Перераспределение энергии между поступательными и вращательными степенями свободы — различия между версиями

Материал из Department of Theoretical and Applied Mechanics
Перейти к: навигация, поиск
(→‎Вывод уравнений)
(→‎Вывод уравнений)
 
(не показана 31 промежуточная версия этого же участника)
Строка 1: Строка 1:
 +
[[ Курсовые_работы_по_ВМДС:_2018-2019 | Курсовые работы 2018-2019 учебного года]] > '''Перераспределение энергии между поступательными и вращательными сстепенями свободы''' <HR>
 +
 +
'''''Курсовой проект по [[Механика дискретных сред|Механике дискретных сред]]'''''
 +
 +
'''Исполнитель:''' [[Андреева Полина]]
 +
 +
'''Группа:''' 43604/1
 +
 +
'''Семестр:''' осень 2018
 +
 
===Постановка задачи===
 
===Постановка задачи===
  
Строка 5: Строка 15:
 
===Вывод уравнений===
 
===Вывод уравнений===
  
−
[[File:Уравнения1.jpg]] <br />
+
Рассматривается система из N тел-точек. Каждое <math>i</math>-ое тело имеет две степени свободы - смещение вдоль вертикальной оси <math>y_{i}</math>, и угол поворота относительно вертикальной оси <math>\phi_{i}</math>.
 +
Все тела соединены стержнями, которые описываются уравнением балки Бернулли - Эйлера.
 +
Движение каждого тела - точки описывается уравнениями:
 +
 
 +
<math>
 +
    J \ddot{\phi_{i}} = -M_{i-1}(l) + M_{i}(0)
 +
</math><br />
 +
<math>
 +
    m \ddot{y_{i}} = F_{i-1}(l) - F_{i}(0),
 +
</math><br />
 +
где <math>J - </math>момент инерции тела-точки.
 +
Моменты и силы находим по определению:
 +
 
 +
<math>
 +
    M = E \cdot J_{b} \cdot y''(x)
 +
</math><br />
 +
<math>
 +
    F = E \cdot J_{b} \cdot y'''(x),
 +
</math><br />
 +
 
 +
где <math>E - </math> модуль юнга материала балки, <math>J_{b} - </math> момент инерции сечения балки.
 +
Вид функции <math>y(x)</math>. найдем из уравнения Балки - Бернулли Эйлера:
 +
 
 +
<math>
 +
    E \cdot J_{b} \cdot y^{(4)} = 0
 +
</math><br />
 +
 
 +
получаем:
 +
 
 +
<math>
 +
    y(x) = c_1 \frac{x^3}{6} + c_2 \frac{x^2}{2} + c_3x + c_4
 +
</math><br />
 +
<math>
 +
    \phi(x) = y'(x) = c_1 \frac{x^2}{2} + c_2x + c_3
 +
</math><br />
 +
 
 +
Для поиска коэффициентов необходимы граничные условия.
 +
Для <math>i - </math>ого тела рассмотрим два участка: балка, соединяющая <math>i - 1</math> и <math>i</math> тела:
 +
 
 +
<math>
 +
    y(0) = y_{i-1} 
 +
</math><br />
 +
<math>
 +
y(l) = y_{i}
 +
</math><br />
 +
<math>
 +
    \phi(0) = \phi_{i-1} 
 +
</math><br />
 +
<math>
 +
\phi(l) = \phi_{i}
 +
</math><br />
 +
 
 +
и  на участке, соединяющим <math>i</math> и <math> i+1 </math> тела-точки:
 +
 
 +
<math>
 +
    y(0) = y_{i}
 +
</math><br />
 +
<math>
 +
  y(l) = y_{i+1}
 +
</math><br />
 +
<math>
 +
    \phi(0) = \phi_{i} 
 +
</math><br />
 +
<math>
 +
    \phi(l) = \phi_{i+1}
 +
</math><br />
 +
 
 +
где <math>l - </math>длина балки.
 +
 
 +
Учитывая граничные условия и все вышеприведенные формулы, находим уравнения движения <math>i - </math>ого тела:
 +
<math>
 +
    \ddot{y_{i}} = \frac{EJ_{b}}{m}(\frac{12}{l^3}(y_{i+1}-2y_{i}+y_{i-1}) - \frac{6}{l^2}(\phi_{i+1}-\phi_{i-1}))
 +
</math><br />
 +
<math>
 +
    \ddot{\phi_{i}} = \frac{EJ_{b}}{J}(\frac{6}{l^2}(y_{i+1}-y_{i}) - \frac{2}{l}(\phi_{i+1}+4\phi_{i}+\phi_{i-1}))
 +
</math><br />
 +
 
 +
===Обезразмеривание уравнений движения===
 +
 
 +
Перепишем уравнения, полученные в предыдущем пункте, в виде:
 +
 
 +
<math>
 +
    \frac{d^2(\frac{y_{i}}{l})}{d(t\omega_{1})^2} = ((\frac{y_{i+1}}{l}-2\frac{y_{i}}{l}+\frac{y_{i-1}}{l}) - \frac{1}{2}(\phi_{i+1}-\phi_{i-1}))
 +
</math><br />
 +
<math>
 +
    \frac{d^2\phi_{i}}{d(t\omega_{1})^2} = \frac{\omega_{2}^2}{\omega_{1}^2}(3(\frac{y_{i+1}}{l}-\frac{y_{i}}{l}) -(\phi_{i+1}+4\phi_{i}+\phi_{i-1}))
 +
</math><br />
 +
гд
 +
 
 +
<math>
 +
    \omega_{1}^2 = \frac{12EJ_{b}}{ml^3}
 +
</math><br />
 +
<math>
 +
    \omega_{2}^2 = \frac{2EJ_{b}}{Jl}
 +
</math><br />
 +
положим равными единицам.
 +
 
 +
Получили обезразмеренные уравнения:
 +
 
 +
<math>
 +
  \overline{y_{i}}'' = \frac{d^2\overline{y_{i}}}{d(\tau)^2} = ((\overline{y_{i+1}}-2\overline{y_{i}}+\overline{y_{i-1}}) - \frac{1}{2}(\phi_{i+1}-\phi_{i-1}))
 +
</math><br />
 +
<math>
 +
    \phi_{i}'' = \frac{d^2\phi_{i}}{d(\tau)^2} = (3(\overline{y_{i+1}}-\overline{y_{i}}) -(\phi_{i+1}+4\phi_{i}+\phi_{i-1}))
 +
</math><br />
 +
 
 +
===Обезразмеривание энергии===
  
−
===Численное интегрирование===
+
Кинетическая энергия данной системы состоит из суммы кинетической энергии поступательного и вращательного движений:
 +
 
 +
<math>
 +
    T = \sum_{i=1}^N \frac{m\dot{y_{i}}^2}{2} + \sum_{i=1}^N \frac{J\dot{\phi_{i}}^2}{2}
 +
</math><br />
 +
 
 +
Для обезразмеривания перепишем вышеприведенное выражение в виде:
 +
 
 +
<math>
 +
    T = \sum_{i=1}^N \frac{ml^2\omega_{1}^2}{2}\left(\frac{d\frac{y_{i}}{l}}{d(t\omega_{1})}\right)^2 + \sum_{i=1}^N \frac{J\omega_{1}^2}{2}\left(\frac{d\phi}{d(t\omega_{1})}\right)^2
 +
</math><br />
 +
 
 +
Получаем обезразмеренную энергию:
 +
 
 +
<math>
 +
    \overline{T} = \frac{T}{ml^2\omega_{1}^2} = \sum_{i=1}^N \frac{(\overline{y_{i}}')^2}{2} + \sum_{i=1}^N \frac{J}{ml^2}\frac{(\phi')^2}{2}
 +
</math><br />
 +
 
 +
Осталось вычислить коэффициент перед обезразмеренной кинетической энергией вращательного движения: <math> \frac{J}{ml^2}</math>
 +
 
 +
Для этого воспользуемся видом частот <math>\omega_{1}^2</math> и <math>\omega_{2}^2 </math>, полученные в предыдущем пункте и получим, что <math> \frac{J}{ml^2}= \frac{1}{6}</math>
 +
 
 +
Окончательно, обезраземеренная кинетическая энергия системы примет вид:
 +
 
 +
<math>
 +
    \overline{T} = \sum_{i=1}^N \frac{(\overline{y_{i}}')^2}{2} + \frac{1}{6} \sum_{i=1}^N \frac{(\phi')^2}{2}
 +
</math><br />
 +
Обозначим обезразмеренную кинетическую энергию вращательного движения
 +
 
 +
<math>
 +
    \overline{T_t} =  \frac{1}{6} \sum_{i=1}^N \frac{(\phi')^2}{2}
 +
</math><br />
 +
 
 +
а обезразмеренную кинетическую энергию поступательного движения
 +
 
 +
<math>
 +
    \overline{T_p} = \sum_{i=1}^N \frac{(\overline{y_{i}}')^2}{2}
 +
</math><br />
  
 
===Визуализация===
 
===Визуализация===
 +
Рассмотрим для системы из <math>N= 100</math> частиц и времени <math>\tau = 100</math> три случая:
 +
 +
1. В начальный момент времени энергия поступательного движения <math> \overline{T_p} = 0</math>, а энергия вращательного движения задается случайным образом <math> \overline{T_t} = 2.04697 </math>
 +
 +
В данном случае перераспределение энергий выглядит следующим образом:
 +
 +
[[File:МДСПОСТУП НОЛЬ3.png|center]]
 +
 +
Средняя по всему времени реализации энергия кинетической энергии поступательного движения равна <math> \overline{T_p} = 0.248106 </math>, а вращательного <math> - \overline{T_t} = 0.774789 </math>
 +
 +
2. В начальный момент времени энергия вращательного движения <math> \overline{T_t} = 0</math>, а энергия поступательного движения задается случайным образом <math> \overline{T_p} = 11.5927 </math>
 +
 +
В данном случае перераспределение энергий выглядит следующим образом:
 +
 +
[[File:МДСВРАЩ НОЛЬ3.png|center]]
 +
 +
Средняя по всему времени реализации энергия кинетической энергии поступательного движения равна <math> \overline{T_p} = 4.39032 </math>, а вращательного <math> - \overline{T_t} = 1.57495 </math>
 +
 +
3. В начальный момент времени и энергия вращательного движения и энергия поступательного движения задаются случайным образом <math> \overline{T_p} = 10.8439 </math>, <math> \overline{T_t} = 1.94736 </math>
 +
 +
В данном случае перераспределение энергий выглядит следующим образом:
 +
[[File:МДСРАНДОМ3.png|center]]
 +
 +
Средняя по всему времени реализации энергия кинетической энергии поступательного движения равна <math> \overline{T_p} = 4.39978 </math>, а вращательного <math> - \overline{T_t} = 2.22725 </math>
 +
 +
=== Выводы ===
 +
В ходе данной работы, можно сделать следующие выводы:
 +
 +
1. Энергия перераспределяется таким образом, что средние по всему времени реализации работы энергии вращательного и поступательного движения не равны.
 +
 +
2. При выборе <math> \frac{\omega_{1}^2}{\omega_{2}^2} = 1 </math>:
 +
 +
* в случае, когда начальная энергия вращательного движения равна нулю, отношение средней по всей реализации работы энергии поступательного движения к энергии вращательного движения  равна примерно 3
 +
 +
* в случае, когда начальная энергия поступательного движения равна нулю, отношение средней по всей реализации работы энергии вращательного движения к энергии поступательного движения  равна примерно 2.7
 +
 +
* в случае, когда начальная энергия и вращательного и поступательного движения задаются случайным образом, отношение средней по всей реализации работы энергии поступательного движения к энергии вращательного движения  равна примерно 2
 +
 +
== Ссылки ==
 +
 +
*[[Курсовые работы по ВМДС: 2018-2019]]
 +
*[[Введение в механику дискретных сред]]

Текущая версия на 17:14, 25 января 2019

Курсовые работы 2018-2019 учебного года > Перераспределение энергии между поступательными и вращательными сстепенями свободы

Курсовой проект по Механике дискретных сред

Исполнитель: Андреева Полина

Группа: 43604/1

Семестр: осень 2018

Постановка задачи[править]

Рассмотреть перераспределение энергии между вращательными и поступательными степенями свободы в системе из N тел-точек, соединенных друг с другом балками Бернулли-Эйлера.

Вывод уравнений[править]

Рассматривается система из N тел-точек. Каждое [math]i[/math]-ое тело имеет две степени свободы - смещение вдоль вертикальной оси [math]y_{i}[/math], и угол поворота относительно вертикальной оси [math]\phi_{i}[/math]. Все тела соединены стержнями, которые описываются уравнением балки Бернулли - Эйлера. Движение каждого тела - точки описывается уравнениями:

[math] J \ddot{\phi_{i}} = -M_{i-1}(l) + M_{i}(0) [/math]
[math] m \ddot{y_{i}} = F_{i-1}(l) - F_{i}(0), [/math]
где [math]J - [/math]момент инерции тела-точки. Моменты и силы находим по определению:

[math] M = E \cdot J_{b} \cdot y''(x) [/math]
[math] F = E \cdot J_{b} \cdot y'''(x), [/math]

где [math]E - [/math] модуль юнга материала балки, [math]J_{b} - [/math] момент инерции сечения балки. Вид функции [math]y(x)[/math]. найдем из уравнения Балки - Бернулли Эйлера:

[math] E \cdot J_{b} \cdot y^{(4)} = 0 [/math]

получаем:

[math] y(x) = c_1 \frac{x^3}{6} + c_2 \frac{x^2}{2} + c_3x + c_4 [/math]
[math] \phi(x) = y'(x) = c_1 \frac{x^2}{2} + c_2x + c_3 [/math]

Для поиска коэффициентов необходимы граничные условия. Для [math]i - [/math]ого тела рассмотрим два участка: балка, соединяющая [math]i - 1[/math] и [math]i[/math] тела:

[math] y(0) = y_{i-1} [/math]
[math] y(l) = y_{i} [/math]
[math] \phi(0) = \phi_{i-1} [/math]
[math] \phi(l) = \phi_{i} [/math]

и на участке, соединяющим [math]i[/math] и [math] i+1 [/math] тела-точки:

[math] y(0) = y_{i} [/math]
[math] y(l) = y_{i+1} [/math]
[math] \phi(0) = \phi_{i} [/math]
[math] \phi(l) = \phi_{i+1} [/math]

где [math]l - [/math]длина балки.

Учитывая граничные условия и все вышеприведенные формулы, находим уравнения движения [math]i - [/math]ого тела: [math] \ddot{y_{i}} = \frac{EJ_{b}}{m}(\frac{12}{l^3}(y_{i+1}-2y_{i}+y_{i-1}) - \frac{6}{l^2}(\phi_{i+1}-\phi_{i-1})) [/math]
[math] \ddot{\phi_{i}} = \frac{EJ_{b}}{J}(\frac{6}{l^2}(y_{i+1}-y_{i}) - \frac{2}{l}(\phi_{i+1}+4\phi_{i}+\phi_{i-1})) [/math]

Обезразмеривание уравнений движения[править]

Перепишем уравнения, полученные в предыдущем пункте, в виде:

[math] \frac{d^2(\frac{y_{i}}{l})}{d(t\omega_{1})^2} = ((\frac{y_{i+1}}{l}-2\frac{y_{i}}{l}+\frac{y_{i-1}}{l}) - \frac{1}{2}(\phi_{i+1}-\phi_{i-1})) [/math]
[math] \frac{d^2\phi_{i}}{d(t\omega_{1})^2} = \frac{\omega_{2}^2}{\omega_{1}^2}(3(\frac{y_{i+1}}{l}-\frac{y_{i}}{l}) -(\phi_{i+1}+4\phi_{i}+\phi_{i-1})) [/math]
гд

[math] \omega_{1}^2 = \frac{12EJ_{b}}{ml^3} [/math]
[math] \omega_{2}^2 = \frac{2EJ_{b}}{Jl} [/math]
положим равными единицам.

Получили обезразмеренные уравнения:

[math] \overline{y_{i}}'' = \frac{d^2\overline{y_{i}}}{d(\tau)^2} = ((\overline{y_{i+1}}-2\overline{y_{i}}+\overline{y_{i-1}}) - \frac{1}{2}(\phi_{i+1}-\phi_{i-1})) [/math]
[math] \phi_{i}'' = \frac{d^2\phi_{i}}{d(\tau)^2} = (3(\overline{y_{i+1}}-\overline{y_{i}}) -(\phi_{i+1}+4\phi_{i}+\phi_{i-1})) [/math]

Обезразмеривание энергии[править]

Кинетическая энергия данной системы состоит из суммы кинетической энергии поступательного и вращательного движений:

[math] T = \sum_{i=1}^N \frac{m\dot{y_{i}}^2}{2} + \sum_{i=1}^N \frac{J\dot{\phi_{i}}^2}{2} [/math]

Для обезразмеривания перепишем вышеприведенное выражение в виде:

[math] T = \sum_{i=1}^N \frac{ml^2\omega_{1}^2}{2}\left(\frac{d\frac{y_{i}}{l}}{d(t\omega_{1})}\right)^2 + \sum_{i=1}^N \frac{J\omega_{1}^2}{2}\left(\frac{d\phi}{d(t\omega_{1})}\right)^2 [/math]

Получаем обезразмеренную энергию:

[math] \overline{T} = \frac{T}{ml^2\omega_{1}^2} = \sum_{i=1}^N \frac{(\overline{y_{i}}')^2}{2} + \sum_{i=1}^N \frac{J}{ml^2}\frac{(\phi')^2}{2} [/math]

Осталось вычислить коэффициент перед обезразмеренной кинетической энергией вращательного движения: [math] \frac{J}{ml^2}[/math]

Для этого воспользуемся видом частот [math]\omega_{1}^2[/math] и [math]\omega_{2}^2 [/math], полученные в предыдущем пункте и получим, что [math] \frac{J}{ml^2}= \frac{1}{6}[/math]

Окончательно, обезраземеренная кинетическая энергия системы примет вид:

[math] \overline{T} = \sum_{i=1}^N \frac{(\overline{y_{i}}')^2}{2} + \frac{1}{6} \sum_{i=1}^N \frac{(\phi')^2}{2} [/math]
Обозначим обезразмеренную кинетическую энергию вращательного движения

[math] \overline{T_t} = \frac{1}{6} \sum_{i=1}^N \frac{(\phi')^2}{2} [/math]

а обезразмеренную кинетическую энергию поступательного движения

[math] \overline{T_p} = \sum_{i=1}^N \frac{(\overline{y_{i}}')^2}{2} [/math]

Визуализация[править]

Рассмотрим для системы из [math]N= 100[/math] частиц и времени [math]\tau = 100[/math] три случая:

1. В начальный момент времени энергия поступательного движения [math] \overline{T_p} = 0[/math], а энергия вращательного движения задается случайным образом [math] \overline{T_t} = 2.04697 [/math]

В данном случае перераспределение энергий выглядит следующим образом:

МДСПОСТУП НОЛЬ3.png

Средняя по всему времени реализации энергия кинетической энергии поступательного движения равна [math] \overline{T_p} = 0.248106 [/math], а вращательного [math] - \overline{T_t} = 0.774789 [/math]

2. В начальный момент времени энергия вращательного движения [math] \overline{T_t} = 0[/math], а энергия поступательного движения задается случайным образом [math] \overline{T_p} = 11.5927 [/math]

В данном случае перераспределение энергий выглядит следующим образом:

МДСВРАЩ НОЛЬ3.png

Средняя по всему времени реализации энергия кинетической энергии поступательного движения равна [math] \overline{T_p} = 4.39032 [/math], а вращательного [math] - \overline{T_t} = 1.57495 [/math]

3. В начальный момент времени и энергия вращательного движения и энергия поступательного движения задаются случайным образом [math] \overline{T_p} = 10.8439 [/math], [math] \overline{T_t} = 1.94736 [/math]

В данном случае перераспределение энергий выглядит следующим образом:

МДСРАНДОМ3.png

Средняя по всему времени реализации энергия кинетической энергии поступательного движения равна [math] \overline{T_p} = 4.39978 [/math], а вращательного [math] - \overline{T_t} = 2.22725 [/math]

Выводы[править]

В ходе данной работы, можно сделать следующие выводы:

1. Энергия перераспределяется таким образом, что средние по всему времени реализации работы энергии вращательного и поступательного движения не равны.

2. При выборе [math] \frac{\omega_{1}^2}{\omega_{2}^2} = 1 [/math]:

  • в случае, когда начальная энергия вращательного движения равна нулю, отношение средней по всей реализации работы энергии поступательного движения к энергии вращательного движения равна примерно 3
  • в случае, когда начальная энергия поступательного движения равна нулю, отношение средней по всей реализации работы энергии вращательного движения к энергии поступательного движения равна примерно 2.7
  • в случае, когда начальная энергия и вращательного и поступательного движения задаются случайным образом, отношение средней по всей реализации работы энергии поступательного движения к энергии вращательного движения равна примерно 2

Ссылки[править]

Источник — «http://tm.spbstu.ru/?title=Перераспределение_энергии_между_поступательными_и_вращательными_степенями_свободы&oldid=52564»