет со временем, а лишь колеблется около одного значения. В данном случае, отклонения не превышают 5% от среднего значения.
 +
 +
==Ссылки==
 +
1. D. Fincham, Mol. Simul. 8, 165 (1992).

Текущая версия на 12:12, 28 января 2020

Курсовой проект по Механике дискретных сред

Исполнитель: Ершов Александр

Группа: 3630103/60101

Семестр: осень 2019


Постановка задачи[править]

Реализовать симплектический для вращательного движения твердого тела.

Построить графики изменения полной энергии системы. Убедиться в симплектичности метода.

Теория[править]

Данный метод был получен Девидом Финчамом как аналог метода Верле для вращательного движения. Для описания поворота в данной статье используются кватернионы. Алгоритм состоит из двух частей.

Вспомогательная часть:

[math] 1.\: \underline{J}^{n} = \underline{J}^{n-1/2} +\frac{1}{2}\Delta t \: \underline{T}^{n} \\ 2. \: \underline{J}^{n}_{p} = \underline{\underline{A}}^{n} \: \underline{J}^{n} \\ 3.\: \omega_{pi}^{n} = {J}^{n}_{pi}/I \\ 4.\: \underline{q}^{n+1/2}=\underline{q}^{n}+\frac{1}{2}\Delta t \: \underline{\underline{Q}}^{n}\underline{\omega}_{p}^{n} \\ 5.\: Использовать\: \underline{q}^{n+1/2}\: для\: вычисления\: \underline{\underline{A}}^{n+1/2} \: и\: \underline{\underline{Q}}^{n+1/2}. [/math]

Главная часть:

[math] 6.\: \underline{J}^{n+1/2} = \underline{J}^{n-1/2} +\Delta t \: \underline{T}^{n} \\ 7.\: \underline{J}^{n+1/2}_{p} = \underline{\underline{A}}^{n+1/2} \: \underline{J}^{n} \\ 8.\: \omega_{pi}^{n_1/2} = {J}^{n+1/2}_{pi}/I \\ 9.\: \underline{q}^{n+1}=\underline{q}^{n}+\Delta t \: \underline{\underline{Q}}^{n+1/2}\underline{\omega}_{p}^{n+1/2} \\ 10. \: Сохранить \: \underline{J}^{n+1/2} \: и \: \underline{q}^{n+1} \: для\: следующих\: шагов. [/math]

,где [math]\underline{J}[/math] -кинетический момент, [math]\underline{T}[/math] - внешний момент, [math]\underline{q}[/math] - кватернион, описывающий поворот, [math]\underline{\omega}[/math] -угловая скорость, [math]I[/math] - момент инерции, [math]\underline{\underline{A}}[/math] - матрица поворота

[math] \underline{\underline{Q}} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} q_{0} & -q_{1} & -q_{2} & -q_{3}\\ q_{1} & q_{0} & -q_{3} & q_{2}\\ q_{2} & q_{3} & q_{0} & -q_{1}\\ q_{3} & -q_{2} & q_{1} & q_{0} \end{pmatrix} [/math]

Результаты[править]

Алгоритм был реализован на языке программирования Python.

В качестве модели для расчета был взят куб закрепленный пружинами на углах, повернутый в начальном положении вокруг оси [math](0,sin\frac{\pi}{3},cos\frac{\pi}{3})[/math].

Полученные графики:

Symplecticint1.gif

Здесь красная линия - потенциальная энергия системы, зеленая - кинетическая, черная - полная.

Как можно заметить полная энергия системы не растет со временем, а лишь колеблется около одного значения. В данном случае, отклонения не превышают 5% от среднего значения.

Ссылки[править]

1. D. Fincham, Mol. Simul. 8, 165 (1992).

Источник — «http://tm.spbstu.ru/?title=Реализация_симплектического_метода_для_вращательного_движения_твердого_тела&oldid=55164»