"Одномерная линейная цепочка и частица в потенциальной яме Леннарда-Джонса" — различия между версиями
Catvicaf (обсуждение | вклад) |
Catvicaf (обсуждение | вклад) (→Первая задача: результат) |
||
(не показаны 22 промежуточные версии этого же участника) | |||
Строка 25: | Строка 25: | ||
<math> v_{i+1} = v_i + w^2 (x_{i+1} - 2x_{i} + x_{i-1})\Delta t </math><br> | <math> v_{i+1} = v_i + w^2 (x_{i+1} - 2x_{i} + x_{i-1})\Delta t </math><br> | ||
<math> x_{i+1} = x_i + v_{i+1}\Delta t </math><br> | <math> x_{i+1} = x_i + v_{i+1}\Delta t </math><br> | ||
− | |||
===Первая задача: метод Рунге-Кутта 4 порядка=== | ===Первая задача: метод Рунге-Кутта 4 порядка=== | ||
Строка 31: | Строка 30: | ||
<math> x_{i+1} = x_i + \frac {k_1 + 2k_2+2k_3+k_4}{6}</math><br> | <math> x_{i+1} = x_i + \frac {k_1 + 2k_2+2k_3+k_4}{6}</math><br> | ||
− | Где | + | Где |
+ | |||
+ | <math> g_{1(i,j)} = h F(u_{i,j - 1}, u_{i,j}, u_{i,j + 1})</math><br> | ||
+ | <math> g_{2(i,j)} = h F(u_{i,j - 1} + \frac {g_{1(i,j-1)}}{2}, u_{i,j} + \frac {g_{1(i,j)}}{2}, u_{i,j + 1} + \frac {g_{1(i,j+1)}}{2})</math><br> | ||
+ | <math> g_{3(i,j)} = h F(u_{i,j - 1} + \frac {g_{2(i,j-1)}}{2}, u_{i,j} + \frac {g_{2(i,j)}}{2}, u_{i,j + 1} + \frac {g_{2(i,j+1)}}{2})</math><br> | ||
+ | <math> g_{4(i,j)} = h F(u_{i,j - 1} + g_{3(i,j-1)}, u_{i,j} + g_{3(i,j)}, u_{i,j + 1} + g_{3(i,j+1)})</math><br> | ||
+ | |||
+ | <math> k_{1} = h v_{i,j}</math><br> | ||
+ | <math> k_{2} = h (v_{i,j} +\frac {k_{1}}{2})</math><br> | ||
+ | <math> k_{3} = h (v_{i,j} +\frac {k_{2}}{2})</math><br> | ||
+ | <math> k_{4} = h (v_{i,j} + k_{3})</math><br> | ||
+ | |||
+ | <math> F = w^{2}(x_{i,j+1} -2 x_{i,j} + x_{i,j-1})</math><br> | ||
+ | |||
+ | ===Первая задача: граничные условия=== | ||
+ | |||
+ | Фиксированные граничные условия: | ||
+ | |||
+ | <math> v_{i+1,1} = 0</math><br> | ||
+ | |||
+ | <math> v_{i+1,N} = 0</math><br> | ||
+ | |||
+ | <math> x_{i+1,1} = 0</math><br> | ||
+ | |||
+ | <math> x_{i+1,N} = 0</math><br> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | Свободные граничные условия: | ||
+ | |||
+ | <math> v_{i+1,1} = v_{i,1} + w^2 (x_{i,2} - x_{i,1})\Delta t</math><br> | ||
+ | |||
+ | <math> v_{i+1,N} = v_{i,N} + w^2 (x_{i,N - 1} - x_{i,N})\Delta t</math><br> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | Периодические граничные условия: | ||
+ | |||
+ | <math> v_{i+1,1} = v_{i,1} + w^2 (x_{i,2} - 2x_{i,1} + x_{i,N})\Delta t</math><br> | ||
− | <math> v_{i+1} = | + | <math> v_{i+1,N} = v_{i,N} + w^2 (x_{i,N - 1} - 2x_{i,N} + x_{i,1})\Delta t</math><br> |
===Первая задача: дополнительные данные=== | ===Первая задача: дополнительные данные=== | ||
Строка 42: | Строка 77: | ||
Масса: | Масса: | ||
<math> m = 1.</math><br> | <math> m = 1.</math><br> | ||
+ | |||
+ | Полное время: | ||
+ | <math> T = 1000.</math><br> | ||
Частице под номером 5 задавали перемещение равное 1. | Частице под номером 5 задавали перемещение равное 1. | ||
Строка 47: | Строка 85: | ||
===Первая задача: результат=== | ===Первая задача: результат=== | ||
− | Метод Верле с фиксированными границами: | + | Метод Верле с фиксированными границами c шагом 0.1: |
[[File:Nomber1VfixedAll.gif]] | [[File:Nomber1VfixedAll.gif]] | ||
+ | [[File:Фиксированные.jpg]] | ||
− | Метод Верле со свободными границами: | + | |
+ | Метод Верле со свободными границами c шагом 0.1: | ||
[[File:Nomber1Vfree.gif]] | [[File:Nomber1Vfree.gif]] | ||
+ | [[File:Свободные.jpg]] | ||
− | Метод Верле с периодическими граничными условиями: | + | |
+ | Метод Верле с периодическими граничными условиями c шагом 0.1: | ||
[[File:Nomber1Vperiod.gif]] | [[File:Nomber1Vperiod.gif]] | ||
+ | [[File:Периодичные.jpg]] | ||
− | Метод Рунге-Кутта 4 порядка с фиксированными границами: | + | |
+ | Метод Рунге-Кутта 4 порядка с фиксированными границами c шагом 0.01 (c большим шагом полная энергия быстро растет): | ||
[[File:Namber1rkFixedAll.gif]] | [[File:Namber1rkFixedAll.gif]] | ||
− | [[File: | + | [[File:ФиксированныеРК.jpg]] |
+ | |||
− | Метод Рунге-Кутта 4 порядка со свободными границами: | + | Метод Рунге-Кутта 4 порядка со свободными границами c шагом 0.01 (c большим шагом полная энергия быстро растет): |
[[File:Namber1rkFreeAll.gif]] | [[File:Namber1rkFreeAll.gif]] | ||
− | [[File: | + | [[File:СвободныеРК.jpg]] |
+ | |||
− | Метод Рунге-Кутта 4 порядка с периодическими граничными условиями: | + | Метод Рунге-Кутта 4 порядка с периодическими граничными условиями c шагом 0.01 (c большим шагом полная энергия быстро растет): |
[[File:Namber1rkPeriod.gif]] | [[File:Namber1rkPeriod.gif]] | ||
− | [[File: | + | [[File:ПериодичныеРК.jpg]] |
==Вторая задача== | ==Вторая задача== | ||
Строка 85: | Строка 131: | ||
<math> F_{r}(x_i) = \frac{12D(-(\frac{a}{x})^{13} + (\frac{a}{x})^{7})}{a}</math><br> | <math> F_{r}(x_i) = \frac{12D(-(\frac{a}{x})^{13} + (\frac{a}{x})^{7})}{a}</math><br> | ||
+ | |||
+ | ===Вторая задача: дополнительные данные=== | ||
+ | |||
+ | Начальное положение частицы: | ||
+ | <math> x = 1.2.</math><br> | ||
+ | |||
+ | ===Вторая задача: результат=== | ||
+ | |||
+ | Случай первый, когда частица вылетает. Движение частицы в потенциальной яме Леннарда-Джонса с начальной скоростью | ||
+ | <math> v = 1.0:</math><br> | ||
+ | |||
+ | [[File:Animation1 2.gif]] | ||
+ | |||
+ | |||
+ | Случай второй, когда частица не вылетает. Движение частицы в потенциальной яме Леннарда-Джонса с начальной скоростью | ||
+ | <math> v = 0.6:</math><br> | ||
+ | [[File:Ezgif.com-gif-maker (1).gif]] | ||
+ | |||
+ | == См. также == | ||
+ | |||
+ | *[[Курсовые_работы_по_ВМДС:_2019-2020 | Курсовые работы 2019-2020 учебного года]] |
Текущая версия на 13:33, 24 января 2020
Курсовой проект по Механике дискретных сред
Исполнитель: Кравченко Ирина
Группа: 3630103/60101
Семестр: осень 2019
Постановка задачи[править]
1) Сравнить различные методы интегрирования уравнений движения одномерной линейной цепочки (Верле, Рунге-Кутта). Реализовать фиксированные, свободные и периодические граничные условия.
2) Рассмотреть движение частицы в потенциальной яме Леннарда-Джонса: численно определить скорость диссоциации.
Первая задача[править]
Первая задача: решение[править]
Уравнение движения:
Первая задача: метод Верле[править]
Первая задача: метод Рунге-Кутта 4 порядка[править]
Где
Первая задача: граничные условия[править]
Фиксированные граничные условия:
Свободные граничные условия:
Периодические граничные условия:
Первая задача: дополнительные данные[править]
Коэффициент упругости:
Масса:
Полное время:
Частице под номером 5 задавали перемещение равное 1.
Первая задача: результат[править]
Метод Верле с фиксированными границами c шагом 0.1:
Метод Верле со свободными границами c шагом 0.1:
Метод Верле с периодическими граничными условиями c шагом 0.1:
Метод Рунге-Кутта 4 порядка с фиксированными границами c шагом 0.01 (c большим шагом полная энергия быстро растет):
Метод Рунге-Кутта 4 порядка со свободными границами c шагом 0.01 (c большим шагом полная энергия быстро растет):
Метод Рунге-Кутта 4 порядка с периодическими граничными условиями c шагом 0.01 (c большим шагом полная энергия быстро растет):
Вторая задача[править]
Вторая задача: решение[править]
Уравнение движения частицы в потенциальной яме Леннарда-Джонса:
Где
Вторая задача: дополнительные данные[править]
Начальное положение частицы:
Вторая задача: результат[править]
Случай первый, когда частица вылетает. Движение частицы в потенциальной яме Леннарда-Джонса с начальной скоростью
Случай второй, когда частица не вылетает. Движение частицы в потенциальной яме Леннарда-Джонса с начальной скоростью