Мещерский 48.39 — различия между версиями
(не показана 1 промежуточная версия этого же участника) | |||
Строка 12: | Строка 12: | ||
q - независимые обобщенные координаты | q - независимые обобщенные координаты | ||
− | В данной задаче в качестве обобщенных координат примем углы <math>\varphi </math> и <math>\alpha </math>. | + | В данной задаче в качестве обобщенных координат примем углы <math>\varphi </math> и <math>\alpha </math> |
+ | |||
+ | |||
+ | Представим: | ||
+ | |||
+ | <math>T = T_1+T_2</math>, где <math>T_1</math> - кинетическая энергия точки А, а <math>T_2</math> - кинетическая энергия точки В | ||
+ | : | ||
+ | |||
+ | <math>T_1 = \frac{1}{2}m_1l^{2}\dot\alpha^{2}</math> <math>T_2 = \frac{1}{2}m_2V^{2}</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | Где <math>V</math> - абсолютная скорость точки В | ||
+ | |||
+ | <math>V = V_п+V_о</math> | ||
+ | |||
+ | <math>V_п</math> - переносная скорость, <math>V_о</math> - относительная скорость. | ||
+ | |||
+ | Учтём, что | ||
+ | |||
+ | <math>V_п=l\dot α</math>,<math>V_о=l\dot\varphi</math> | ||
+ | |||
+ | Тогда | ||
+ | |||
+ | <math>V^{2}=l^{2}\dot\alpha^{2}+l^{2}\dot\varphi^{2}+2l^{2}\dot\varphi\dot\alpha\cos(\varphi-\alpha)</math> | ||
+ | |||
+ | <math>T=\frac{1}{2}(m_1+m_2)l^{2}\dot\alpha^{2}+\frac{1}{2}m_2l^{2}(\dot\varphi^{2}+2l^{2}\dot\varphi\dot\alpha\cos(\varphi-\alpha))</math> | ||
+ | |||
+ | Потенциальная энергия системы определяется силами тяжести точек А и В: | ||
+ | |||
+ | <math>П=-m_1gl\cos(\alpha)-m_2gl(\cos\alpha+\cos\varphi)</math> | ||
+ | |||
+ | В результате будем иметь | ||
+ | |||
+ | <math>L=\frac{1}{2}(m_1+m_2)l^{2}\dot\alpha^{2}+\frac{1}{2}m_2l^{2}(\dot\varphi^{2}+2l^{2}\dot\varphi\dot\alpha\cos(\varphi-\alpha))+m_1gl\cos(\alpha)+m_2gl(\cos\alpha+\cos\varphi)</math> | ||
В случае малых колебаний: | В случае малых колебаний: | ||
− | <math>(m_1+m_2)l\ddot\alpha+m_2l\ddot\varphi+(m_1+m_2)g\alpha=0</math> | + | |
+ | <math>(m_1+m_2)l\ddot\alpha+m_2l\ddot\varphi+(m_1+m_2)g\alpha=0</math>, <math>l\ddot\varphi+l\ddot\alpha+g\varphi=0</math> | ||
== Решение == | == Решение == | ||
{{#widget:Iframe |url=http://tm.spbstu.ru/htmlets/SorokinaVV/4.html |width=1050 |height=600|border=0}} | {{#widget:Iframe |url=http://tm.spbstu.ru/htmlets/SorokinaVV/4.html |width=1050 |height=600|border=0}} |
Текущая версия на 04:05, 22 декабря 2017
Задача 48.39 из сборника задач Мещерского: составить дифференциальные уравнения малых колебаний и смоделировать систему на языке программирования JavaScript.
Формулировка задачи[править]
Материальная точка A массы m1 движется в вертикальной плоскости по внутренней гладкой поверхности неподвижного цилиндра радиуса l. Материальная точка B массы m2, присоединенная к точке A посредством стержня AB длины l, может колебаться вокруг оси A, перпендикулярной плоскости рисунка. Положения точек A и B определены с помощью углов α и φ, отсчитываемых от вертикали. Составить дифференциальные уравнения движения системы. Написать дифференциальные уравнения малых колебаний системы. Массой стержня AB пренебречь.
Решение задачи[править]
Используем уравнение Лагранжа 2-го рода:
, где
L = T - П - функция Лагранжа T - кинетическая энергия системы П - потенциальная энергия системы q - независимые обобщенные координаты
В данной задаче в качестве обобщенных координат примем углы
и
Представим:
, где - кинетическая энергия точки А, а - кинетическая энергия точки В
Где - абсолютная скорость точки В
- переносная скорость, - относительная скорость.
Учтём, что
,
Тогда
Потенциальная энергия системы определяется силами тяжести точек А и В:
В результате будем иметь
В случае малых колебаний:
,
Решение[править]