Машина Голдберга, зажигающая лампочку — различия между версиями

Схема для расчета высоты отклонения маятника

Первый и второй маятники в ряду в момент столкновения

Последний в ряду маятник и шар

[math]Дано:[/math]

[math]m_{1}=m_{2}=...=m_{n}[/math]

[math]V_{2}(t=0)=V_{3}(t=0)=...=V_{n}(t=0)=0[/math]

[math]m_{т},μ,S,R[/math]

[math]Найти:~h[/math]

[math]Решение:[/math]

Столкновение будем считать упругим и центральным,тогда:

[math]p_{1}+p_{2}=p_{1}'+p_{2}'[/math]

[math]m_{1}V_{1}+m_{2}V_{2}=m_{1}V_{1}'+m_{2}V_{2}';~V_{2}=0[/math]

[math]m_{1}V_{1}=m_{1}V_{1}'+m_{2}V_{2}'[/math]

[math]E_{К1}+Е_{К2}=Е_{К1}'+Е_{К2}'[/math]

[math]V_{2}=0;~\frac {{m_{1}\cdot V_{1}}^2}{2}=\frac {{m_{1}\cdot V_{1}'}^2}{2}+\frac {{m_{2}\cdot V_{2}'}^2}{2}[/math]

[math]V_{2}'=\frac {2m_{1}V_{1}}{m_{1}+m_{2}}[/math]

[math]V_{1}'=\frac {{(}m_{1}-m_{2}{)}V_{1}}{m_{1}+m_{2}}[/math]

[math]Если~m_{1}=m_{2},~то~V_{1}'=0,~V_{2}'=V_{1}[/math]

Из ЗСЭ для первого шара:

[math]m_{1}gh=\frac {{m_{т}V_{1}^2}}{2}[/math]

[math]h=\frac {V_{1}^2}{2g};~F_{тр.к}=N~\frac {μ}{R}=\frac {μm_{т}g}{R}[/math]

[math]V_{1}^2=V_{2}'^2=\frac {2E}{m_{2}}=\frac {2F_{тр.к}S}{m_{2}}=\frac {2μNS}{Rm_{2}}=\frac {2μm_{т}gS}{Rm_{2}}[/math]

[math]h=\frac {2μm_{т}gS}{2gRm_{2}}=\frac {μm_{т}S}{Rm_{2}};~F_{тр}=N~\frac {μ}{Rm_{2}}=\frac {μS}{R}[/math]

[math]Ответ:[/math]

[math]h=\frac {μm_{т}S}{Rm_{2}}[/math]

Расчет импульса, передаваемого бруску

[math]Дано:[/math]

[math]m = 21{,}17~г = 21{,}17\cdot 10^{-3}~кг~-~масса~груза[/math]

[math]l = 12{,}3~см = 12{,}3\cdot 10^{-2}~м–~плечо~рычага[/math]

[math]Найти:~p[/math]

[math]Решение:[/math]

Работа, совершаемая силой тяжести при повороте:

[math]A = M\cdot φ = Fl\cdot \frac{\pi}{2} = mgl\cdot \frac{\pi}{2}[/math]

[math]A = ΔT = T_{кон} - T_{нач},~где~T_{нач} = 0[/math]

[math]T_{кон} = \frac{Jω^2}{2} = \frac{ml^2\cdot v/l^2}{2} = \frac{mv^2}{2}[/math]

[math]Получаем:~mgl\frac{\pi}{2} = \frac{mv^2}{2}[/math]

[math]После~сокращения:~\pi gl = v^2 ⇒ v = \sqrt {\pi gl}[/math]

[math]Импульс,~передаваемый~бруску:~p = mv = m{\sqrt {\pi gl}}[/math]

[math]p = 21{,}17\cdot 10^{-3}\cdot {\sqrt {3{,}14\cdot 9{,}8 \cdot 12{,}3\cdot 10^{-2}}} = 41\cdot 10^{-3}~кг\cdot м/с[/math]

[math]Ответ:[/math]

[math]p = 41\cdot 10^{-3}~кг\cdot м/с[/math]

Рассчитать энергии, который передал куб мячику

[math]Дано:[/math]

[math]m = 25{,}79 \cdot 10^{-3} ~кг~-~масса~куба[/math]

[math]p_{0} = 41\cdot 10^{-3} м/с[/math]

[math]h = 0,1~м~[/math]

[math]Найти: E_{кон}[/math]

[math]Решение:[/math]

Напишем закон сохранения энергии:

[math]E_{0}+mgh=E_{кон}-А_{тр}[/math]

Найдём начальныю скорость через импульс:

[math]p_{0}=m*V[/math]

[math]V=\frac{p_{0}}{m}=\frac{41\cdot 10^{-3}~кг\cdot м/с}{25{,}79 \cdot 10^{-3} ~кг~}=1{,}58~м/c~[/math]

Найдём начальныю кинетическую энергию куба:

[math]E_{0}=\frac{m*V^{2}}{2}=\frac{25{,}79 \cdot 10^{-3}~кг~*1{,}58~м/c^{2}}{2}=32{,}6\cdot 10^{-3}~Дж~[/math]

[math]А_{тр}=0[/math]

Энергия, которая передаётся шарику:

[math]E_{кон}=E_{0}+mgh=32{,}6\cdot 10^{-3}~Дж~+25{,}79 \cdot 10^{-3}~кг~\cdot 10 н/м \cdot 10 \cdot 10^{-2} м =58{,}39 \cdot 10^{-3}~Дж~[/math]

[math]Ответ:[/math]

[math]E_{кон}=58{,}39\cdot 10^{-3}~Дж~[/math]

Расчет импульса, который нужно сообщить тележке, чтобы она запустила цепную реакцию домино

[math]Дано:[/math]

[math]m_{тележка}[/math]

[math]\mu[/math]

[math]S[/math]

[math]Найти:~p[/math]

[math]Решение:[/math]

По закону сохранения энергии:

[math]K=A_{тр}[/math]

[math]K=F_{тр}S[/math]

[math]mv^2/2=\mu\cdot mgS[/math]

[math]Откуда~v=\sqrt{2\mu\cdot gS}[/math]

[math]Тогда~p=mv=m\sqrt{2\mu\cdot gS}[/math]

[math]Ответ:[/math]

[math]p=m\sqrt{2\mu\cdot gS}[/math]

Задача 7

[math]Дано:[/math]

[math]h=0{,}1~м[/math]

[math]m_{ш}=0{,}15~кг[/math]

[math]m_{м}=0{,}3~кг[/math]

[math]Найти: V_{ш}[/math]

[math]Решение:[/math]

По закону равноускоренного движения запишем формулы:

[math]\vec{V}=\vec{V}_{0}+\vec{g}t ~и ~\vec{s}=\vec{V}_{0}t+\frac{\vec{g}t^2}{2}[/math]

В условии данной задачи получаем:

[math]V_{м}=gt ~и ~S=h=\frac{gt^2}{2}[/math]

[math]V_{м}=\sqrt {2gh}[/math]

Когда молоток падает на рычаг, вся его кинетическая энергия передается шарику.

[math]E_{м}=E_{ш}[/math]

[math]\frac{m_{м}V_{м}^2}{2}=\frac{m_{ш}V_{ш}^2}{2}[/math]

[math]V_{ш}=\sqrt {2gh} \cdot \sqrt {\frac{m_{м}}{m_{ш}}}[/math]

[math]V_{ш}=\sqrt {2\cdot 10 \cdot 0{,}1} \cdot \sqrt {\frac{0{,}3}{0{,}15}} = 2 ~м/с[/math]

[math]Ответ:[/math]

[math]V_{ш}= 2 ~м/с[/math]

Схема для расчета траектории полета шарика

[math]Дано:[/math]

[math]\alpha[/math]

[math]v_{0}[/math]

[math]g[/math]

[math]Найти:~l[/math]

[math]Решение:[/math]

[math]1)~l=v_{1}t~(1),~где~v_{1}=v_{0}cos\alpha~(2)[/math]

[math]2)~h=\frac {{g(\frac {{t}}{2})^2}}{2}=\frac {{v_{2}^2}}{2g}=\gt t=\frac {{2v_{2}}}{g}~(3),~где~v_{2}=v_{0}sin\alpha~(4)[/math]

[math]3)~Подставляя~все~в~(1),~получим:[/math]

[math]l=v_{0}cos\alpha\frac {{2v_{0}sin\alpha}}{g}=\frac {{{2v_{0}^2sin\alpha}cos\alpha}}{g}=\frac {{v_{0}^2sin2\alpha}}{g}[/math]

[math]Ответ:[/math]

[math]l=\frac {{v_{0}^2sin2\alpha}}{g}[/math]

Расчет начального уровня воды в сообщающихся сосудах

[math]Дано:[/math]

[math]k=0{,}6~-~отношение~площадей~сечения~сосудов[/math]

[math]m=0{,}15~кг~[/math]

[math]h=0{,}11~м~-~высота~подъема~поршня~с~шариком[/math]

[math]Найти: [/math]

[math]h_{a}~-~начальная~высота~правого~поршня~без~шарика[/math]

[math]h_{b}~-~начальная~высота~левого~поршня~с~шариком[/math]

[math]Решение:[/math]

[math]1~случай[/math]

В начальном положении поршни находятся на уровнях h(a), h(b). По закону Паскаля давление в обоих коленах трубки на уровне одинаково:

[math]p_{в}gh_{b}+mg=p_{в}g h_{a}[/math]

[math]h_{a}=m/p_{в}+h_{b}[/math]

[math]2~случай[/math]

На поршень c площадью kS (k>1) попадает шарик. Так как грузы имеют одинаковые массы, то в состоянии равновесия по закону Паскаля в сообщающихся сосудах поверхности однородной жидкости устанавливаются на одном уровне. Запишем условие равенства:

[math]p_{в}h_{a1}+mg=p_{в}g h_{b1}+mg~=\gt ~h_{a1}=h_{b1}=h_{0} [/math]

Первое, что необходимо отметить – это то, что объем воды не изменится. Объем жидкости, вытесняемый из правого колена равен объему прибавившемуся в левом, так как она не сжимаема.

[math](h_{a}-h_{0}) \cdot kS=(h_{0}-h_{b}) \cdot S [/math]

[math]h_{0}=h_{b}+k(h_{a}-h_{0})[/math]

[math]h_{a}=(p_{в}h_{0}(1+k)+m)/p_{в}h_{0}[/math]

[math]h_{a}=0{,}118~м[/math]

[math]h_{b}=h_{a}-m/p_{в}[/math]

[math]h_{b}=0{,}109~м[/math]

[math]Ответ:[/math]

[math]h_{a}=0{,}118~м[/math]

[math]h_{b}=0{,}109~м[/math]

Расчет массы груза, который необходимо поднять с помощью системы из двух блоков

[math]Дано:[/math]

[math]m, M, T[/math]

[math]Найти:~m1[/math]

[math]Решение:[/math]

Для начала запишем II закон Ньютона:

[math]m_{1}g+T+T+(m+M)g=m_{1}a+(m+M)a[/math]

Так как нам необходимо только приподнять груз m1, то, воспользовавшись Вторым законом Ньютона, запишем следующее неравенство (силы сразу берем в проекции на ось Oy):

[math]-m_{1}g+2T-(m+M)g≥0[/math]

[math]-m_{1}g+2T-mg+Mg≥0[/math]

[math]m_{1}g≤2T-g(m-M)[/math]

[math]m_{1}≤2T/g+M-m[/math]

[math]Ответ:[/math]

[math]m_{1}≤2T/g+M-m[/math]

Схема для расчёта высоты груза математического маятника

[math]Дано:~h[/math]

[math]Найти:~v[/math]

[math]Решение:[/math]

[math]mgh=\frac{m \cdot v^2}{2}[/math]

[math]v =\sqrt {2gh}[/math]

[math]Ответ:[/math]

[math]v =\sqrt {2gh}[/math]

Задача 11. Расчет скорости шарика, вылетающего из спирали

[math]Дано:[/math]

[math]V_{0}[/math]

[math]H[/math]

[math]m[/math]

[math]Найти:V[/math]

[math]Решение:[/math]

[math]По~ЗСЭ:[/math]

[math]mgh+\frac{mV_{0}^2}{2}=\frac{mV^2}{2}[/math]

[math]V^2=2gh+V_{0}^2[/math]

[math]V=\sqrt {2gh+V_{0}^2}[/math]

[math]Ответ:[/math]

[math]V=\sqrt {2gh+V_{0}^2}[/math]

Расчет конечной скорости тележки

Для~того, чтобы вычислить скорость, с которой тележка вылетит с горки, запишем закон сохранения энергии:

[math]Е_{п1}+Е_{к1}=Е_{к2}+Е_{п2}[/math]

[math]Е_{п1}=mgh_{1}[/math]

[math]Е_{к1}=0[/math]

[math]Е_{п2}=mgh_{2}[/math]

[math]Е_{к2}=\frac{mV^2}{2}[/math]

[math]mgh_{1}=\frac{mV^2}{2}~+~mgh_{2}[/math]

[math]V=\sqrt{2g\cdot{(h_{1}-h_{2})}}[/math]

[math]Ответ:[/math]

[math]V=\sqrt{2g\cdot{(h_{1}-h_{2})}}[/math]

[math]Дано:[/math]

[math]V_{бр}=32,3*4*2,8 см_{2}[/math]

[math]F=0,14H[/math]

[math]R=32,3см=0,323м[/math]

[math]Найти:a(угол)[/math]

[math]Решение:[/math]

До того как игла проткнет шар, система находится в состоянии покоя; затем игла протыкает шар. Распишем момент сил относительно правого конца бруска:

[math]FRsina=MgR[/math]

[math]a=arcsin\frac{MgR}{FR}[/math]

Найдем массу бруска через его объем и плотность(360 кг/м_{3}):

[math]M=pV=450*0,323*0,04*0,028=0,163 кг[/math]

Где p - плотность бруска, V - его объем. Тогда получим конечную формулу:

[math]a=arcsin\frac{MgR}{FR}=arcsin\frac{0,163*10}{0,14}=arcsin0,93024 = 68,472 гр [/math]

[math]Ответ:[/math]

[math]a= 68,472 гр[/math]